Transformation of first mode breather of internal waves above the bottom step in a three-layer fluid

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Внутренние гравитационные волны являются одной из важнейших составляющих волновых движений в стратифицированных водоемах. Такие волны возникают и распространяются на границах раздела слоев различной плотности в стратифицированной жидкости. Волновая динамика внутренних волн достаточно хорошо изучена для двухслойной стратификации, которая в первом приближении описывает распределение плотности воды по глубине для большинства водоемов. Однако в настоящий момент появляется большое количество работ, посвященных исследованиям волновой динамики в трехслойной жидкости, где можно наблюдать более сложные динамические режимы [1, 2]. Подобная стратификация с двумя выраженными скачками плотности встречается в отдельные сезоны в различных акваториях, например, в Южно-Китайском [3] и Балтийском [4] морях. Некоторые волновые процессы, протекающие в трехслойной жидкости, были исследованы в ряде работ, как в рамках слабонелинейной теории [5], так и в рамках полнонелинейной численной модели [6, 7]. Однако некоторые важные аспекты волновой динамики в трехслойной жидкости изучены недостаточно подробно, например, на сегодняшний день достаточно слабо исследован класс длинных нелинейных локализованных пакетов — бризеров, для которых трехслойная жидкость является простейшей средой, где они могут существовать. Долговременное распространение такого пакета было подтверждено численным моделированием в рамках уравнений Эйлера [8], также, распространение бризероподобных образований наблюдалось и в реальном океане [9–12].

Взаимодействие внутренних волн больших амплитуд с шельфом может способствовать турбулентному перемешиванию и транспорту питательных веществ по вертикали. Существует значительное количество работ, посвященных накату внутренних волн различной природы на прибрежную зону (см., например, [13–15]). Проводились как лабораторные исследования, так и теоретические [16], рассматривались различные режимы взаимодействия внутренних волн с особенностями топографии как в двухслойной жидкости, так и в трехслойной. В работе [17] исследованы процессы трансформации солитонов понижения первой моды над донным уступом в трехслойной жидкости и продемонстрированы процессы генерации высокомодовых возмущений при взаимодействии с вертикальной ступенью. Также, возможен и обратный процесс: в работе [18] изучались процессы взаимодействия волн второй моды с резко изменяющимся дном, сопровождающиеся генерацией волн первой моды.

К сожалению, в настоящее время, в открытых источниках отсутствует информация о наблюдениях внутренних бризеров в динамике. Доступны лишь наблюдения двух волновых пакетов в точке [9–12], которые имеют сходство с внутренними бризерами. Однако подтвердить принадлежность этих пакетов к данному классу явлений можно лишь имея наблюдения в нескольких последовательных точках вдоль трассы распространения этих волн.

В рамках данной работы исследуются процессы трансформации бризера над вертикальным уступом с различными параметрами в почти трехслойной жидкости симметричной стратификации плотности в рамках полнонелинейной численной модели. Проводится сравнение результатов, полученных при накате полнонелинейного бризера на уступы с различными значениями ширины и высоты. Анализируется линейная устойчивость волнового поля в терминах чисел Ричардсона и Фруда. В качестве основного инструмента численного моделирования используется негидростатическая полнонелинейная численная модель MITgcm [19], которая широко применяется для моделирования процессов различных масштабов, от глобальной циркуляции до поверхностных волн.

1. БРИЗЕРЫ УРАВНЕНИЙ КдВ-ИЕРАРХИИ

Большинство исследований, посвященных изучению динамики внутренних неизлучающих локализованных импульсов, проводятся с помощью упрощенных моделей — нелинейных эволюционных уравнений. Одним из таких уравнений является уравнение Кортевега–де Вриза, которое описывает трансформацию и распространение длинных внутренних волн одной фиксированной моды в слабонелинейном пределе. Во многих задачах, которым свойственна симметричная стратификация, фигурирует модифицированное уравнение Кортевега–де Вриза (мКдВ):

 (1)

где η(x, t) описывает трансформацию волны вдоль оси распространения и ее эволюцию во времени, c — фазовая скорость распространения волны, α₁ — коэффициент кубической нелинейности, β — коэффициент дисперсии. Коэффициенты уравнения мКдВ определяются через модовую функцию Φ(z) и нелинейную поправку к ней T_n(z) [18]:

 (2)

 (3)

где функция Φ(z) находится как решение задачи Штурма–Лиувилля:

 (4)

( — частота Вяйсяля–Брента, ρ(z) — стратификация плотности, g — ускорение свободного падения, z — вертикальная координата, направленная вверх), а функция T_n(z) — как решение неоднородной краевой задачи:

 (5)

с дополнительным условием нормализации T_n(z_max) = 0, где z_max определяется как координата точки экстремума решения (4).

Бризер уравнения мКдВ [18], который используется для инициализации поля плотности и горизонтальной скорости в полнонелинейных расчетах в настоящей работе имеет вид:

 (6)

где

 

 

 

a и b — произвольные параметры, θ₀ и φ₀ — фазовые сдвиги. Параметр b влияет на количество волн в волновом пакете, параметр a определяет величину амплитуды бризера.

В данной работе стратификация плотности задавалась в виде суперпозиции гиперболических тангенсов:

 (7)

где ρ₀ = 1020 кг/м³ — среднее значение плотности, ∆ρ₁ = 7.65 кг/м³, ∆ρ₂ = 7.65 кг/м³ — скачок плотности на верхнем и нижнем пикноклинах соответственно, z = 0 соответствует поверхности жидкости, z_rus1 = –30 м, z_rus2 = –70 м — глубины залегания пикноклинов, d_rus1 = d_rus2 = 4 м — характерная полуширина пикноклинов, полная глубина жидкости до уступа составляет 100 м.

Для заданной стратификации плотности (7), была решена задача (4); профили плотности, частоты плавучести и вид первой моды Φ(z) представлены на рис. 1, а также вычислены коэффициенты c, α₁, β (результаты приведены в табл. 1).

 

 

Таблица 1. Значения коэффициентов уравнения мКдВ для стратификации плотности (7)

Коэффициент	c, м/c	α1, (м/с)–1	β, м3/с
Значение	2.0349	0.0025	968.2828

 

Схема расчетной области и начального возмущения поля плотности представлен на рис. 2. Длина исследуемой области принималась равной L = 15 000 м, невозмущенная глубина — H = 100 м с высотой уступа H_s и шириной W_s. Все рассматриваемые случаи перечислены в табл. 2. Проводилась серия из 15 полномасштабных вычислительных экспериментов, варьировалась как высота уступа в диапазоне 4–20 м с шагом 4 м, так и его полуширина — в диапазоне 100–500 м с шагом 200 м. Форма сглаженного уступа определялась следующим соотношением:

 (8)

где х₀ = 10 000 м — положение центра зоны неоднородной глубины по оси Х, W_s = 2d — характерная ширина уступа.

 

Рис. 1. (а) — стратификация плотности жидкости; (б) — частота Вяйсяля–Брента; (в) — модовая функция Φ₁.

 

Рис. 2. Схема проводимых экспериментов.

 

Таблица 2. Характеристики расчетной области для серии численных экспериментов

Эксперимент	Высота уступа, м	Полуширина уступа d, м	Разрешение по пространству (OX × OZ)
Э1	4	100	1500 × 200
Э2	4	300	1500 × 200
Э3	4	500	1500 × 200
Э4	8	100	1500 × 200
Э5	8	300	1500 × 200
Э6	8	500	1500 × 200
Э7	12	100	1500 × 200
Э8	12	300	1500 × 200
Э9	12	500	1500 × 200
Э10	16	100	2000 × 200
Э11	16	300	1500 × 200
Э12	16	500	1500 × 200
Э13	20	100	2000 × 200
Э14	20	300	2000 × 200
Э15	20	500	2000 × 200

 

2. ГЕНЕРАЦИЯ ПОЛНОНЕЛИНЕЙНОГО БРИЗЕРА

Структура и характеристики полнонелинейных бризеров могут существенно отличаться от аналогичных характеристик слабонелинейных бризеров. По этой причине слабонелинейный пакет, заданный как начальное условие в полнонелинейной задаче, начинает трансформироваться и генерировать мелкомасштабные осциллирующие «хвосты». В данной работе для чистоты экспериментов, после того, как слабонелинейный бризер трансформировался в полнонелинейный, осциллирующие образования «обрезались», и бризер вновь помещался в невозмущенную стратификацию. Процедура повторялась итеративно до получения стабильного полнонелинейного бризера (критерии определения полнонелинейного бризера рассмотрены более подробно в [8]). Рассчитанные с помощью модели MITgcm [19] поля скорости и плотности полноенелинейных бризеров использовались в последующих экспериментах по трансформации бризеров над вертикальным уступом. Подобный подход применялся в [20] для генерации уединенных волн большой амплитуды в рамках полнонелинейной численной модели.

Свободные параметры начального слабонелинейного мКдВ бризера a и b подбирались таким образом, чтобы слабонелинейный бризер был наиболее близок к полнонелинейному. На рис. 3а представлено распределение плотности со смещением изолиний в виде бризера мКдВ (6) со значениями свободных параметров а = –0.09 и b = 0.05, соответственно, а на рис. 3б — его спектр:

 (9)

 

Рис. 3. а — поле плотности со смещением изолиний в виде слабонелинейного бризера; б — частотный спектр временной записи смещения изолинии плотности на горизонте — 30 м (в невозмущенном состоянии).

 

в точке 4000 м, где ω_k = k/(2∆t), ∆t — шаг по времени в массиве {t_j} k — номер соответствующей гармоники в дискретном разложении Фурье.

На рис. 4 приведено сравнение вертикального смещения верхнего пикноклина в слабонелинейном и полнонелинейном бризерах после проведения процедуры генерации. Как можно видеть из рис. 4, ширина и амплитуда сгенерированного полнонелинейного бризера близки к аналогичным характеристикам, полученным в рамках слабонелинейной теории для выбранных параметров a и b.

 

Рис. 4. Сравнение вертикального смещения верхнего пикноклина в полнонелинейном (сплошная линия) и слабонелинейном (пунктирная линия) бризерах.

 

На рис. 5 приведены пространственно-временные диаграммы первой и третьей (последней) итерации процесса генерации полнонелинейного бризера (бризер распространяется справа налево). Приведенная иллюстрация явно демонстрируют образование полнонелинейной бризерной структуры. Здесь можно наблюдать генерацию мелкомасштабных осциллирующих «хвостов» и бароклинных возмущений и формирование головного волнового пакета.

 

Рис. 5. Пространственно-временная диаграмма первой (вверху) и третьей (внизу) итерации процесса генерации полнонелинейного бризера (серая шкала показывает смещение верхнего пикноклина).

 

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Сгенерированный таким образом полнонелинейный бризер использовался для инициализации задачи, а именно использовались полнонелинейные поля плотности и горизонтальной скорости (в инициализации вертикальной компоненты нет необходимости, поскольку MITgcm самостоятельно рассчитывает вертикальную скорость из уравнения неразрывности).

В качестве примера, иллюстрирующего полученные результаты, на рис. 6 представлено распределение поля плотности во время трансформации полнонелинейного бризера над вертикальным сглаженным уступом с высотой 20 м и полушириной 300 м в различные моменты времени (рис. 6).

 

Рис. 6. Поле плотности [кг/м³] в различные моменты времени трансформации полнонелинейного бризера для условий Э14.

 

При высоте уступа, сравнимой с толщиной нижнего слоя (12–20 м), в результате трансформации наблюдается генерация двух полнонелинейных бризеров с различными спектральными характеристиками (на рис. 7 приведены амплитудные спектры смещения верхнего пикноклина вдоль трассы для различных параметров донного уступа), а также наблюдается частичное отражение исходной волны от зоны неоднородности глубины. При относительно небольших высотах уступа (4–8 м), генерации второго бризера не наблюдается.

 

Рис. 7. Изменение амплитудных спектров в пространстве для верхнего пикноклина вдоль трассы распространения волны в зависимости от параметров вертикального уступа.

 

По спектрам на рис. 7 кажется, что динамика полнонелинейного бризера при трансформации практически не зависит от ширины сглаженного уступа. Но на самом деле эта зависимость заметна при анализе полей скорости и проявляется в том, что бризер в процессе трансформации над узким уступом оказывается потенциально менее устойчив в линейном смысле.

На рис. 8 представлены графики распределения максимальных значений чисел Фруда:

 (10)

где c(x) — линейная скорость в зависимости от пространственной координаты x для расчетов Э13, Э14 и Э15.

Как можно видеть из рис. 8, превышение значений чисел Фруда Fr > 1 достигается лишь при значении полуширины ступеньки d = 100 м. При значениях полуширины d = 300 м и d = 500 м превышения не наблюдается, причем это справедливо для любой высоты уступа в рассмотренном диапазоне, за исключением высоты 20 м.

 

Рис. 8. Распределение максимальных значений чисел Фруда при значениях полуширины 500 м (сплошная линия), 300 м (штриховая линия) и 100 м (‘+’) при высоте уступа 20 м.

 

Также необходимым критерием линейной устойчивости волновых полей является условие в терминах числа Ричардсона:

 (11)

На рис. 9 представлено распределение поля плотности спустя несколько секунд после столкновения бризера с уступом в численном эксперименте Э15 с потенциально неустойчивыми областями, рассчитанными при помощи чисел Ричардсона.

Как можно видеть из рис. 9, потенциально неустойчивые области после взаимодействия сконцентрированы в основном в центре и на пиках волнового пакета. Здесь также видно, что возмущение плотности стало сильно несимметричным по вертикали.

При исследовании динамики взаимодействия внутренних волн с препятствиями и неоднородностями среды особый интерес представляет количественный анализ параметров вторичных отраженных нелинейных волн, образующихся в результате взаимодействия с зоной неоднородности. Оценим амплитуды отраженных волн по отношению к начальной амплитуде локализованной волны. Поскольку наиболее интенсивные вторичные волны с наибольшими значениями амплитуд наблюдались в эксперименте Э13, анализ проводился именно для этого эксперимента. На рис. 10 приведено смещение верхней и нижней изопикнических линий в области перед уступом в конечный момент времени для эксперимента Э13.

 

Рис. 9. Распределение поля плотности после взаимодействия бризера с уступом с потенциально неустойчивыми областями — показаны (‘+’).

 

Рис. 10. Смещение верхнего и нижнего пикноклинов в области перед уступом в конечный момент времени для эксперимента Э13.

 

Всего здесь можно наблюдать около 28 мелкомасштабных волн, амплитуды которых не превышают 4% от амплитуды начального бризера. Это отчетливо прослеживается на рис. 11, где проиллюстрированы отношения амплитуд отраженных волн A к амплитуде начальной волны A_i = 11.85 м, как на верхней, так и на нижней границе раздела слоев.

Полезно также оценить энергетические характеристики отраженных образований по отношению к максимальной энергии, наблюдаемой во время исследуемого процесса. Кинетическая энергия, сосредоточенная в замкнутой области (x, z)  [x₁; x₂] × [–H; 0] вычисляется путем интегрирования в этой области:

 (12)

Потенциальная энергия, в свою очередь, определяется следующим образом:

 (13)

Полная энергия волнового поля вычисляется как сумма кинетической и потенциальной энергии E = E_k + E_p, однако, физически значимой величиной при оценке нелинейных процессов является псевдоэнергия E = Ek + APE, где APE — доступная потенциальная энергия, определяющая количество потенциальной энергии, доступной для преобразования в кинетическую:

 (14)

где (x, z, t) — поле плотности с учетом смещения изолиний, ρ — невозмущенное поле плотности.

 

Рис. 11. Отношения амплитуд отраженных волн A_i к амплитуде начальной волны A, n — номер волны (* — верхняя изопикна, o — нижняя изопикна).

 

На рис. 12 приведено изменение кинетической и доступной потенциальной энергии в прямоугольной области перед уступом (x, z)  [10 500 м; 12 000 м] × [–100 м; 0 м].

 

Рис. 12. Кинетическая (черная линия) и доступная потенциальная энергии (пунктир) в замкнутой области перед уступом.

 

Максимальное значение кинетической энергии наблюдается в момент времени, когда бризер целиком находится в исследуемой области. Кинетическая энергия отраженных волн не превышает 0.45% от максимального значения энергии, это проиллюстрировано на рис. 13, где приведено отношение величин кинетической энергии вторичных волн вблизи уступа к максимальному значению кинетической энергии. Однако, в момент времени ~6400 с наблюдается ярко выраженный максимум. Из рис. 14 видно, что в данный момент времени в исследуемой области присутствуют возмущения 4-й моды.

 

Рис. 13. Отношение величин кинетической энергии вторичных волн вблизи уступа (Е_k) к максимальному значению кинетической энергии (Е_max).

 

Рис. 14. Область вблизи уступа в момент времени 6400 с, содержащая отраженные волны.

 

Обсудим теперь модовый состав полнонелинейного волнового поля смещений изопикнических поверхностей, воспользовавшись разложением:

 

где

 

На рис. 15 приведена зависимость амплитуд теоретических мод A_n(x^*, t) до 4-й включительно от времени в точке расчетной области x^* = 11300 м. Из рис. 15 видно, что первая мода дает наибольший вклад в вертикальную структуру полнонелинейного бризера, поскольку в качестве начального условия использовался бризер первой моды (6) при t = 0 и нулевых фазах φ₀ и θ₀. Однако, следует отметить, что возмущение второй моды имеет форму огибающей волнового пакета, а поправка четвертой моды в момент прохождения бризера через выбранную точку трассы распространения имеет форму самого волнового пакета и сравнимую с первой модой амплитуду. Слабые отраженные волны, пришедшие в рассматриваемую точку после 5000 с, наиболее заметны в поле третьей и четвертой моды. Отметим также, что это разложение весьма условно, так как эти моды являются связанными за счет нелинейности задачи и распространяются все вместе, а не каждая со своей скоростью.

 

Рис. 15. Амплитуды теоретических мод A_n(x*, t) (1 ≤ n ≤ 4) в точке расчетной области x* = 11 300 м (– - – — мода 1; ... — мода 2 (амплитуда увеличена на 10 м); – – — мода 3 (амплитуда увеличена на 20 м); — — мода 4 ((амплитуда увеличена на 30 м))).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведен ряд полномасштабных численных экспериментов по генерации полнонелинейного бризера и его трансформации над сглаженным вертикальным уступом в трехслойной жидкости с симметричной стратификацией плотности. В результате сравнения профиля полученного бризера в верхнем пикноклине с профилем бризера мКдВ с идентичными параметрами получено достаточно хорошее совпадение форм и амплитуд нелинейных пакетов. Результаты численного моделирования трансформации полнонелинейного бризера над уступом и спектрального анализа полученных данных продемонстрировали образование двух полнонелинейных бризеров после столкновения исходного бризера с зоной неоднородности глубины. Исследованы особенности процесса трансформации от ширины уступа в терминах чисел Ричардсона и Фруда — показано, что потенциальные неустойчивые области возникают при наименьших значениях ширины уступа они располагаются в центре волнового пакета на протяжении всего эксперимента. Проведен анализ вторичных волн, возникающих в результате отражения исходного волнового пакета от уступа. Выполнена оценка амплитуд отраженных волн, которая показала, что амплитуды отраженных возмущений не превышают 4% амплитуды начальной волны. Энергетический анализ вторичных волн продемонстрировал, что кинетическая энергия, сосредоточенная в области отраженных образований, не превышает 0.45% от максимального значения энергии.

 

About the authors

P. V. Lobovikov

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev

Author for correspondence.
Email: aakurkin@gmail.com
Russian Federation, Minin St. 24, 603950, Nizhny Novgorod

O. E. Kurkina

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev

Email: aakurkin@gmail.com
Russian Federation, Minin St. 24, 603950, Nizhny Novgorod

A. A. Kurkin

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev

Email: aakurkin@gmail.com
Russian Federation, Minin St. 24, 603950, Nizhny Novgorod

M. V. Kokoulina

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev

Email: aakurkin@gmail.com
Russian Federation, Minin St. 24, 603950, Nizhny Novgorod

References

Supplementary files