Vertical transport of momentum by internal waves in a shift current

Full Text

Вертикальный обмен в океане играет важную роль в переносе жизненно необходимых для экосистемы веществ: кислорода, азота, микроэлементов, а также сероводорода, радионуклидов и др. [1–3]. По имеющимся представлениям вертикальный обмен в основном осуществляется мелкомасштабной турбулентностью, которая, вообще говоря, имеет перемежаемый характер и сильно подавлена стратификацией в пикноклине [4–6]. В этой связи представляется актуальным исследование вклада внутренних волн в вертикальный обмен. Внутренние волны повсеместно присутствуют в океане, нередко распространяясь в виде цугов — локализованных в пространстве волновых пакетов [1, 7]. Вертикальный перенос импульса внутренними волнами при учете турбулентной вязкости и диффузии рассматривался в работах [8, 9]. Было получено, что при наличии турбулентной вязкости и диффузии фазовый сдвиг между колебаниями вертикальной скорости w и горизонтальной скорости u отличен от π/2, что и приводит к ненулевому вертикальному волновому потоку импульса . Ниже будет показано, что у инерционно-гравитационных внутренних волн (при учете вращения Земли) поток  также отличен от нуля даже при неучете турбулентной вязкости и диффузии при наличии течения, у которого компонента скорости, нормальная горизонтальному волновому вектору, зависит от вертикальной координаты. Дело в том, что в этом случае уравнение для амплитуды вертикальной скорости имеет комплексные коэффициенты, собственная функция — комплексная, что и приводит к фазовому сдвигу между колебаниями u и w, отличному от π/2.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматриваются свободные инерционно-гравитационные внутренние волны на плоскопараллельном стратифицированном течении с вертикальным сдвигом скорости в безграничном бассейне постоянной глубины. Компонента скорости течения V₀(z), поперечная к направлению распространения волны, зависит от вертикальной координаты. Система уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска [10] для волновых возмущений имеет вид:

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

где x, y, z — две горизонтальные и вертикальная координаты, ось z направлена вертикально вверх, u, v, w — соответственно две горизонтальные и вертикальная компоненты волновой скорости течения, P и ρ — волновые возмущения давления и плотности, ρ₀(z) — профиль невозмущенной средней плотности, V₀(z) — скорость среднего течения, направленная вдоль оси y, g — ускорение свободного падения, f — параметр Кориолиса; действие оператора  раскрывается по формуле  В океане от поверхности до дна плотность воды меняется не более чем на 3–4% [10], а при глубине моря в 100 м менее чем на 1% [11], поэтому в приближении Буссинеска в знаменателе правых частей формул (1)–(3) осредненная по глубине плотность принимается равной плотности на поверхности моря [10].

Граничные условия на поверхности моря (z = 0) — условие «твердой крышки», которое отфильтровывает внутренние волны от поверхностных [10]: w(0) = 0. Граничные условия на дне — условие «непротекания»: w(H) = 0, где H — глубина моря.

ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Решения в линейном приближении представляются в виде:

 (6)

где с.c. — комплексно сопряженные слагаемые, A — амплитудный множитель, θ — фаза волны;  k — горизонтальное волновое число, ω — частота волны. Предполагается, что волна распространяется вдоль оси x.

Подставляя (6) в систему (1)–(5) находим связь амплитудных функций u₁₀, v₁₀, ρ₁₀, P₁₀, с w₁₀ и уравнение для w₁₀

 (7)

 (8)

 (9)

Функция w₁₀ удовлетворяет уравнению

 (10)

где  — квадрат частоты Брента–Вяйсяля.

Граничные условия для w₁₀:

 (11)

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ

Stokes в своей работе [12] для потенциальных волн на поверхности жидкости установил, что лагранжева скорость частиц жидкости в слабонелинейном приближении отличается от эйлеровой на величину, пропорциональную квадрату амплитуды волны, причем множитель при квадрате амплитуды волны зависит от глубины. Позже эта разность была названа скоростью стоксова дрейфа частиц жидкости [13, 14].

Для волн произвольной природы (не обязательно потенциальных) скорость стоксова дрейфа определяется по формуле [13]:

 (12)

где u — поле волновых эйлеровых скоростей; черта сверху означает осреднение по периоду волны. В [13] скорость стоксова дрейфа определялась по формуле (12) для не потенциальных волн Кельвина.

Горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа для рассматриваемых нами волн, направленная вдоль волнового вектора, с точностью до членов, квадратичных по амплитуде волны, имеет вид

 (13)

Поперечная к направлению распространения волны горизонтальная компонента скорости стоксова дрейфа определяется по формуле

 (14)

Используя (7) найдем вертикальные волновые потоки импульса  и

 (15)

 (16)

При  волновой поток импульса  и поперечная к направлению распространения компонента скорости стоксова дрейфа v_s при учете вращения Земли отличны от нуля. Поток импульса  отличен от нуля и при отсутствии течения, но при учете вращения Земли.

Нормирующий множитель A находится по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Для этого выразим вертикальное смещение ζ, используя соотношение :

 

Отсюда следует

 (17)

Таким образом, амплитуда вертикальных смещений пропорциональна .

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Уравнение (10) допускает точные аналитические решения для ряда частных случаев, которые мы и рассмотрим.

1. Однородная стратификация, постоянный сдвиг скорости

В этом случае ,   H < 0. Уравнение (10) упрощается к виду:

 (18)

где

Решение краевой задачи (11), (18) имеет вид:

 (19)

При этом справедливо дисперсионное соотношение, вытекающее из граничного условия (11) при z = H:

 (20)

где n — номер моды. При  дисперсионное соотношение (20) переходит в известное соотношение для однородной стратификации [10, 14]:

 

Из (15), (16), используя (19) находим вертикальные потоки импульса:

 (21)

 (22)

Две компоненты скорости стоксова дрейфа находятся из (13), (14) с использованием (19):

 (23)

 (24)

где

Нормирующий множитель A находится по известной максимальной амплитуде вертикальных смещений ζ_max (17):

.

На рис. 1 показаны дисперсионные кривые первых двух мод, рассчитанные по формуле (20) при N = 5 цикл/ч, H = –100 м, V₀₀ = 2 × 10^–3 с^–1.

 

Рис. 1. Дисперсионные кривые первых двух мод при однородной стратификации.

 

Турбулентный вертикальный поток импульса определяется по формуле  коэффициент вертикального турбулентного обмена оценивается оп эмпирической формуле K_z = 9.36 × 10^–5/N_c м²/с, здесь N_c — частота Брента–Вяйсяля в цикл/ч [15]. Сравнение волновых (15), (16) и турбулентного потоков импульса приводится на рис. 2 для внутренней волны низшей моды при k = 0.01 рад/м, ζ_max = 1 м.

 

Рис. 2. Волновые и турбулентный вертикальные потоки импульса.

 

Волновой поток  превышает по абсолютной величине поток  и сопоставим с турбулентным потоком.

Две компоненты скорости стоксова дрейфа частиц жидкости для внутренней волны первой моды при k = 0.01 рад/м, ζ_max = 1 м показаны на рис. 3.

 

Рис. 3. Вертикальные профили двух компонент скорости стоксова дрейфа.

 

Продольная компонента скорости стоксова дрейфа u_s по абсолютной величине, в целом, превышает поперечную v_s.

2. Двухслойная модель стратификации и градиента скорости течения

Пусть частота Брента–Вяйсяля имеет постоянные значения N₁ и N₂ в нижнем и верхнем слое соответственно (рис. 4а). Вертикальную координату границы раздела слоев обозначим за h, координату дна моря — за H (h < 0, H < 0). В нижнем и верхнем слое пусть скорость течения меняется по линейному закону и непрерывна на границе раздела слоев (рис. 4б)

 

Рис. 4. Вертикальные профили: (а) — частоты Брента–Вяйсяля; (б) — скорости течения.

 

Вертикальный градиент скорости течения в нижнем слое V₁₀₀, в верхнем — V₂₀₀. Уравнение (10) для функции w₁₀(z) запишем в каждом слое:

В первом (нижнем) слое:

 (25)

Во втором (верхнем) слое:

 (26)

где коэффициенты a_i и b_i определяются по формулам:

 (27)

Граничные условия на поверхности моря и на дне — условия «твердой крышки»

 (28)

Условия «сшивки» решений на границе раздела слоев: непрерывность вертикальных смещений и непрерывность давления

 (29)

 (30)

Решение краевой задачи (25)–(30) имеет вид:

 (31)

 (32)

где λ₁₁, λ₁₂  — корни характеристического уравнения  λ₂₁, λ₂₂ — корни характеристического уравнения

 (33)

 (34)

Дисперсионное уравнение имеет вид:

 (35)

Дисперсионные кривые первых двух мод показаны на рис. 5.

 

Рис. 5. Дисперсионные кривые первых двух мод при двухслойной стратификации.

 

Вертикальные потоки импульса определяются по формулам (15), (16).

На рис. 6 показаны волновые ,  и турбулентный  вертикальные потоки импульса для низшей моды внутренних волн при k = 0.01 рад/м, ζ_max = 1 м. Турбулентный поток определяется по тем же формулам, что и в однослойной модели.

 

Рис. 6. Волновые и турбулентный потоки импульса для двухслойной стратификации.

 

Волновой поток  испытывает скачек на границе раздела слоев с переменой знака, т.к. меняет знак градиент скорости течения. Если градиент скорости при z = h знака не меняет, то и поток  также не меняет знак. Если градиент скорости течения равен нулю, то поток  — нулевой. Волновой поток  скачка не испытывает и скорость течения на него почти не влияет. Этот поток значительно превышает по абсолютной величине поток  и турбулентный поток . Абсолютные величины двух последних потоков сопоставимы.

Две компоненты скорости стоксова дрейфа определяются по формулам (13), (14). Нормирующий множитель A определяется по формуле (17). Вертикальные профили двух компонент скорости стоксова дрейфа для низшей моды внутренних волн при k = 0.01 рад/м, ζ_max = 1 м показаны на рис. 7. Скорость стоксова дрейфа вдоль направления распространения волны почти на два порядка превосходит скорость поперек направления распространения волны. Если градиент скорости течения равен нулю, то v_s = 0.

 

Рис. 7. Профили двух компонент скорости стоксова дрейфа для двухслойной модели.

 

ВЫВОДЫ

1. Вертикальный волновой поток импульса у инерционно-гравитационных внутренних волн отличен от нуля при . Если вертикальный градиент скорости  испытывает скачок на границе раздела, то и поток   также испытывает скачок.
2. Вертикальный волновой поток импульса скачка не испытывает на границе раздела, почти не зависит от скорости течения и превышает по абсолютной величине поток  и турбулентный поток импульса .
3. Скорость стоксова дрейфа, поперечная к направлению распространения волны при отлична от нуля и почти на два порядка меньше скорости стоксова дрейфа вдоль направления распространения волны.

About the authors

A. A. Slepyshev

Marine Hydrophysical Institute of the Russian Academy of Science; Sevastopol Campus of M.V. Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: slep55@mail.ru
Russian Federation, Kapitanskaya St., 2, 299011, Sevastopol; Geroyev Sevastopolya St.,7, 299001, Sevastopol

N. V. Laktionova

Sevastopol Campus of M.V. Lomonosov Moscow State University

Email: slep55@mail.ru
Russian Federation, Geroyev Sevastopolya St.,7, 299001, Sevastopol

References

Supplementary files