Unsteady chains of wave structures and anomalous transport of а passive scalar in a barotropic jet flow

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Цепочки мезомасштабных вихревых структур наблюдаются на фоне зональных течений в активном погодном слое атмосферы и в океане Земли, а также в атмосферах Юпитера и Сатурна [1–4]. Аналогичные цепочки структур получены при возбуждении волн в лабораторных экспериментах с квазидвумерными (баротропными) кольцевыми течениями несжимаемой жидкости, что можно считать косвенным подтверждением их баротропной природы в природных зональных течениях [2, 4–7]. Экспериментально доказано, что в нестационарных цепочках структур с замкнутыми линиями тока возможен аномальный перенос пассивной примеси [8, 9]. К настоящему времени наибольшее развитие получили кинематические модели аномального переноса, которые обычно включают в себя основную моду течения, порождающую стационарную цепочку вихрей, и дополнительные моды, в присутствии которых на границах замкнутых линий тока возникают стохастические слои [10–13]. Все эти моды обычно предполагаются нейтральными и описываются в рамках линейного приближения.

Неопределенность в выборе дополнительных нейтральных мод, которая является поводом для критики кинематических моделей [13], исключается в динамически согласованных моделях, основанных на решении полной нелинейной системы уравнений движения жидкости, которая позволяет изучать движение частиц-трассеров в режиме насыщения баротропной неустойчивости [13–18]. В работе [14] рассмотрена динамическая модель аномального переноса в баротропной меандрирующей струе. Слабое затухание волны в отсутствие внешних сил, поддерживающих равновесный профиль скорости, приводит к образованию апериодических во времени цепочек структур, порождающих аномальный перенос примеси. В [15] продемонстрирована возможность хаотической адвекции примеси в рамках динамической модели, основанной на концепции нелинейного критического слоя. Однако условия малой толщины критического слоя и малой диссипации, необходимые для реализации данной модели, зачастую трудновыполнимы. В работах [16, 17] разрабатывались динамические модели аномального переноса в слоях сдвига с модифицированным профилем скорости. В [16] показано, что течение в виде вязкого слоя сдвига с двумя максимумами на профиле завихренности имеет две неустойчивые моды, фазовые скорости которых различны. Численно изучено взаимодействие двух вихревых цепочек, каждая из которых содержит на периоде одну структуру с замкнутыми линиями тока. Обнаружен лагранжев хаос (перемешивание жидких частиц) при регулярном и хаотическом эйлеровом поле скорости. В [17] построена динамическая модель аномального переноса для течения типа слоя сдвига с немонотонным равновесным профилем скорости. В отличие от [16] рассмотрено возбуждение цепочки, содержащей семь структур на периоде c учетом вязкости, бета-эффекта и внешнего (донного) трения, что в большей степени соответствует геофизическим приложениям. Показано, что после ряда бифуркаций происходит переход к динамическому хаосу эйлерова поля скорости, который порождает аномальный перенос пассивной примеси. В работе [18] сообщалось о лагранжевом хаосе, возникающем в рамках в баротропной динамической модели полярного стратосферного вихря.

Наблюдаемые в лабораторных кольцевых течениях цепочки волновых структур, как правило, остаются стабильными даже при высоких надкритичностях [2, 6, 19]. Объяснение состоит в том, что в большинстве экспериментов создавались моноструйные течения и простые слои сдвига. В работе [20] показано, что переход к динамическому хаосу в струе Бикли, локализованной в канале, происходит при весьма высокой надкритичности (близкой к 16). Кроме того, при большой надкритичности в лабораторном эксперименте могут возникать эффекты нестационарности, связанные с разрушением квазидвумерной структуры течения [21, 22]. Более быстрый переход к динамическому хаосу возможен в течениях с усложненным профилем скорости, что согласуется и приведенными выше результатами для слоев сдвига. Это подтверждается также экспериментальным исследованием генерации волновых структур в течении Колмогорова [23].

В натурных условиях зональные течения в атмосфере Земли и планет могут иметь «изрезанный» профиль горизонтальной скорости, содержащий последовательность максимумов и минимумов [1]. Существование «многоструйных» зональных течений в океане подтверждается результатами численного моделирования [24]. Целью данной работы является построение динамической модели аномального транспорта в баротропном течении с равновесным профилем скорости в виде «двугорбой» струи, которую можно рассматривать как простейшую модель многоструйного профиля скорости. Вязкое плоскопараллельное струйное течение, подверженное влиянию бета-эффекта и внешнего трения, локализовано в канале с жесткими стенками, на которых ставятся условия прилипания и непротекания. В отличие от слоя сдвига в данном случае в потоке возникают две цепочки вихревых структур, каждая из которых способна формировать стохастические слои. Изучаются условия перехода к нестационарным цепочкам структур и связанного с ними аномального переноса примеси при увеличении надкритичности течения, которая определяется как отношение максимального значения скорости на профиле скорости струи к критической скорости возникновения неустойчивости. Расчеты проводятся до значений надкритичности, при которых впервые возникает динамический хаос. Выясняется роль бета-эффекта и числа вихрей на периоде цепочки на переход к сложной динамике.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Для описания баротропного струйного течения воспользуемся квазигеострофическими уравнениями, записанными в приближении бета-плоскости с учетом внешнего (донного) трения [2, 15]. Выберем масштаб скорости равным максимальной скорости течения в струе U и введем масштаб поперечного сдвига скорости L. Уравнения квазидвумерного плоскопараллельного течения в записи через абсолютную завихренность и функцию тока, после перехода к безразмерным переменным принимают вид

 (1)

где x и y — оси декартовой системы координат, направленные соответственно вдоль и поперек течения (в геофизическом течении это направления на восток и на север соответственно),  — двумерный лапласиан, ψ — функция тока, связанная с компонентами вектора горизонтальной скорости  выражениями  ;   — вертикальная компонента абсолютной завихренности,  — число Рейнольдса по эффективной кинематической вязкости v;  — безразмерный коэффициент внешнего трения ;  — безразмерный градиент параметра Кориолиса ;  — завихренность первичного плоскопараллельного течения с нормированным профилем скорости u₀(y). Стационарный (в отсутствие волн) профиль скорости u₀(y) создается внешней силой, которая моделируется неоднородными членами в первом уравнении (1). Следуя [20], рассмотрим плоскопараллельное струйное течение в канале с жесткими стенками y = ± y₁, на которых зададим условия непротекания и прилипания

 (2)

На краях интервала  в продольном направлении (вдоль оси x) налагаем периодические граничные условия (этот интервал в дальнейшем будем называть вычислительной областью). В этом случае решение краевой задачи (1) и  (2) можно представить в виде

 (3)

где  и  — осциллирующие по x компоненты завихренности и функции тока,  — профиль средней завихренности,  — профиль скорости среднего течения. Подставляя (3) в (1), после несложных преобразований получим уравнения для осциллирующих и средних полей

 (4)

 (5)

где черта сверху означает усреднение по периоду течения  Граничные условия (2) принимают вид

 (6)

Уравнения решались численно для струйного течения, которое в отсутствие возмущений имеет между стенками канала  с полушириной y₁ = 4 стационарный профиль скорости

(см. кривую 1 на рис. 1). Для этого профиля скорости с высокой точностью выполнены условия  и  первое из которых соответствует данному выше определению масштаба скорости U. В дальнейшем будем называть данный профиль скорости «двугорбым».

Рис. 1. Нормированные профили продольной скорости баротропного струйного течения в горизонтальном канале между стенками y = ±4: 1 — профиль скорости первичного течения u₀(y), 2 и 3 — профили средней скорости при γ = 1.63 и γ = 2.38 соответственно (Re = 60, β = 0.4).

ЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТРУИ И ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ТЕЧЕНИЯ

Используя линеаризованные относительно  и   уравнения (4) с граничными условиями (6) и представляя возмущения в виде   (f_1,2(y) — комплексные коэффициенты), получим задачу на собственные значения для определения зависимости частоты ω от волнового числа k. Воспользуемся представлением инкремента неустойчивости в виде [2]  На рис. 2 показаны результаты расчета инкремента неустойчивости изгибных волн в струе с двугорбым профилем скорости в отсутствие внешнего трения  В данном случае течение имеет две неустойчивые моды, что способствует возникновению разнообразных режимов генерации волн. Будем считать, что номера кривых 1 и 2, показанные на рис. 2, одновременно являются номерами мод при β = 0. Значения волновых чисел в максимуме  для мод 1 и 2 соответственно равны 0.64 и 0.885, а их инкременты  и 0.0919. С ростом β волновое число в максимуме  возрастает у моды 1 и убывает у моды 2. В случае β = 0.4 моды 1 и 2 показаны кривыми 3 и 4 на рис. 2. Значения волновых чисел в максимуме  соответственно равны 0.965 и 0.895, а их инкременты  и 0.0336. Вычисления показали, что при Re > 60 максимальный инкремент неустойчивости слабо зависит от числа Рейнольдса. Стремление неустойчивости к «невязкому» пределу при увеличении имеет принципиальное значение для самой возможности лабораторного моделирования генерации цепочек волновых структур в атмосфере [2]. В дальнейшем будем рассматривать близкую к лабораторному эксперименту ситуацию, когда неустойчивость появляется вследствие увеличения скорости струи U при постоянных λ^**, β^**, v и L [17, 20, 25]. При изменении U одновременно изменяются безразмерные параметры λ, Re и β. Критическому значению скорости U = U_c, при котором возникает неустойчивость, соответствуют критические значения параметров   и  Если принять, что Re_c и β_c совпадают с Re и β, при которых построены кривые на рис. 2, получим критический параметр внешнего трения для каждой моды  где k_c — критическое волновое число, которое соответствует максимуму инкремента  как функции k. Следуя [17, 20], введем параметр надкритичности течения  Отметим, что изменение γ приводит к изменению безразмерных параметров, входящих в (4), так как

Рис. 2. Инкремент неустойчивости в отсутствие внешнего трения Imω₀ и вещественная часть частоты изгибных волн Reω в струйном течении с «двугорбым» асимметричным профилем скорости при Re = 60. Кривые 1 и 2 показывают Imω₀ первой и второй моды при β = 0; 3 и 4 — то же самое при β = 0.4; 1'–4' — Reωмод с инкрементами 1–4.

АНОМАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ

Система уравнений (4)–(6) решалась численно с помощью псевдоспектрального метода в трактовке работ [26, 27]. Решение для осциллирующих по координате x полей представлялось в виде усеченных комплексных рядов Фурье

 (7)

где  ( — волновое число первой гармоники);  и  — комплексные амплитудные профили гармоник завихренности и функции тока, K — число «ненулевых» гармоник. Система уравнений для комплексных профилей  и  приведена в [17]. Производные по координате y аппроксимировались конечными разностями второго порядка точности. Дискретное преобразование Фурье включало в себя N = 64 комплексных гармоник, а число узлов дискретизации по y принималось равным 200. Для исключения влияния «алиасинга» значение K выбиралось из условия  [27]. Начальные профили гармоник завихренности имели малые амплитудные факторы и псевдослучайное распределение фаз (при каждом новом задании начальных условий формировались одинаковые наборы фаз гармоник). При этом начальные профили гармоник функции тока определялись через профили завихренности и удовлетворяли граничным условиям. На пороге возникновения неустойчивости (γ = 1) волновое число фундаментальной гармоники в разложении Фурье выбиралось из условия  В этом случае при γ > 1 в струе возникают вихревые цепочки, содержащие 7 вихревых структур на периоде течения. Для описания аномального переноса примеси система уравнений (4)–(6) дополнялась уравнениями движения жидких частиц-трассеров, которые в сопутствующей системе отсчета имеют вид

 (8)

где , j — номер частицы, c — фазовая скорость волны, равная скорости переноса цепочек вихревых структур.

При исследовании бифуркаций динамических режимов надкритичность γ увеличивалась посредством малых приращений, после каждого из которых она оставалась постоянной до достижения установившегося режима генерации (в расчетах увеличение γ производилось путем скачкообразного уменьшения параметра λ с постоянным шагом 0.0005). После каждого приращения γ к полю скорости добавлялись малые возмущения, моделирующие шумы в реальной системе (подробнее см. [17, 20, 25]). Основные расчеты проводились при β_{c =} 0.4, Re_{c =} 60 и  где  — критическое значение волнового числа 2-й моды (кривая 4 на рис. 2), которому соответствует .

Вычисления показали, что при γ > 1 в течении возбуждается стационарная волна волновым числом  порождающая две цепочки волновых структур с замкнутыми линиями тока. Далее при  и  последовательно происходят скачкообразные переходы к генерации стационарных волн с волновыми числами k₆ и k₅. Подобные переключения волновых режимов неоднократно наблюдались экспериментально и получены при численном моделировании (см., например, [2, 19, 25]). Отметим, что эти стационарные волны являются нелинейными, поскольку в спектрах их поля скорости и завихренности присутствуют кратные гармоники. При  скачкообразно возникает мультигармонический режим, в котором доминирует (формирует цепочки структур) нелинейная волна с волновым числом k₆. На рис. 3а показан частотно-волновой спектр A_ωk возмущений продольной скорости  вычисленный в этом режиме на уровне γ ₌ const ₌ 2.2 при надкритичности γ ₌ 1.63 (при каждом k_m спектр A_ωk совпадает с частотным спектром соответствующего коэффициента разложения (7)). Графические данные, представленные на рис. 3–6, получены при одних и тех же значениях β_{c =} 0.4, Re_{c =} 60. Линии тока в сопровождающей волну системе отсчета, рассчитанные при γ ₌ 1.63, показаны на рис. 4а (буквами A и B обозначены цепочки структур с замкнутыми линиями тока). Спектр на рис. 3а построен на уровне внешней границы замкнутых линий тока цепочки A. При γ ₌ 1.806 скачкообразно рождаются сателлиты гармоник дискретного частотно-волнового спектра, эволюция которых приводит к возникновению динамического хаоса при . На рис. 3б показан частотно-волновой спектр, определенный на уровне y ₌ 2.2 в хаотическом режиме с надкритичностью γ ₌ 2.382. Он характеризуется наличием пьедесталов сплошного частотного спектра в окрестности дискретных пиков. Наличие сложной динамики подтверждено вычислением наибольшего ляпуновского показателя p (подробнее см. [17, 20]). При γ ₌ 2.382 и γ ₌ 2.15 были получены значения  и . Таким образом, p возрастает с ростом надкритичности, а значение γ ₌ 2.15 действительно находится вблизи точки рождения динамического хаоса. Режим динамического хаоса сохраняется до надкритичности γ ₌ 2.47, после чего он сменяется новым мультигармоническим режимом.

Рис. 3. Частотно-волновые спектры продольной скорости на уровне y = 2.2 при γ = 1.63 (а) и γ = 2.38 (б). Прямые на плоскости (ω, k) показывают фазовую скорость нелинейных волн (c = 0.14 и c = 0.192 для (а) и (б) соответственно).

Следует отметить, что определение скорости сопутствующей системы отсчета (в которой центры замкнутых линий тока неподвижны) в случае мультигармонического и хаотического режимов нуждается в уточнении. С этой целью был использован видеофильм, показывающий эволюцию цепочек при различных значениях скорости c, которая подбиралась из условия остановки цепочки. Отметим, что в сопровождающей системе отсчета остается пространственно-временная модуляция замкнутых линий тока. Наличие гармоник разными фазовыми скоростями на рис. 3а является необходимым условием для аномального переноса пассивной примеси, связанного с образованием стохастических слоев в окрестности границы замкнутых линий тока цепочки A на рис. 4а [10]. Поэтому частотно-волновой спектр является удобным инструментом для выяснения возможности аномального переноса пассивной примеси в рамках динамической модели течения, когда структура волновых возмущений не является предопределенной и определяется насыщением баротропной неустойчивости.

Из рис. 4а видно, что линии тока цепочки A, находящейся со стороны основного «горба» на профиле скорости (см. рис. 1), модулированы значительно сильнее по сравнению с линиями тока цепочки B (дополнительные гармоники в частотно-волновом спектре на границе цепочки B имеют более низкие амплитуды по сравнению с основной волной, чем в цепочке A). Обе цепочки имеют одинаковую скорость переноса c = 0.14, совпадающую с фазовой скоростью нелинейной волны, формирующей цепочки структур. Построение линий уровня потенциальной завихренности  (которая в идеальном течении переносится жидкими частицами) показывает, что наиболее интенсивные вихревые возмущения локализованы в областях максимального наклона профиля скорости, показанного на рис. 1. На рис. 3б показаны траектории частиц-трассеров, находящихся в начальный момент на линии  и имеющих различные значения y. Для наглядности расположение частиц-трассеров отмечено точками с шагом по времени  Кроме того, траектории частиц в окрестности замкнутых линий тока выведены на существенно большем интервале времени (), чем траектории пролетных частиц в средней части струи (). Это сделано для того, чтобы уменьшить расслоение траекторий в средней части потока, вызванное нестационарностью линий тока. На временах  траектории частиц в средней части течения близки к линиям тока, показанным на рис. 3а.

Поведение траекторий в местах расположения цепочек структур A и B указывает на наличие спонтанных переходов от вращения частиц внутри замкнутых линий тока (захваченные частицы) к их поступательному движению за пределами замкнутых линий тока (пролетные частицы) и обратно. Видно, что в цепочке A частицы-трассеры достигают центров замкнутых линий тока, тогда как в цепочке B вращение частиц почти всегда происходит вблизи их границы с основным потоком. Это учтено ниже при выборе начальных условий для трассеров в цепочках A и B. Различие траекторий частиц в этих цепочках обусловлено более слабой модуляцией линий тока в цепочке B. Таким образом, траектории частиц-трассеров, показанные на рис. 4б, наглядно иллюстрируют механизм возникновения стохастических слоев в нестационарных цепочках волновых структур, который сводится к спонтанным переходам частиц через сепаратрисные контура, находящиеся на границе замкнутых линий тока [10, 11, 16].

Рис. 4. Мгновенный снимок линий тока струйного течения в сопутствующей волне системе отсчета при γ = 1.63 (а) и траектории 11 частиц-трассеров с начальными координатами x' = 0,  и дискретизацией перемещения частиц с шагом по времени  (б). Траектории частиц в области замкнутых линий тока и в центральной части потока показаны на временах t = 3000 и t = 600 соответственно.

При вычислении статистических характеристик смещения частиц-трассеров  начальные условия для частиц, относящихся к цепочке A, задавались в тонком слое толщиной 0.2 вблизи уровня y = 2.7, на котором находятся центральные точки замкнутых линий тока. При расчете перемешивания частиц в цепочке B начальные условия задавались в слое толщиной 0.2 по обе стороны двух общих «псевдосепаратрисных» контуров, которые проходили вдоль всех границ замкнутых линий тока и аппроксимировались отрезками ряда Фурье с периодом  (аналогично см. [17]). В расчетах, проведенных для ансамбля из 1600 частиц, были получены степенные зависимости от времени для среднего смещения частиц  и его дисперсии  (скобки означают среднее по ансамблю), которые характерны для аномального переноса [10]. Установление степенных законов для цепочек A и B в мультигармоническом и хаотическом режимах иллюстрируют зависимости  и σ² от времени, представленные на рис. 5. Поскольку для каждой цепочки α > 1, имеет место аномальная диффузия примеси, которую можно классифицировать как супердиффузию [10] (при нормальной диффузии α = 1). Найденные значения показателя s показывают, что адвекция близка к нормальной (при которой строго s = 1).

Рис. 5. Зависимость от времени среднего значения (а) и дисперсии (б) смещения частиц в мультигармоническом и хаотическом режимах генерации волн (1, 3 — γ = 1.63; 2, 4 — γ = 2.38). Пунктиром показаны линейные аппроксимации для вычисления показателей степенных зависимостей от времени. (a): 1 — s = 1.047, 2 — 1.044, 3 — 1.05, 4 — 1.035; (б): 1 — α = 1.42, 2 — 1.93, 3 — 1.60, 4 — 1.90.

Степенные зависимости M и σ² от времени говорят о негауссовой статистике смещения частиц пассивной примеси. Наличие траекторий с длинными пробегами частиц приводит к увеличению дисперсии смещения частиц во времени [10]. Как показано в [10], негауссова статистика характеризуется автомодельной плотностью вероятности смещения частиц-трассеров, которая имеет вид

 (9)

где f — нормированная плотность вероятности,  В соответствии с определением дисперсии  постоянная α совпадает с показателями степенного закона дисперсии, вычисление которых представлено на рис. 5. Результаты расчета f как функции  для цепочки структур A в мультигармоническом режиме (γ = 1.63) для трех последовательных моментов времени показаны на рис. 6. Совпадение функций f, построенных в различные моменты времени, доказывает «схлопывание» плотности вероятности к автомодельной зависимости. Функция f имеет выраженную негауссовскую форму, которая характеризуется подъемом при больших смещениях частиц, связанным с длинными пробегами частиц в направлении потока (см. рис. 4б).

Рис. 6. Нормированная плотность вероятности смещения частиц-трассеров как функция автомодельной переменной η для цепочки структур A в мультигармоническом (а) и хаотическом (б) режимах генерации волн в последовательные моменты времени t = 800, 900, 1000.

Рассмотрим кратко вопрос о влиянии вариаций параметров течения на образование нестационарных вихревых цепочек. В расчетах для двугорбой струи без бета-эффекта (β = 0) установлено, что при совпадении критического волнового числа первой моды с седьмой пространственной гармоникой: , λ_с =  Re_с = 60 при надкритичности γ > 1 возникает мультигармонический режим генерации цепочек структур с волновым числом основной нелинейной волны k₇, а при и γ > 1.252 происходит скачкообразное перестроение этого спектра с сохранением доминирования этой волны. Затем в интервале 1.613 < γ < 1.809 быстро нарастает модуляция амплитуд пространственных гармоник во времени. При этом происходит подавление нелинейной волны с волновым числом k₇ и переключение в режим динамического хаоса, в котором формирование цепочки структур определяется нелинейной волной с волновым числом k₆. В обоих режимах сохраняются качественные особенности частотно-волновых спектров, представленных на рис. 3а, б (отличие состоит в количестве и величине амплитуд возбужденных гармоник дискретного спектра). Динамический хаос обнаружен в интервале 1.809 < γ < 2.39. При γ > 2.39 начинается новая последовательность бифуркаций, включающая в себя возврат к регулярным режимам и повторное возникновение динамического хаоса. Отметим, что в данном примере мультигармонический режим с нестационарными цепочками структур реализуется уже при малой надкритичности, однако в отличие от кинематических моделей отсутствует неопределенность значений параметров гармоник. Таким образом, в отсутствие бета-эффекта имеет место более раннее возникновение нестационарных цепочек структур и, следовательно, более раннее возникновение аномального переноса пассивной примеси по сравнению с приведенным выше расчетом при β_с = 0.4. Переход к развитой турбулентности не рассматривался, так как его описание выходит за рамки возможностей принятой схемы численного решения полной системы уравнений.

Изучалось также влияние числа вихревых структур в цепочке на переход к хаосу. Расчеты проводились при  β_с = 0.4,  и Re_с = 60 наложении условия совпадения критического волнового числа с 9-й пространственной гармоникой:  При γ = 1, 1.047, 1.098, 1.394, 1.856… и  γ = 2.56 последовательно происходили следующие бифуркации: 1) рождение периодических цепочек структур, созданных волной с волновым числом k₉; 2) скачкообразный переход  3) скачкообразный переход  4) скачкообразный переход к мультигармоническому режиму (нестационарным цепочкам структур) с увеличением волнового числа доминирующей нелинейной волны:  В интервале 1.856 < γ < 2.56 обнаружено три различных мультигармонических режима (описание которых для краткости опускаем), после чего в интервале 2.56 < γ < 2.90 наблюдался режим динамического хаоса с доминированием волны с волновым числом k₇. Дальнейшее развитие течения сводилось к возвращению к регулярным режимам и повторному рождению динамического хаоса. Таким образом, увеличение числа вихревых структур в первичной цепочке и связанное с ним сближение волновых чисел пространственных гармоник приводит к росту числа бифуркаций на пути к динамическому хаосу. Порог возникновения регулярных нестационарных цепочек незначительно повышается по сравнению со случаем возбуждения 7 вихрей. По-видимому, для ускорения перехода к хаосу более важным фактором является выполнение подходящих условий для нелинейного взаимодействия гармоник и поступления к ним энергии из потока.

Приведем оценки, подтверждающие возможность генерации нестационарных волновых структур в нижнем плотном слое атмосферы при возбуждении цепочки из 9 вихрей в течении с указанными выше безразмерными параметрами. Предположим, что течение замкнуто в кольцо на широте °, при которой радиус окружности на земной поверхности r^** = 4500 км. Эту окружность совместим с серединой кольца (линией y = 0). Поскольку длина окружности 2πr равна длине волны первой гармоники 2π/k₁, получим безразмерный радиус кольца r = 9/k_c ≈ 10. Соответственно масштаб сдвига скорости L = r^**/r = 450 км. Ширина кольца 2y₁, равная 8 в безразмерных единицах, в исходных переменных составляет 3600 км. Поскольку размерностный градиент параметра Кориолиса  м^–1с^–1 [28], критическая скорость 8.2 м/c и размерностный коэффициент внешнего трения c^–1. Отклонение течения от параллельного можно считать малым, так как  Согласно приведенному выше расчету мультигармонический режим должен наблюдаться в интервале скоростей 11.5 м/c < U < 15.2 м/c, а хаотический — при U > 21 м/c. Полученные размерностные параметры реальны для течения в атмосфере. В случае 7 вихрей L = 576 км и критическая скорость течения равна 13.4 м/c.

Лабораторное моделирование кольцевых цепочек структур часто проводится при β = 0. Приведем оценки для кольцевого течения в отсутствие вращения жидкости как целого. Для определенности будем считать, что кольцевое течение создается МГД-методом [2]. При указанных выше параметрах с возбуждением 7 вихрей примем радиус кольца в его серединной части r^** = 16 см. Поскольку  получим L = r^**/r = 1.45 см. Ширина канала равна 8L = 11.7 см. Используя формулу для числа Рейнольдса при ν = 0.01 см²/с находим критическую скорость U_c = 0.4 см/с. В соответствии с выражением для толщины вязкого пограничного слоя [2] получим толщину жидкого слоя  см и размерностный коэффициент донного трения  c^–1. Параметр непараллельности течения  Проведенные оценки указывают на возможность реализации аномального переноса в лабораторном эксперименте как в мультигармоническом, так и в хаотическом режиме.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе на примере струи с «двугорбым» асимметричным профилем скорости продемонстрирована возможность аномального переноса пассивной примеси в нестационарных цепочках волновых структур, возникающих при насыщении баротропной неустойчивости в плоскопараллельном струйном течении в канале с жесткими стенками в присутствии бета-эффекта и внешнего трения. Показано, что при возбуждении высоких мод возникновение нестационарных цепочек сначала происходит в режиме генерации поля скорости с дискретным мультигармоническим частотно-волновым спектром при надкритичностях существенно ниже порога первого появления динамического хаоса. Вычисление показателей степенных зависимостей среднего смещения частиц-трассеров и его дисперсии в мультигармоническом и хаотическом режимах показали, что адвекция примеси близка к нормальной, тогда как их диффузия является существенно аномальной и может классифицироваться как супердиффузия. В отсутствие бета-эффекта мультигармонический режим с дискретным спектром появляется при малых надкритичностях. Показано, что плотность вероятности смещения частиц в цепочках структур подчиняется автомодельному закону. Увеличение числа вихрей на периоде цепочек приводит к увеличению числа бифуркаций при переходе к динамическому хаосу, но не снижает порог его появления по надкритичности. Проведенные вычисления показали, что основные режимы генерации и переходы между ними являются грубыми характеристиками рассмотренного струйного течения.

About the authors

V. P. Reutov

Author for correspondence.
Email: reutov@appl.sci-nnov.ru
Russian Federation, Ulyanova St., 46, Nizhny Novgorod, 603950

G. V. Rybushkina

Email: reutov@appl.sci-nnov.ru
Russian Federation, Ulyanova St., 46, Nizhny Novgorod, 603950

References

Supplementary files