Dispersion relation for wind waves with account for the drift current

全文:

ВВЕДЕНИЕ

Дисперсионное соотношение для гравитационно-капиллярных волн широко используется в различных геофизических приложениях [Голицын, 2013]. Для покоящейся среды такие волны хорошо изучены и результаты эксперимента и теории находятся в хорошем соответствии [Miles, 2001]. Для ветровых волн появляется дрейфовое течение и распространение поверхностных волн описывается уравнением Рэлея. Очевидно, что в случае, когда толщина пограничного слоя в воде велика по сравнению с глубиной возмущений в гравитационно-капиллярной волне, то модернизация уравнения связана с простым учетом эффекта Доплера. В случае, когда толщины сравнимы, учет эффекта сложен и в общем случае аналитическое решение отсутствует. В геофизике, как правило, ограничиваются двумя предельными случаями, то есть учетом с помощью эффекта Доплера или анализом с помощью дисперсионного соотношения для неподвижной среды. Для объяснения “промежуточных ситуаций“ часто рассматривается существование угла между направлением волн и направлением течения (см, например [Tilinina et al., 2022]). В то же время, есть и другое объяснение – это изменение соотношения между толщиной дрейфового слоя и длиной гравитационно-капиллярной волны. С точки зрения решения такой задачи можно выделить два подхода. Первый подход, основанный на простом анализе уравнения Рэлея, связан с поиском аналитических решений для некоторых видов профиля скорости [Burns, 1953; Hunt, 1955; Yih, 1972]. Второй подход связан с поиском эмпирических соотношений, фиксирующих отклонение экспериментальных данных от результата для покоящейся среды [Liberzon et al., 2011; Zavadsky et al., 2017]. Очевидны недостатки обоих подходов. В первом случае профили с аналитическими решениями не соответствуют реальным. Во втором не совсем понятно, что будет с поправками при изменении, например, параметров ветрового канала. Сравнение небольших [Longo et al., 2012] и более крупных каналов [Siddiqui et al., 2007] показывает, что параметры дрейфового ветрового течения отличаются очень существенно. Таким образом, эмпирические соотношения не могут описать всю совокупность явлений, а главное – не могут ответить на вопрос о применимости дисперсионного соотношения для ветровых волн в общем случае. В таких условиях оптимальным вариантом для проверки оказывается использование экспериментально измеренного профиля скорости и создание численного алгоритма, который позволяет рассчитать частоту для любого волнового вектора с помощью численного решения уравнения Рэлея [Tagakaki et al., 2020]. С точки зрения эксперимента необходимо определение рельефа волновой поверхности как функции координат и времени и определение профиля скорости. Существуют различные подходы к измерению этих величин. Широко распространенным методом измерения рельефа поверхности является стереосъемка, которая применяется как в натурных [Guimarães et al., 2020], так и в лабораторных [Shemer, 2019] условиях. Менее точным, но более простым методом, позволяющим охватить большие площади, оказывается применение радаров [Kanevsky, 2009; Yang et al., 2022]. Интересно отметить, что при измерении радарами возникает необходимость в двух подгоночных параметрах и они определяются как раз из линейного дисперсионного соотношения либо в пренебрежении доплеровскими эффектами, либо в предположении простого доплеровского сдвига. Используется также вариант с корректировкой этих величин либо за счет введения малой глубины слоя, либо за счет использования предположения о наличии угла между скоростью ветра и направлением распространения волн [Tilinina et al., 2022]. В лабораторных условиях более высокую точность измерений можно получить при фиксации отклонения лучей, преломляющихся на поверхности. Даже использование одного луча дает достаточно много информации с хорошим временным разрешением [Zavadsky et al., 2017]. Возможно измерение профиля с помощью проволочных датчиков [Troitskaya et al., 2012; Tagakaki et al., 2020], но более перспективным является использование цветного шлирен-метода, впервые предложенного в [Zhang et al., 1994] и реализованного применительно к данной задаче впервые в [Veron et al., 2001]. Такой метод, по сравнению с перечисленными, дает не единичные точки, а большие массивы экспериментальных данных по пространству и времени. В настоящей работе используется модернизация данного метода, повышающая точность измерений [Плаксина и др., 2023].

Измерение профиля скорости дрейфового течения также может проводиться традиционными методами, например, связанными с использованием трубок Пито [Polnikov et al., 2020], или акустической доплеровской велосиметрии [Troitskaya et al., 2012], но в лабораторных условиях более информативным оказывается использование стандартного метода цифровой трассерной визуализации (PIV) [Raffel et al., 2018]. Метод PIV достаточно активно используется для измерений в ветровых каналах [Плаксина и др., 2023; Banner et al., 1998; Siddiqui et al., 2007]. Следует отметить, что для сильных ветровых волн применение метода PIV ограничено из-за турбулизации потока (см, например, [Troitskaya et al., 2012]), но в этом случае нелинейное взаимодействие приводит к невозможности применения уравнения Рэлея и необходимо рассматривать нелинейные поправки, используя существенные упрощения [Simmen et al., 1985; Tagakaki et al., 2020].

Использование ИК-термографии позволяет существенно расширить информацию о приповерхностном течении и может использоваться как для определения скорости поверхности по смещению мелких тепловых структур [Кандауров и др., 2014], так и для исследования вопроса о наличии или отсутствии поверхностной пленки [Плаксина и др., 2023; Veron et al., 2001].

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ ПО УРАВНЕНИЮ РЭЛЕЯ

Рассмотрим уравнение Рэлея и алгоритм его численного решения при известном профиле дрейфовой скорости. Стандартный анализ малых возмущений (возмущения скорости в ветровой волне существенно меньше дрейфовой скорости) приводит к уравнению Рэлея [Miles, 2001; Burns, 1953; Yih, 1972; Hunt, 1955], описывающему малые возмущения скорости в приповерхностном слое. Выпишем уравнение для возмущений вертикальной скорости $\tilde{v}$

$\left(\omega -kU\right)\left(\frac{d^2\tilde{v}}{d{z}^2}-k^2\tilde{v}\right)+k\tilde{v}\frac{d^{2}U}{d{z}^2}=0$, (1)

которое написано для гармоники возмущений вертикальной скорости

$\tilde{v}\left(z\right)\exp (-i\omega t+ikx)$, (2)

распространяющейся по среде с профилем скорости U(z).

В (1, 2) ω – частота, k – волновой вектор, соответствующий горизонтальному распространению волны по направлению ветра.

Граничные условия для возмущений скорости определяются влиянием силы тяжести и лапласова давления и с учетом вертикального смещения поверхности ξ имеют стандартный вид

$$\begin{gathered} \frac{d\xi }{dt}=\frac{\partial \xi }{\partial t}+U\left(0\right)\frac{\partial \xi }{\partial x}=v_{z=0} \\ p\text{'}=-\rho g\xi +\sigma \frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2} \end{gathered}$$ (3)

где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, σ – коэффициент поверхностного натяжения, ξ – смещение рельефа по вертикальной оси, p’ – возмущение давления. Для замыкания граничных условий необходимо использовать уравнение движения по оси x, выписанное для точки на поверхности z = 0:

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial x}p\text{'}=-\frac{\partial v_x}{\partial t}-U\left(0\right)\frac{\partial v_x}{\partial x}-v\frac{\partial U}{\partial z}$ (4)

и уравнение непрерывности

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial z}=0$, (5)

где v_x – возмущение скорости по горизонтальной оси. Исключая из (3)–(5) возмущения давления и горизонтальной скорости, из системы (3) получим с учетом разложения по гармоникам, аналогичного (2)

$\begin{array}{c}i\left(\omega -kU\left(0\right)\right)\tilde{\xi }=-\tilde{v}\\ -kg\tilde{\xi }-\frac{\sigma k^3}{\rho }\tilde{\xi }=-i\left(\frac{\omega }{k}-U\left(0\right)\right)\frac{d\tilde{v}}{dz}+i\tilde{v}\frac{dU}{dz}.\end{array}$ (6)

Система (6) позволяет исключить возмущение вертикального смещения и свести граничные условия к одному уравнению для возмущения вертикальной скорости на поверхности

$\begin{array}{c}\tilde{v}\left(g+\frac{\sigma k^2}{\rho }\right)=-{\left(\frac{\omega }{k}-U\left(0\right)\right)}^2\frac{d\tilde{v}}{dz}-\\ -\tilde{v}\left(\frac{\omega }{k}-U\left(0\right)\right)\frac{dU}{dz}.\end{array}$ (7)

Уравнение (1) с граничным условием (7) и определяет решение задачи.

Например, при отсутствии дрейфовой скорости U(z) = 0, из (1) получим, что

$\frac{d^2\tilde{v}}{d{z}^2}-k^2\tilde{v}=0$. (8)

Решение (8), удовлетворяющее условию сходимости на глубине в приближении глубокой воды:

$\tilde{v}=v_0\exp (-kz)$. (9)

Подстановка (9) в (7) приводит к известному дисперсионному соотношению

${\omega }^2=kg+\frac{\sigma k^3}{\rho }$. (10)

Это решение определяет первый предел по частотам. Второй предел определяется условием U(z) = U(0). В этом случае условие (9) сохраняется, а подстановка (9) в (7) дает

${\left(\omega -kU\left(0\right)\right)}^2=kg+\frac{\sigma k^3}{\rho }$. (11)

Это уравнение дает максимальное значение частоты. В случае сравнимой ширины дрейфового слоя и глубины гравитационно-капиллярных волн возникает промежуточная ситуация, “эффективная скорость“ оказывается между нулем и величиной скорости дрейфа на поверхности U(0). По этой причине и частота оказывается между минимальным значением, определяемым (10), и максимальным, определяемым (11). Аналитические решения с различными профилями U(z) можно найти в [Burns, 1953; Hunt, 1955; Yih, 1972].

В рассматриваемых условиях можно использовать методику численного анализа дисперсионного уравнения [Tagakaki et al., 2020]. Уравнение (1) – второго порядка, и для заданной величины волнового вектора необходимо найти такую величину ω, при которой величина $\tilde{v}$ стремится к нулю при удалении на бесконечность по z (будет рассмотрено приближение глубокой воды, соответствующее экспериментальным условиям, расширение задачи на случай произвольной глубины слоя проблемы не представляет). Начальные условия при z = 0 определяются (7). Саму величину  можно взять равной единице (в линейном приближении амплитуда произвольна), а производная удовлетворяет условию (7)

${\left(\frac{\omega }{k}-U\left(0\right)\right)}^2\frac{d\tilde{v}}{dz}=-\left(g+\frac{\sigma k^2}{\rho }\right)\tilde{v}-\tilde{v}\left(\frac{\omega }{k}-U\left(0\right)\right){\frac{dU}{dz}}_{z=0}$. (12)

Задача может быть решена методом Рунге–Кутты c подбором величины ω для заданного волнового вектора k. Полученная величина ω для монотонного профиля скорости лежит в интервале от минимального значения, определяемого (10), до максимального, определяемого (11). Очевидно, что при сложном профиле дрейфового течения (например, со сменой направлений) диапазон изменения частоты может быть шире.

Приведенный алгоритм является общим и позволяет рассчитать дисперсионную кривую при произвольном заданном вертикальном профиле горизонтальной скорости.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Для сравнения теоретических расчетов дисперсионной кривой с экспериментальными данными были проведены измерения, позволяющие определить необходимые нам параметры ветровых волн. Измерения проводились в ветро-волновом канале из прозрачного оргстекла в слое воды глубиной 29 см при различных скоростях ветра в двух вариантах – в чистой технической воде и при добавлении 0.1 мМ додецилсульфата натрия (SDS). Горизонтальные размеры канала отображены на рис. 1. На этом же рисунке обозначены места, в которых проводились измерения. Обдув поверхности происходил c узкого края через решетку размером 10 × 15 см, с ячейками 1 × 1 см. Решетка использовалась для формирования плоскопараллельного воздушного потока на начальном участке канала. Следует отметить, что соотношение глубины канала и размеров фиксируемых волн позволяли применять приближение глубокой воды.

 

Рис. 1. Схема ветро-волнового канала (вид сверху). 1, 2, 3, 4, 5, 6 – места измерения полей скорости в воде в вертикальной плоскости и скорости ветра термоанемометром РСУ-423 на высоте 1.7 см от уровня невозмущённой поверхности; прямоугольниками обозначены области измерения поля температуры и рельефа поверхности

 

Поля скорости измерялись методом цифровой трассерной визуализации вблизи поверхности воды в вертикальных сечениях размером порядка 2×1 см, расположенных в 20, 40, 60, 80, 168 и 224 см от начала канала (см. рис. 1). Съемка велась высокоскоростной камерой с частотой 500 кадров в секунду. Далее поля вертикальной скорости усреднялись по горизонтальной координате и времени (период усреднения 10 с) и получались вертикальные профили горизонтальной составляющей скорости в поверхностном слое воды. По средней горизонтальной скорости на поверхности оценивалась скорость дрейфа поверхности по направлению ветра. Для используемой в работе съемки пространственное разрешение составляло 0.3 мм.

Определение рельефа поверхности в местах, обозначенных на рис. 1 прямоугольниками, проводилось цветным шлирен-методом [Плаксина и др., 2023; Zhang et al., 1994]. Пример результатов измерений приведён на рис. 2.

 

Рис. 2. Примеры измеренных распределений рельефа поверхности в области 2 на рис. 1, при скорости ветра над этой областью 2.7 ± 0.1 м/с: a – в воде, б – в воде с 0.1 мМ SDS (Для наглядности рельеф поверхности окрашен в оттенки серого согласно цветовой шкале соответствующей значениям z)

 

По полученным полям рельефа поверхности рассчитывался пространственно-временной спектр ветровых волн. Для сравнения с “классическими“ методами следует указать, что количество измеряемых точек по пространству велико (примерно 1900 на 700 пикселей) для участка поверхности длиной 40 см и шириной 15 см. В данных измерениях на каждый квадратный сантиметр приходится примерно 2000 пикселей, что позволяет рассматривать длины волн до 0.2 мм. Понятно, что эта величина зависит только от особенностей съемки и размеров матрицы. Частота съемки определяет разрешение по частотам. В нашем случае частоты ограничивались величиной 200 с^-1.

С помощью ИК-термографии высокого разрешения тепловизором FLIR SC 7700 (спектральный диапазон 3.7–4.8 мкм, матрица 640 × 512 пикс) отслеживались термические структуры поверхности воды, по которым определялись наличие или отсутствие пленки естественных примесей на поверхности [Плаксина и др., 2023; Veron et al., 2001].

ЗАВИСИМОСТЬ ДИСПЕРСИОННОГО СООТНОШЕНИЯ В ВЕТРОВЫХ ВОЛНАХ ОТ НАЛИЧИЯ ПРИМЕСИ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ И СКОРОСТИ ВЕТРА

Рассмотрим два типичных спектра ветровых поверхностных волн, полученных экспериментально на основе измерения рельефа поверхности в течении некоторого времени и средней скорости дрейфа. Такой подход позволяет проанализировать задачу даже без знания профиля дрейфового течения. Эти данные вполне доступны и при натурных измерениях. На рис. 3 приведены результаты для воды (cкорость обдува v_air = 4.64 м/с, скорость дрейфового течения на поверхности U₀ = 12.3 см/с) и воды с добавлением SDS (cкорость обдува v_air = 4.47 м/с, скорость дрейфового течения на поверхности U₀ = 28.4 см/с). При данных скоростях область, на которой измеряется рельеф поверхности в воде, свободна от поверхностной пленки, а в воде с добавлением SDS пленка успевает восстанавливаться из обьема в процессе движения за счет дрейфового течения. На оба спектра также нанесены дисперсионные кривые ω(k): сплошная без учета движения поверхности (10), пунктирная с учетом доплеровского сдвига по скорости (11). Из рис. 3 видно, что в воде в рассматриваемом диапазоне волновых векторов толщина дрейфового течения оказывается больше длины волны и результат хорошо описывается доплеровским приближением. Такая ситуация типична для ветровых каналов при использовании чистой воды [Veron et al., 2001; Tagakaki et al., 2020]. При добавлении малой примеси SDS толщина дрейфового течения существенно уменьшается и по графику 3б можно даже определить характерную толщину слоя. Она соответствует таким обратным волновым векторам, при которых начинается смещение с кривой (10) в сторону зависимости (11). Очевидно, что расположение реальной дисперсионной кривой между двумя предельными значениями может трактоваться как изменение угла между течением и ветром (то есть доплеровская добавка берется с некоторым весом, зависящим от угла). Однако рис. 3б свидетельствует, что изменение влияния доплеровской добавки может происходить в рамках одного измерения при увеличении волнового вектора k, и такое изменение свидетельствует о влиянии толщины дрейфового течения.

 

Рис. 3. Cравнительный анализ спектров волн (прямоугольная область вблизи точки 2 на рис. 1): а – вода, б – вода с добавлением SDS. Сплошная и пунктирная кривые – расчеты по формулам (10) и (11) соответственно. Цветовые шкалы показывают десятичные логарифмы амплитуды спектральной плотности

 

Любой анализ дисперсионного уравнения должен начинаться со сравнения значений kU(0) и ω. Если отношение этих величин существенное в рассматриваемом диапазоне волновых векторов, необходимо учитывать доплеровский сдвиг и проводить анализ толщины дрейфового течения.

Профиль скорости в ветровом канале определяется замыканием течения и наличием двух областей – ветрового погранслоя и обратного течения. Очевидно, что обратное течение не будет влиять на распространение волн при условии, что оно расположено ниже, чем величина 1/k, определяющая глубину гравитационно-капиллярных поверхностных волн. На рис. 4 представлены типичные профили скорости для воды и воды с добавлением SDS для тех же параметров, как и на рис. 3. Как видно из рис. 4, предварительные выводы о разной толщине дрейфового течения полностью подтвердились. Сравнение профилей возмущений скорости, полученных из численного расчета и приведенных на рис. 4б для определенного волнового вектора, также подтверждает выдвинутые предположения. Профиль возмущения вертикальной скорости для воды практически совпадает с теоретическим (9), а вот при наличии SDS профиль сильно искажается за счет дрейфового течения, которое сильно меняется на глубине проникновения возмущений скорости.

 

Рис. 4. а – нормированные на скорость дрейфа поверхности вертикальные профили горизонтальной скорости на расстоянии x = 40 см (точка 2 на рис. 1), полученные из PIV-измерений для 1 – воды, 2 – воды с SDS; б – зависимость возмущения скорости для k = 1.52 см^-1 от глубины для 1 – воды, 2 – воды с SDS, 3 – “классического“ расчета (по формуле (9))

 

Рассмотрим теперь, как в итоге меняется дисперсионное соотношение при увеличении скорости обдува в воде и в воде с добавлением SDS. На рис. 5 представлены результаты для разных скоростей обдува на расстоянии 40 см от начала канала для воды, а на рис. 6 – для воды с добавлением SDS. Как видно из представленных рисунков, расчет уравнения Рэлея с учетом реального профиля дрейфовой скорости достаточно точно описывает дисперсионную кривую и практически совпадает с экспериментальными данными. Но для воды без добавления SDS дисперсионная кривая не сильно отличается от дисперсионной кривой, рассчитанной с учетом эффекта Доплера, тогда как для воды с добавлением SDS это расхождение значительно. С увеличением k отличие точного решения от классического дисперсионного соотношения, не учитывающего скорость дрейфа, растет очень существенно.

 

Рис. 5. Дисперсионные кривые для воды на расстоянии 40 см от начала канала. (а) v_air = 1.49 м/с, U₀ = 9.24 см/с; (б) v_air = 2.24 м/с, U₀ = 9.60 см/с; (в) v_air = 3.32 м/с, U₀ = 6.63 см/с. Черная кривая – расчет по формуле (10), пунктирная – расчет по формуле (11), светлая кривая – расчет с учетом профиля скорости. Цветовые шкалы показывают десятичные логарифмы амплитуды спектральной плотности

 

Рис. 6. Дисперсионные кривые для воды с добавлением SDS на расстоянии 40 см от начала канала: а – v_air = 1.34 м/с, U₀ = 8.06 см/с; б – v_air = 2.08 м/с, U₀ = 12.8 см/с; в – v_air = 3.12 м/с, U₀ = 19.3 см/с. Черная кривая – расчет по формуле (10), пунктирная – расчет по формуле (11), светлая кривая – расчет с учетом профиля скорости. Цветовые шкалы показывают десятичные логарифмы амплитуды спектральной плотности

 

Следует иметь в виду, что применимость уравнения Рэлея ограничивается линейными эффектами. В теории поверхностных волн нелинейность, как правило, связывают с величиной kξ. В данном случае эта величина не превышает в рассматриваемом диапазоне 0.21 для воды и 0.021 для воды с добавлением SDS. То есть в рассматриваемом диапазоне частот при распространении волн в воде с добавлением SDS условие v << U выполнено с большим запасом и применение уравнения Рэлея не вызывает вопросов. Для воды эти величины становятся сравнимыми для высоких частот, но уравнение Рэлея продолжает достаточно неплохо описывать дисперсионную кривую, но дает только небольшие поправки к простому доплеровскому сдвигу частоты. Условие малости скорости в гравитационной волне существенно нарушается для сильных ветровых волн [Tagakaki et al., 2020]. В этом случае уравнение Рэлея не выполнено и требуется анализ нелинейных режимов. Такой анализ в настоящее время рассматривался только для определенных типов основного течения (например, линейного [Simmen et al., 1985; Tagakaki et al., 2020]). Но линейный профиль для дрейфового течения в канале мало соответствует реальности.

Рассмотрим теперь зависимость дисперсионного соотношения от расстояния от начала канала. Очевидно, что от расстояния от начала канала зависит амплитуда волн и параметры спектра (см, например, [Мельникова и др., 2012]). В то же время, с точки зрения линейной теории, дисперсионное уравнение должно определяться только профилем скорости. Это свойство хорошо иллюстрируется рис. 7 и 8. На рисунках видно хорошее соответствие линейной теории и эксперимента.

 

Рис. 7. Зависимость дисперсионного соотношения от расстояния x от начала канала для воды: а – x = 40 см, v_air = 2.79 м/с, U₀ = 7.43 см/с; б – x = 60 см, v_air = 2.68 м/с, U₀ = 6.46 см/с; в – x = 80 см, v_air = 2.52 м/с, U₀ = 7.56 см/с. Черная кривая – расчет по формуле (10), пунктирная – расчет по формуле (11), светлая кривая – расчет с учетом профиля скорости. Цветовые шкалы показывают десятичные логарифмы амплитуды спектральной плотности

 

Рис. 8. Зависимость дисперсионного соотношения от расстояния x от начала канала для воды с добавлением SDS: а – x = 40 см, v_air = 2.60 м/с, U₀ = 16.0 см/с; б – x = 60 см, v_air = 2.60 м/с, U₀ = 17.7 см/с; в – x = 80 см, v_air = 2.44 м/с, U₀ = 18.3 см/с. Черная кривая – расчет по формуле (10), пунктирная – расчет по формуле (11), светлая кривая – расчет с учетом профиля скорости. Цветовые шкалы показывают десятичные логарифмы амплитуды спектральной плотности

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимость учета дрейфового течения при расчете дисперсионных кривых не вызывает сомнений. В то же время точный учет взаимодействия течения с гравитационно-капиллярной волной в линейном приближении требует решения уравнения Рэлея. С точки зрения анализа уравнения Рэлея существовал большой разрыв между решаемыми модельными задачами и расчетами для реальных профилей течения. В работе рассмотрен алгоритм расчета дисперсионного соотношения, который позволяет строить дисперсионные кривые, исходя из экспериментальных данных для реального профиля дрейфового течения. Основным фактором, определяющим влияние течения, оказывается отношение величины kU(0) к частоте волны ω. Если это отношение достаточно велико – в первую очередь необходимо проанализировать влияние простого доплеровского сдвига, дающего максимальное увеличение частоты. Как показывают наши эксперименты в ветровом канале и данные других авторов, для воды такой расчет оказывается достаточно точным, но такая ситуация вызвана только большой толщиной течения по сравнению с рассматриваемыми длинами волн. В реальных натурных условиях их отношение может быть любым. Еще один вывод работы связан с тем, что малые добавки растворимых примесей резко перестраивают структуру дрейфового течения. Такие добавки не образуют сликов в их классическом понимании, но создают “динамическую пленку“, которая за счет процессов адсорбции–десорбции формирует специфическое дрейфовое течение, достаточно узкое и с малой амплитудой волн на поверхности по сравнению с чистой водой. Очевидно, что и в натурных условиях такой вариант вполне возможен. Представленные результаты указывают на тот факт, что уравнение Рэлея хорошо выполняется и позволяет получить дисперсионное соотношение в общем случае при выполнении линейного приближения. Стандартный анализ дисперсионного соотношения с применением “угла между волной и ветром“, вообще говоря, не обязательно соответствует действительности. Длинноволновые волны имеют значительную глубину проникновения и влияние дрейфовых течений (а точнее, любых течений под поверхностью) может быть велико. Анализ дисперсионного уравнения оказывается полезным инструментом для анализа подповерхностных течений. Применяемая для радарных измерений нормировка по дисперсионному уравнению, вообще говоря, превращается в самосопряженную задачу. Только решение такой задачи позволит выработать правильные алгоритмы анализа ветрового волнения на основе радарных наблюдений.

БЛАГОДАРНОСТИ

Выражаем благодарность д. ф.-м. н. О. Н. Мельниковой за помощь в организации эксперимента. Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 22–79–00135). Было использовано оборудование, приобретенное за счет средств Программы развития Московского университета.

作者简介

Yu. Plaksina

Lomonosov Moscow State University

编辑信件的主要联系方式.
Email: yuplaksina@mail.ru
俄罗斯联邦, Moscow

A. Pushtaev

Lomonosov Moscow State University

Email: yuplaksina@mail.ru
俄罗斯联邦, Moscow

V. Rodygin

Lomonosov Moscow State University

Email: yuplaksina@mail.ru
俄罗斯联邦, Moscow

N. Vinnichenko

Lomonosov Moscow State University

Email: yuplaksina@mail.ru
俄罗斯联邦, Moscow

A. Uvarov

Lomonosov Moscow State University

Email: yuplaksina@mail.ru
俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件