Random factors and indicators with thirds in statistics some natural processes

Толық мәтін

1. ВВЕДЕНИЕ

В статьях [Голицын, 2024; Kolmogoroff, 1934] были в компактной форме приведены формулы для статистических характеристик ряда природных феноменов. Частью эти результаты ранее рассматривались в книгах [Голицын, 2022; Голицын, 2012]. В качестве инструмента для получения закономерностей предложено уравнение Колмогорова как основа для описания природных процессов при случайном внешнем воздействии в процессах.

В [Голицын, 2024] приведены формулы для структуры облаков, распределений литосферных плит и землетрясений, рельефа поверхности небесных тел, разливов рек, спектра энергии космических лучей и др. (см. также [Голицын и др., 2023; Гледзер и Голицын, 2019; Gledzer and Golitsyn, 2019; Kaula, 1966; Turcotte, 1997; Lovejoy, 1982; Kasahara, 1981]).

Ниже приводятся некоторые простые модели кинематики с упомянутыми случайными воздействиями, которые могут имитировать динамику ряда явлений с появлением показателей с третями в формулах для их статистических характеристик. Модели могут отнесены к виду так называемых игрушечных – термин (“toy-models”) появился в зарубежных изданиях для каскадных (shell) моделей, предложенных А.М. Обуховым в 1970 г. для имитации процессов обмена энергией между возмущениями различных масштабов в турбулентности на основе систем гидродинамического типа.

Простейшая динамика со случайными внешними силами описывается уравнениями Ланжевена

$\frac{dx\left(t\right)}{dt}=v\left(t\right),\frac{dv\left(t\right)}{dt}=a\left(t\right),$ (1)

где случайные ускорения a(t) имеют достаточно малый масштаб корреляции: корреляционная функция представима в виде П-образной ступеньки, <a(t₁)a(t₂)> = A² при |t₁–t₂| < δ, <a(t₁)a(t₂)> = 0 при |t₁–t₂| > δ. В этих уравнениях $x$ – смещение, ν – скорость.

Вторые моменты скорости

$<v{\left(t\right)}^2>={\int }_0^{t}d{t}_1{\int }_0^t<a\left(t_1\right)a\left(t_2\right)>d{t}_2={\int }_0^{t}d{t}_1{A}^2\delta =\epsilon t,\epsilon =A^2\delta ,$

и смещения

$<x{\left(t\right)}^2>={\int }_0^{t}d{t}_1{\int }_0^t<v\left(t_1\right)v\left(t_2\right)>d{t}_2=$

${\int }_0^t{\int }_0^t<\left(\frac{d(t-t_1)v\left(t_1\right)}{d{t}_1}-(t-t_1)\frac{dv\left(t_1\right)}{d{t}_1}\right)\times \left(\frac{d(t-t_2)v\left(t_2\right)}{d{t}_2}-(t-t_2)\frac{dv\left(t_2\right)}{d{t}_2}\right)>d{t}_{1}d{t}_2.$

С учетом граничного условия ν(0) = 0 это соотношение приводится к виду при δ → 0 (дельта-коррелированность):

${\int }_0^t{\int }_0^t(t-t_1)(t-t_2)<a\left(t_1\right)a\left(t_2\right)>d{t}_{1}d{t}_2={\int }_0^t{(t-t_1)}^{2}d{t}_1\epsilon =\epsilon t^3/3.$

Вместе с формулой для структурной функции скорости D_ν(τ) =<(ν(t + τ) – ν(t))²> (τ – разница во времени измерения скоростей), получаемой как и для момента скорости, имеем основные зависимости, которые использовались в [Голицын, 2024; Голицын, 2022; Гледзер и Голицын, 2019]:

<ν(t)²> = εt, D_ν(τ) = ετ, <x(t)²> = εt³/3. (2)

Связь между вторыми моментами и их спектральными представлениями, когда они имеют степенной вид, осуществляется формулами

D_ν(τ) ∝ τ^γ, E(ω) ∝ ω^–(γ+1).

Для описания плотности вероятности распределения по скоростям и координатам $P(x,u,t)$ из (1) получается упомянутое уравнение Колмогорова (для одномерного движения) с коэффициентом диффузии D в пространстве скоростей (по А.М. Обухову)

$\frac{dP}{dt}+u\frac{dP}{dx}=D\frac{d^{2}P}{d{u}^2},$

из которого можно получить формулы для всех моментов скорости и координат. Это прямое уравнение Колмогорова для распределения вероятностей по скорости и координате. Оно получается в более общих, чем из (1), случаях, при марковском характере процессов. Пример этому – конечно-разностное представление этого уравнения для числа (вероятности) частиц размера d_n в момент t, Q_n(t):

$\frac{d{Q}_n\left(t\right)}{dt}=-(\alpha +\beta )Q_n\left(t\right)+\alpha Q_{n-1}\left(t\right)+\beta Q_{n+1}\left(t\right)$,

которое получено в [Chkhetiani et al., 2021] для функции распределения аэрозольных частиц по размерам (α, β – константы модели). Такого типа уравнения изучались Колмогоровым в связи с теориями очередей [Kolmogoroff, 1931] еще до работы [Kolmogoroff, 1934].

Появление первых степеней времени в моментах может иметь место не только для скоростей, как в (2), но и для рельефа планет.

Микроструктура рельефа

Когда альтиметры начали измерять структуру планетных поверхностей, выяснилось, что пространственный спектр рельефа обратно пропорционален квадрату волнового числа, $S\left(k\right)\propto k^{-2}$. Кроме того, было замечено, что спектр производной высоты поверхности по горизонтали постоянен. Это означает, что углы наклона рельефа Z ʹ дельта-коррелированы по горизонтальной координате, <Z ʹ(y₁)Z ʹ(y₂)> = <Z ʹ²>δ(y₁ – y₂), что соответствует дельта-коррелированности сил, поскольку вдоль склонов действует сила тяжести – сыпется порода, течет вода и т.п. В терминах Колмогорова – это марковость, т.е. независимость воздействий на соседних участках местности (очевидно, не совсем близких).

Поэтому угол ζ(y) наклона рельефа z(y), $\frac{dz\left(y\right)}{dy}=\zeta \left(y\right)$, будем считать случайной величиной с относительно малым масштабом корреляции (в сравнении с горизонтальным масштабом рельефа). Тогда величина z будет соответствовать скорости ν в уравнении (1), ζ – ускорению a, y – времени t. Поэтому из (2) структурная функция рельефа D_z(δy) = <(z(y +δy) – z(y))²> ∝ δy с соответствующим спектром ω^–2.

Понятно, что для больших дистанций δy, а значит малых частот ω, предположение декорреляции не верно (рельеф может прерываться). Поэтому эти формулы имеют место для микроструктуры рельефа. Подробное изложение этого подхода с рассмотрением на сфере изложено в [Gledzer and Golitsyn, 2019]. В частности, разложение по сферическим функциям дает спектр S_j = 4πr²D_r /[j(j + 1)] = 4πD_r /[k(k + 1/r)], r – радиус планеты, $k=j/r$ – волновое число. Сопоставление этой формулы с эмпирически измеренными высотами для Земли и Венеры показывают, что для компонент разложения, начиная с $j>10$ для Земли величина $D_r=0.5$ м, а для Венеры $D_r=0.16$ м с точностью в 10%.

Заметим, что в этих формулах никаких показателей в виде дробей с третьими долями не возникало, поскольку использовалось только формула в (2) с линейной зависимостью от переменной. Все меняется, когда применяется формула с кубической зависимостью в (2). Это происходит в модели облакообразования.

Модель динамики облака

Периметр квадрата P = 4a, a – сторона квадрата, связан с его площадью A = a² зависимостью $P\propto A^{1/2}$. Также для круга. Однако, когда были измерены площади и периметры облаков над Индийским океаном с помощью спутниковых данных и дождевых облаков над США с использованием радаров [Lovejoy, 1982], то было обнаружено, что имеет место зависимость $P\propto A^{1/2}$ для $P\propto {\left(\sqrt{A}\right)}^{\beta },\beta =1.35$ A в интервале порядка 10⁶ км². В указанной работе значение β связывалось с фрактальной формой облаков, однако было отмечено, что показатель β = 1.35 близок к 4/3. Это указывало на возможную связь с колмогоровскими закономерностями и, соответственно, со случайными процессами.

Облако, как известно, клубится (не струится, в основном). Линейный (максимальный) размер L его по порядку величины пропорционален периметру P. Пусть часть облака выдвигается на расстояние dL, площадь A увеличится на dA = dL ‧ S, где S – поперечный размер клуба облака. При этом и сам поперечный размер S увеличится (или уменьшится) на dS = dL ‧ a(L), где a(L) – случайная величина. Можно эту конструкцию представить как шкаф с выдвижными ящиками, в котором выдвигающиеся на dL ящики по ширине тоже увеличиваются на dL: на большое расстояние выдвигаются широкие ящики, а на маленькое – узкие. Имеем уравнения

$dA/dL=S,dS/dL=a\left(L\right).$

Это соответствует движению частицы (1) в поле случайных ускорений, если площадь A соответствует координате X, линейный размер L соответствует времени t, поперечный размер S соответствует скорости ν. С условием дельта-корреляции имеем, как и в вышеприведенных формулах

$<A^2>\propto L^3.$

Если $L\propto P$, то $A\propto P^{3/2}$. Этот показатель 3/2 и фигурирует при обсуждении закономерностей динамики облака в [Голицын, 2024]. Обратная зависимость — периметр как функция площади, $P\propto A^{2/3}={\left(\sqrt{A}\right)}^{4/3}$. Это и дает показатель β = 4/3.

Близкая модель может иметь место для статистики литосферных плит.

Распределение литосферных плит

Для землетрясений и движения литосферных плит основным определяющим параметром является сейсмический момент M, который задает магнитуду m, входящую в формулу Гутенберга–Рихтера для кумулятивного распределения

$\lg N(\ge m)=a-bm,a,b=const.$

Момент M связан с m эмпирическим соотношением $m=2\lg M/3-6$ [Kasahara, 1981].

Изменение момента M сил, действующего на плиту с размером L и толщиной h при увеличении размера на dL пропорционален dM ∝ dL ‧ h. Но и толщина h может меняться при увеличении размера на $dh\propto dL\cdot a\left(L\right)$, со случайной величиной a(L). Отсюда

$dM/dL=h\cdot C_1,dh/dL=a\left(L\right)\cdot C_2,$

С₁, С₂ – размерные константы, зависящие от геологии и физических параметров. Отсюда при дельта-корреляции получим

$<h^2>\propto L,<M^2>\propto L^3.$

Тогда $h\propto L^{1/2},M\propto L^{3/2},L\propto M^{2/3}$.

Плита площадью $L^2$ и толщиной $h$ при сохранении объема может разбиться на части

$N\propto \frac{1}{L^{2}h}\propto \frac{1}{L^2\sqrt{L}}=L^{-5/2}=M^{-\frac{2}{3}\frac{5}{2}}=M^{-5/3}.$

Это форма закона Гутенберга–Рихтера, обсуждаемая в [Голицын, 2024].

Спектр энергии космических лучей

Для космических частиц определяется их число, регистрируемое на единицу площади. Определяющей величиной является объемная плотность энергии как энергии на единицу объема w = 0.5 эВ/м³. В объеме $\propto R^3,R$ – линейный размер облака частиц, содержится $N_0\propto R^{3}w/E$ частиц. Поэтому площадь $S\propto {(N_{0}E/w)}^{2/3}$, и размер $R\propto {(N_{0}E/w)}^{1/3}$. Число N регистрируемых частиц с энергией $\ge E$, $N\propto 1/E$, а на единицу площади регистрируется $I(\ge E)=N/S\propto (1/E){(E/w)}^{-2/3}\propto E^{-5/3}$ частиц. В дифференциальной форме $I\propto -dI(\ge E)/dE\propto E^{-8/3}$.

Другим способом, если ограничиться только частицами с энергией E, возвратимся к исходным формулам (2) при действии на поток космических частиц дельта-коррелированных ускорений: $<v^2>\propto E\propto t$. Расстояние, которое пролетают эти частицы из (2) $X^2=<x^2>\propto t^3$ или $X\propto E^{3/2}$. Если у источника было $N_0$ частиц, то на расстоянии X на площадь $∆S$ их рассеялось $I\propto N_0\Delta S/X^2\propto N_0\Delta S/E^3$ (в знаменателе – величина, пропорциональная площади сферы радиуса X). Но датчик регистрирует только частицы вдоль луча с линейными размерами $R\propto {(E/w)}^{1/3}$, поэтому $\Delta I\propto \Delta S(1/E^3){(E/w)}^{1/3}$, и на единицу площади получаем $I=\Delta I/\Delta S\propto E^{-8/3}$.

Приведем пример применения формул для случая, который не рассматривался в работах [Голицын, 2024; Голицын, 2022; Голицын, 2012].

Динамика воздуха вблизи границы между пористой и воздушной средами

Движение воздуха в пористой среде песка осуществляется под действием течения над его поверхностью. В слое динамика воздуха описывается законом Дарси $\frac{1}{\rho }\nabla p_p=-\frac{\nu }{\kappa }{\overrightarrow{u}}_p$, где ν – вязкость, Ƙ – коэффициент проницаемости пористой среды (размерность – площадь), ${\overrightarrow{u}}_p$ – скорость воздуха в слое песка, которую считаем случайной величиной, ρ и p_p – плотность и давление в слое. Оценки показывают, что $\kappa \propto {\delta }^2/\beta ,\beta \propto 10$, где δ – размер пор ([Бэтчелор, 1973; Гледзер и др., 2010]).

В тонком слое над пористой средой имеется уравнение вязкого течения $\frac{1}{\rho }\nabla p=\nu \Delta \overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u}$ – скорость над песком. Сверху и в слое давление одинаково, $\Delta \overrightarrow{u}=-{\overrightarrow{u}}_p/\kappa$. Заменяя призводные в ∆ на $d^2/d{l}^2$, где $l$ микромасштаб возмущений, имеем для $u=\left|\overrightarrow{u}\right|$, $\frac{d^{2}u}{d{z}^2}=-u_p/\kappa$, или

$\frac{du}{dl}=b,\frac{db}{dl}=-\frac{u_p}{\kappa },$

где b – вспомагательная величина (обратное время).

Пространственный масштаб корреляции для скорости $u_p$ в песке с порами величиной δ равен δ, т.е. $<u_p\left(l_1\right)u_p\left(l_2\right)>=U_p^2,$ при $|l_1-l_2|<\delta$; $<u_p\left(l_1\right)u_p\left(l_2\right)>=0$ при $|l_1-l_2|>\delta$. Отсюда, как и для динамики ланжевеновской частицы, пoлучаем

$<b^2>=\pi l,<u^2>=\pi l^3/\mathrm{3,}$

где $\pi =U_p^2\delta /{\kappa }^2$ (размерность [π] = 1/(см‧с²)). В формулу входят масштаб корреляции, коэффициент проницаемости и амплитуда возмущений скорости в среде.

С учетом формулы для Ƙ зависимость амплитуды скорости U_p в слое песка от размера пор δ имеет вид

$U_p={\delta }^{3/2}{\left(\frac{3<u^2>}{l^3{\beta }^2}\right)}^{1/2},$

т. е. размер пор δ для скорости воздуха в слое песка U_p входит в степени 3/2. Здесь $<u^2{>}^{1/2}$ – амплитуда скорости для возмущений микромасштаба l над пористым слоем.

Формулы задают величину скорости в зависимости от масштаба l. Пусть вместо l задан поток энергии (по Колмогорову) $\epsilon =<u^3>/l$ в слое над пористой средой, и аналогичная величина в слое, определяемая пористостью δ: ${\epsilon }_p=U_p^3/\delta$. Тогда определяется масштаб возмущений над слоем песка $l_e$, если заданы ε, ε_p, $l_e=\delta {\left(\epsilon /{\epsilon }_p\right)}^{2/7}.$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные модели можно отнести к наводящим соображениям в подходах к закономерностям рассмотренных природных процессов. К сожалению, нет систем уравнений, где описанные процессы отображались бы достаточно полно (в частности, в [Keilis-Borok, 1994] отмечено, что “seismology is still in pre-equation state”), поэтому пока не приходится ждать решения проблем путем численного моделирования. Также невозможен сейчас строгий анализ подобия и размерностей для перечисленных выше задач.

В рассмотренных простых моделях задается случайная величина, которая далее по кинематике или геометрии определяет весь процесс. В ланжевеновской модели и спектре энергии для космических лучей это случайное ускорение, в рельефе – случайный угол наклона, для облака и плиты разлома – случайный размер и толщина, в слое песка – случайная скорость из-за пористости. Их средний квадрат с условием дельта-корреляции далее задает определяющий размерный параметр задачи, который и контролирует динамику и кинематику процесса.

Авторлар туралы

E. Gledzer

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: lgg@ifaran.ru
Ресей, Pyzhevsky per., 3, bld. 1, Moscow, 119017

G. Golitsyn

Email: gsg@ifaran.ru
Ресей, Pyzhevsky per., 3, bld. 1, Moscow, 119017

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар