A mathematical model of the motion of an unmanned tractor with front steerable wheels during the ‘single lane change’ maneuver

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Движение беспилотного трактора может быть представлено как совокупность элементарных примитивов, среди которых: движение по прямой, движение по дуге заданного радиуса на заданный угол изменения азимута (поворот), манёвр «переставка» (смена полосы движения).

Существует достаточно большое количество методов планирования траектории движения. Один из них — это метод, основанный на клотоидах (Clothoid-Curve based method). Данный метод используется для проектирования дорог с переменной кривизной. В работе [1] данный метод применяется для построения траектории ухода от столкновения на соседнюю полосу совместно с торможением. В то время, как было показано в [2] указанный метод позволяет плавно изменять траекторию для исключения опрокидывания автомобиля. В статье [3] на клотоидах основан контроллер парковки автомобиля. В [4] клотоидный метод применяется для плавного возврата самолёта на траекторию. Авторы исследования [5] использовали обсуждаемый метод для уменьшения числа путевых точек, по которым строится траектория. В работе [6] предлагается использовать данный метод для сглаживания кривой управления, рассчитанной по методу чистого преследования (Pure Pursuit).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Разработка математической модели движения беспилотного колёсного трактора с передними управляемыми колёсами при выполнении манёвра «переставка», получение аналитических зависимостей длины манёвра и времени подачи управляющего сигнала от скорости движения и требуемой величины смещения.

МЕТОДЫ

Дизайн исследования

Заданная траектория движения представляет собой ступенчатое изменение с величиной смещения Δ_ПЕР (манёвр «переставка») (рис. 1).

 

Рис. 1. Идеальная траектория движения трактора при выполнении манёвра «переставка»: Δ_пер — величина смещения манёвра «переставка»; S_пер — длина манёвра; R_min — минимальный радиус поворота.

Fig. 1. The ideal path of the tractor when performing the ‘single lane change’ maneuver: Δ_пер — the amount of displacement of the ‘single lane change’ maneuver; S_пер — the length of the maneuver; R_min — the minimum turning radius.

 

Трактор с длиной базы L, движется прямолинейно по заданной траектории с постоянной скоростью V. Скорость поворота передних управляемых колес ω_к — постоянна. Максимальный угол поворота передних колёс — φ_{к max}. Копирной точкой трактора является центральная точка заднего моста.

Математическая модель движения колёсного трактора

Для выполнения заданного манёвра необходимо определить координаты точки начала подачи сигнала на передние управляемые колёса и время подачи сигнала при условии, что точка перелома траектории движения трактора должна совпасть с заданной траекторией.

Идеальная траектория манёвра «переставка» представлена на рис. 1. Она состоит из двух дуг: AB и BC.

В идеальных условиях (моментальный поворот передних управляемых колёс) управляющий сигнал будет иметь вид, представленный линией 1 на рис. 2.

 

Рис. 2. Идеальная и реальные формы управляющего сигнала поворота передних колёс: t_пер — время подачи управляющего сигнала; φ_к — угол поворота передних колёс; φ_{к max} — максимальный угол поворота передних колёс; 1 — идеальная форма управляющего сигнала; 2–4 — реальные формы управляющего сигнала.

Fig. 2. Ideal and real forms of the control signal for steering the front wheels: t_пер — the time of the control signal; φ_к — the steer angle of the front wheels; φ_{к max} — the maximum steer angle of the front wheels; 1 — the ideal form of the control signal; 2–4 — the real forms of the control signal.

 

При этом время $t_{\text{пер}}$, за которое машина пройдёт дугу AB можно вычислить из формулы длины дуги:

$t_{\text{пер}}=\frac{L_{AB}}{V}$, (1)

$L_{AB}={\gamma }_{\text{пер}}{R}_{\min }$, (2)

${\gamma }_{\text{пер}}=\arccos \left(\frac{R_{\min }-\frac{{\Delta }_{\text{пер}}}{2}}{R_{\min }}\right)$. (3)

Минимальный радиус поворота трактора с передними управляемыми колёсами является конструктивным параметром и зависит от длины базы L и максимального угла поворота колёс:

$R_{\min }=\frac{L}{\text{tan}\left({\phi }_{\text{к}\max }\right)}$. (4)

В данном случае вычислить длину манёвра достаточно просто:

$S_{\text{пер}}=2\sqrt{R_{\min }^2-{\left(R_{\min }-\frac{{\Delta }_{\text{пер}}}{2}\right)}^2}$. (5)

Однако достичь идеальной формы управляющего сигнала без остановки трактора в точках поворота невозможно, поскольку рулевое управление имеет свою скорость работы, следовательно, вертикальные участки сигнала будут иметь наклон, пропорциональный скорости поворота передних управляемых колес (см. рис. 2, линии 2, 3, 4).

Математическому описанию процесса поворота машин посвящено большое количество работ [7–14].

Для дальнейшего описания была составлена расчётная схема и математическая модель поворота трактора с передними управляемыми колёсами.

Математическая модель поворота трактора с передними управляемыми колёсами (рис. 3) описывается уравнениями (9)–(11) и может быть представлена в виде структурной схемы математической модели поворота машины с передними управляемыми колёсами (рис. 4) [7–11].

 

Рис. 3. Плоская расчётная схема процесса поворота трактора с передними управляемыми колёсами: L — длина базы трактора; V — скорость движения; φ_к — угол поворота передних колёс; γ — курсовой угол; R_З — радиус поворота центральной точки заднего моста (O_З ); O_п — центр поворота.

Fig. 3. A flat analytical scheme of the process of turning a tractor with front steerable wheels: L — the length of the tractor base; V — the motion velocity; φ_к — the steer angle of the front wheels; γ — the yaw angle; R_З — the yaw radius of the central point of the rear axle (O_З ); O_п — the center of rotation.

 

Рис. 4. Структурная схема математической модели процесса поворота трактора с передними управляемыми колёсами: fiK — угол поворота передних колёс φ_К; V — скорость движения V; L — длина базы трактора L; gamma — курсовой угол γ; gamma0 — начальный курсовой угол γ0; x0 — начальная координата по оси OX; y0 — начальная координата по оси OY.

Fig. 4. Block diagram of a mathematical model of the process of turning a tractor with front steerable wheels: fiK — the steer angle of the front wheels φ_К; V — the motion velocity V; L —the tractor base length L; gamma — the yaw angle γ; gamma0 — the initial yaw angle γ0; x0 — the initial coordinate along the OX axis; y0 — the initial coordinate along the OY axis.

 

$\frac{d\gamma }{dt}=\frac{V}{L}\cdot \text{tan}\left({\phi }_{\text{к}}\right)$; (9)

$\frac{dx}{dt}=V\cdot \sin \gamma$; (10)

$\frac{dy}{dt}=V\cdot \cos \gamma$. (11)

Если принять скорость поворота передних управляемых колёс за постоянную величину, то траектория движения машины может быть описана биклотоидой, т.е. плоской кривой, у которой радиус кривизны изменяется линейно, как функция пути.

Параметрически клотоида может быть описана с помощью интегралов Френеля [1]:

$x\left(t\right)=C\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\cos \left(u^2\right)du$, (12)

$y\left(t\right)=C\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left(u^2\right)du$. (13)

В зависимости от параметров машины и параметров требуемой траектории поворота машина может не достичь максимального угла поворота передних колёс при выполнении манёвра.

Таким образом, возможны два варианта траектории — биклотоида и биклотоида с круговой вставкой (рис. 5). Биклотоида соответствует формам 3 и 4 управляющего сигнала, а биклотоида с круговой вставкой — форме 2 (см. рис. 2).

 

Рис. 5. Биклотоида и биклотоида с круговой вставкой: R — радиус поворота.

Fig. 5. Biclothoid and biclothoid with circular insert: R — the turning radius.

 

Система, представленная уравнениями (12) и (13), не имеет аналитического решения и в большинстве работ принимается допущение, что кривая описывается с помощью кубического полинома. В данной работе приведено численное решение.

РЕЗУЛЬТАТЫ

В ходе теоретических исследований в качестве постоянных параметров были выбраны длина базы трактора L = 4 м и угловая скорость поворота передних управляемых колёс ω_к = 0,2 рад/с; варьируемыми параметрами являлись скорость трактора V = 0,5 – 1,0 м/с (шаг — 0,1 м/с) и величина смещения Δ_пер = 1 – 5 м (шаг – 1 м).

Целью исследований было получение аналитических зависимостей длины манёвра S_пер = f(Δ_пер, V) и времени подачи сигнала на рулевое управление t_пер = f(Δ_пер, V).

Форма управляющего сигнала на передние поворотные колёса представлена на рис. 6.

 

Рис. 6. Форма управляющего сигнала (угол поворота передних колёс).

Fig. 6. The shape of the control signal (the steer angle of the front wheels).

 

На рис. 7 приведены траектории движения машины при варьировании времени подачи сигнала на рулевое управление.

 

Рис. 7. Траектории движения трактора при различных значениях скорости.

Fig. 7. Tractor motion path at various velocity values.

 

Для точного варьирования величины смещения необходимо было определить аналитическую зависимость необходимого времени подачи сигнала t_пер для достижения заданного значения величины смещения Δ_пер при различных значениях скорости V.

Результаты исследований представлены на рис. 8. Полученные значения были аппроксимированы (рис. 9) уравнением регрессии (14).

 

Рис. 8. Зависимости величины смещения Δ_ПЕР от времени подачи сигнала t_ПЕР при различных скоростях движения V.

Fig. 8. Dependences of the value of the displacement of the Δ_ПЕР on the time of the signal t_ПЕР at various motion velocities V.

 

Рис. 9. Аппроксимация зависимости величины смещения Δ_ПЕР от времени подачи сигнала t_ПЕР при различных скоростях движения V.

Fig. 9. Approximation of the dependence of the value of the displacement of the Δ_ПЕР on the time of the signal t_ПЕР at various motion velocities V.

 

${\Delta }_{\text{пер}}=\mathrm{5,3}-\mathrm{4,343}\cdot t_{\text{пер}}-\mathrm{5,898}\cdot V+\mathrm{0,5233}\cdot t_{\text{пер}}^2+\mathrm{4,066}\cdot V{t}_{\text{пер}}$ (14)

Благодаря полученному уравнению регрессии были определены значения времени подачи сигнала t_пер для выполнения манёвра «переставка» на заданную величину смещения Δ_пер при различных скоростях V. Полученные значения представлены в виде поверхности на рис. 10.

 

Рис. 10. Зависимость времени подачи сигнала t_ПЕР от величины смещения Δ_ПЕР и скорости машины V.

Fig. 10. Dependence of the time of the signal t_ПЕР on the value of the displacement Δ_ПЕР and the machine velocity V.

 

Полученная зависимость была аппроксимирована (рис. 11) уравнением:

$t_{\text{пер}}=\mathrm{2,17}\cdot {\Delta }_{\text{пер}}^{\mathrm{0,32}}\cdot V^{-\mathrm{0,62}}$. (15)

 

Рис. 11. Аппроксимация зависимости времени подачи сигнала t_ПЕР от величины смещения Δ_ПЕР и скорости машины V.

Fig. 11. Approximation of the dependence of the time of the signal t_ПЕР on the value of the displacement Δ_ПЕР and the machine velocity V.

 

Помимо времени подачи сигнала, были получены значения длины манёвра «переставка» S_ПЕР при различных скоростях движения V и различном заданном смещении Δ_ПЕР. Данные значения представлены в виде поверхности на рис. 12.

 

Рис. 12. Зависимость длины манёвра S_ПЕР от величины смещения Δ_ПЕР и скорости машины V.

Fig. 12. Dependence of the length of the maneuver S_ПЕР on the magnitude of the displacement of the Δ_ПЕР and the machine velocity V.

 

Полученная зависимость была аппроксимирована (рис. 13) согласно уравнению:

$S_{\text{пер}}=\left(\mathrm{6,7}\cdot V+\mathrm{5,4}\right)\cdot \sin \left(\mathrm{0,2}{\Delta }_{\text{пер}}+\mathrm{0,53}\right)$. (16)

 

Рис. 13. Аппроксимация зависимости длины манёвра S_ПЕР от величины смещения Δ_ПЕР и скорости машины V.

Fig. 13. Approximation of the dependence of the length of the maneuver S_ПЕР on the magnitude of the displacement of the Δ_ПЕР and the machine velocity V.

 

Пример траекторий движения, рассчитанных с использованием полученных в статье аналитических зависимостей, представлен на рис. 14.

 

Рис. 14. Траектории движения трактора при выполнении манёвра «переставка» на величину смещения 3 м с разными значениями скорости.

Fig. 14. The tractor motion paths during the ‘single lane change’ maneuver by a displacement of 3 m with various velocity values.

 

ОБСУЖДЕНИЕ

Резюме основного результата исследования

Полученные в результате исследований аналитические зависимости (15) и (16) могут быть использованы для планирования траектории движения колёсного беспилотного трактора с передними управляемыми колесами.

Ограничения исследования

Полученные зависимости применимы для трактора с длиной базы 4 метра, скоростью поворота передних колёс 0,2 рад/с и в пределах изменения величины смещения от 1 до 5 метров, а скорости движения от 0,5 до 1 м/с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследований была составлена математическая модель процесса поворота машины с передними управляемыми колёсами. Составлено описание манёвра «переставка», представляющего собой биклотоиду. При проведении численного эксперимента получены значения времени подачи управляющего сигнала и длины манёвра в зависимости от скорости движения трактора и необходимой величины смещения при выполнении манёвра «переставка». В результате аппроксимации полученных значений выведены аналитические зависимости (15) и (16), по которым можно вычислить координаты начала манёвра и длительность подачи сигнала управления для выполнения манёвра «переставка» на заданной скорости и на заданную величину смещения.

Полученные зависимости могут быть использованы в алгоритмах планирования траектории движения беспилотных тракторов с передними управляемыми колёсами. Учитывая ограничения применимости полученных результатов исследований, в дальнейших исследованиях предполагается изучить влияние скорости поворота передних управляемых колёс и длины базы машины на процесс выполнения манёвра «переставка», что позволит расширить границы применимости результатов.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Вклад авторов. Р. Ю. Сухарев — научное руководство, формирование структуры статьи, создание математической модели, анализ и доработка текста; А.Б. Летопольский — обзор литературных источников, проведение теоретических исследований; А.Ю. Сачук — проведение теоретических исследований, оформление результатов. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с проведённым исследованием и публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования и подготовке публикации.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contributions. R.Yu. Sukharev — scientific guidance, formation of the structure of the manuscript, creation of a mathematical model, analysis and revision of the text; A.B. Letopolsky — review of literary sources, conducting theoretical research; A.Yu. Sachuk — conducting theoretical research, results processing. The authors confirm that their authorship meets the international ICMJE criteria (all authors have made a significant contribution to the development of the concept, research and preparation of the article, read and approved the final version before publication).

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Roman Yu. Sukharev

Siberian State Automobile and Highway University

Author for correspondence.
Email: suharev_ry@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2627-8110
SPIN-code: 5918-3684

Dr. Sci. (Engineering), Associate Professor, Head of the Automation and Power Engineering Department

Russian Federation, Omsk

Anton B. Letopolsky

Siberian State Automobile and Highway UniversityОмск

Email: antoooon-85@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3503-131X
SPIN-code: 6772-8710

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor, Head of the Construction, Lifting, Transport and Oil & Gas Machinery Department

Russian Federation, Omsk

Alexey Yu. Sachuk

Siberian State Automobile and Highway University

Email: a.u.sachuk@gmail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4980-8962
SPIN-code: 9401-3110

Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor, Associate Professor of the Construction, Lifting, Transport and Oil & Gas Machinery Department

Russian Federation, Omsk

References

Supplementary files