Absence of global solutions of a mixed problem for a Ginzburg–Landau type nonline-ar evolution equation

Abstract

We study the problem of the absence of global solutions of the first mixed problem for one nonlinear evolution equation of Ginzburg–Landau type.We prove that global solutions of the studied problem are absent for “sufficiently large” values of the initial data.

Full Text

Пусть $\Omega \subset R^n-$ произвольная ограниченная область с гладкой границей. Рассмотрим следующую смешанную задачу:

$u_t=\left(\alpha +i\beta \right)\Delta u+f\left(u,\nabla u\right), x\in \Omega , t>0,$ (1)

$u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right), x\in \overline{\Omega }, u\left(x,t\right){|}_{\partial \Omega }=0, t\ge 0,$ (2)

Здесь $f\left(u,\nabla u\right)\ge {\omega }_1|u{|}^{1+\gamma }+ {\omega }_2|\nabla u{|}^{1+\mu }$, (3)

где ${\omega }_1\ge 0,{\omega }_2\ge 0, {\omega }_1^2+{\omega }_2^2\ne 0, \gamma >0, \mu >0, \beta \ne 0, \alpha \in R.$

Уравнение (1) встречается в различных разделах прикладной физики, в нелинейной квантовой механике, в теории распространения световых волн в нелинейных средах (см., например, [1–3]). При

$f\left(u\right)=i\gamma |u{|}^{p}u+i\mu u, \gamma \mu >0, pn\ge 4$

соответственно вопрос о разрушении решений задачи (1), (2) при $\alpha =0$рассматривался в случае $\mu =0$ в [4], в случае $\mu >0$ в [5], а решений задачи Коши для уравнения (1) при $\mu =0, \alpha =0$ в [4, 6–10] и др. Для близких уравнений к (1), т. е. $f\left(u\right)=|u{|}^{1+p}, p>0,$ вопросы разрушения решений задачи (1), (2) исследованы в [11, 12].

Задача Коши для уравнения (1) при $\alpha >0$ и $f(u,\nabla u)=F\left(\right|u\left|\right) u$ при подходящих условиях на $F\left(\right|u\left|\right)$ исследована в работах [13, 14] и др.

2. Обозначения и формулировка основных результатов. Пусть ${\lambda }_1-$ первое собственное число, ${\vartheta }_1\left(x\right)$— соответствующая первая собственная функция задачи

$\Delta \vartheta +\lambda \vartheta =0, x\in \Omega ; \vartheta \left(x\right)=0, x\in \partial \Omega$ .(4)

Известно, что ${\lambda }_1>0, {\vartheta }_1\left(x\right)>0, \forall x\in \Omega$ (см., например, [15, c. 434]. Не умаляя общности, будем считать, что

$\underset{\Omega }{\int }{\vartheta }_1\left(x\right)dx=1$ .(5)

Примем следующие обозначения:

$\omega ={\omega }_1+{\omega }_0{\omega }_2$ , (6)

здесь ${\omega }_0={\left[k_0^{-1}{\left(\underset{\Omega }{\int }{\vartheta }_1^{- \frac{1}{\mu }}\left(x\right)dx\right)}^{- \frac{\mu }{\left(1+\mu \right)}}{||{\vartheta }_1||}_n^{-1}\right]}^{1+\mu }$,

где $k_0=\frac{1}{n}{\left(\frac{1}{{\sigma }_n}\right)}^{\frac{1}{n}}, {\sigma }_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)},$

$\Gamma (·)$ — гамма-функция Эйлера. Здесь $\left|\right|·|{|}_p$ — норма в  $L_p\left(\Omega \right), p\ge 1.$ (7)

Установлены следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть ${\lambda }_1$ — первое собственное число, ${\vartheta }_1\left(x\right)$ — соответствующая первая собственная функция задачи (4), ${\vartheta }_1\left(x\right)$ удовлетворяет условию нормировки (5). Далее пусть начальная функция $u_0\left(x\right)$ такая, что $y_0=\underset{\Omega }{\int }{\vartheta }_1\left(x\right)\mathrm{Re}{u}_0\left(x\right)dx$ удовлетворяет условию

$y_0>{\left(\frac{{\lambda }_1\left|\beta \right|}{\stackrel{0}{\omega }\rho }\right)}^{\frac{1}{\rho }},$ (8)

где $\stackrel{0}{\omega }=\left\{\begin{array}{l}\omega e^{\frac{\pi \alpha \rho }{2\left|\beta \right|}}при \alpha \\ \omega при \alpha \le 0\end{array}\right.>0$

Тогда максимальное время существования гладких решений задачи (1)–(3) оценивается следующей формулой:

$t_{\max }<\frac{1}{{\lambda }_1\left|\beta \right|}\arcsin \left(\frac{{\lambda }_1\left|\beta \right|}{\stackrel{0}{\omega }\rho y_0^{\rho }}\right).$

Здесь $\omega$ определена формулой (6), $\rho$  — формулой (7).

Теорема 2. Пусть ${\lambda }_1$ — первое собственное число, ${\vartheta }_1\left(x\right)$ — соответствующая первая собственная функция задачи (4), ${\vartheta }_1\left(x\right)$ удовлетворяет условию нормировки (5). Далее пусть начальная функция $u_0\left(x\right)$ такая, что $y_0=\mathrm{sgn}\left(\beta \right)\underset{\Omega }{\int }{\vartheta }_1\left(x\right)\mathrm{Im}{u}_{0}dx$ удовлетворяет условию

$y_0>{\left(\frac{{\lambda }_1\left|\beta \right|}{2\stackrel{0}{\omega }\rho }\right)}^{\frac{1}{\rho }},$ (9)

где

$\stackrel{0}{\omega }=\left\{\begin{array}{l}\omega e^{\frac{\pi \alpha \rho }{2\left|\beta \right|}}при \alpha \\ \omega при \alpha \le 0\end{array}\right.>0$

Тогда максимальное время существования гладких решений задачи (1)–(3) оценивается следующей формулой:

$t_{\max }<\frac{1}{{\lambda }_1\left|\beta \right|}\arccos \left(1-\frac{{\lambda }_1\left|\beta \right|}{\stackrel{0}{\omega }\rho y_0^{\rho }}\right)$.

Здесь $\omega$ определена формулой (6), $\rho$ — формулой (7).

3. Приведём схему доказательства теоремы 1. Введем на отрезке $\left[\mathrm{0,}{\rm T}\right],$ где ${\rm T}=\frac{\pi }{2{\lambda }_1\left|\beta \right|},$ функцию $y_1\left(t\right)=\frac{1}{2}\underset{\Omega }{\int }\left[e^{{\lambda }_{1}zt}u(t,x)+e^{{\lambda }_1\overline{z}t}\overline{u}(t,x)\right]{\vartheta }_1\left(x\right)dx,$

где $z=\alpha +i\beta ,\overline{z}=\alpha -i\beta ,\overline{u}(x,t)$ — комплексно-сопряжённая функция к функции $u(x,t)$.

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть $u(x,t)$ — гладкое решение задачи (1)–(3), ${\lambda }_1$ — первое собственное число, ${\vartheta }_1\left(x\right)$ — соответствующая первая собственная функция задачи (4).

Тогда для любого $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ справедливо соотношение

$\frac{d{y}_1}{dt}=\cos \left({\lambda }_1\beta t\right)I\left(t\right),$ (10)

где $I\left(t\right)=\underset{\Omega }{\int }f\left(u\right(x,t),\nabla u(x,t\left)\right){\vartheta }_1\left(x\right)dx$.

Из леммы 1 при условии нормировки (5) на ${\vartheta }_1\left(x\right)$ выводится следующее дифференциальное неравенство первого порядка:

$\frac{d{y}_1}{dt}\ge \omega e^{-{\lambda }_1\alpha \rho t}\cos \left({\lambda }_1\left|\beta \right|t\right)y_1^{1+\rho }$

для $\forall t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$, благодаря которому доказывается теорема 1.

4. Схема доказательства теоремы 2.

На отрезке $\left[\mathrm{0,}T\right]$, где $T=\frac{\pi }{{\lambda }_1\left|\beta \right|}$, введём функцию $y_2\left(t\right)=-\frac{i}{2}\underset{\Omega }{\int }\left[e^{{\lambda }_{1}zt}u\left(x,t\right)-e^{{\lambda }_1\overline{z}t}\overline{u}\left(x,t\right)\right]{\vartheta }_1\left(x\right)dx.$

Лемма 2. Пусть u(x,t) — гладкое решение задачи (1)–(3), ${\lambda }_1$ — первое собственное число, ${\vartheta }_1\left(x\right)$ — соответствующая первое собственная функция задачи (1).

Тогда для $\forall t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ справедливо соотношение

$\frac{d{y}_2}{dt}=\sin \left({\lambda }_1\left|\beta \right|t\right)I\left(t\right),$

где $I\left(t\right)=\underset{\Omega }{\int }f(u,\nabla u){\vartheta }_1\left(x\right)dx$.

Из леммы 2 для $y\left(t\right)=\mathrm{sgn}\left(\beta \right)y_2\left(t\right)$ выводится при условии нормировки (5) на функции ${\vartheta }_1\left(x\right)$ следующее дифференциальное неравенство первого порядка:

$\frac{dy}{dt}\ge \omega e^{-{\lambda }_1\alpha \rho t}\sin \left({\lambda }_1\left|\beta \right|t\right)y^{1+\rho }$

на отрезке [0, T], благодаря которому завершается доказательство теоремы 2.

Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН В.П. Маслову за полезные советы и поддержку.