Том 25, № 1 (2021)

Работа посвящена доказательству единственности и существования решения нелокальной задачи с интегральным условием склеивания для уравнения параболо-гиперболического типа с дробной производной Капуто и с нагруженным нелинейным оператором. С использованием метода интегралов энергии доказана единственность решения, а существование решения доказано методом интегральных уравнений.

Исследуется краевая задача Трикоми для дифференциально-разностного опережающе-запаздывающего уравнения смешанного типа с некарлемановскими отклонениями по всем аргументам искомой функции. Применена редукция к уравнению смешанного типа без отклонений. Используются симметричные попарно коммутативные матрицы коэффициентов уравнения. Доказаны теоремы единственности и существования. Задача однозначно разрешима.

Рассмотрено плоско-деформированное состояние равномерно кусочно-однородной плоскости, полученной при помощи поочередного соединения двух разнородных полос, которая по линиям стыков разнородных полос расслаблена периодической системой двух полубесконечных межфазных трещин и деформируется под воздействием нормальных нагрузок, приложенных к берегам трещин. Выделена базовая ячейка задачи в виде двухкомпонентной полосы и при помощи обобщенного преобразования Фурье получена определяющая система уравнений задачи в виде одного сингулярного интегрального уравнения второго рода относительно комплексной комбинации контактных напряжений в зоне стыка полос.

В частном случае путем устремления ширины полос к бесконечности получено определяющее уравнение задачи для двухкомпонентной плоскости из двух разнородных полуплоскостей с двумя полубесконечными межфазными трещинами и построено его точное решение. Получено также определяющее уравнение поставленной задачи в виде одного сингулярного интегрального уравнения первого рода относительно нормальных контактных напряжений еще в одном частном случае, когда все полосы изготовлены из одного и того же материала, т.е. в случае однородной плоскости, расслабленной периодической системой параллельных полубесконечных трещин.

В общем же случае определено поведение искомой функции в концевых точках интервала интегрирования и решение задачи численно-аналитическим методом механических квадратур сведено к решению системы алгебраических уравнений. Получены простые формулы для определения коэффициентов интенсивности напряжений, J-интеграла Черепанова–Райса и раскрытия трещин. Проведен численный расчет. Выявлены закономерности изменения контактных напряжений и интеграла Черепанова–Райса в концевых точках трещин в зависимости от упругих характеристик разнородных полос и геометрических параметров задачи.

Рассматривается ряд теоретических моделей для описания продольных колебаний стержня. Наиболее простая и распространенная основана на волновом уравнении. Далее идет модель, учитывающая поперечное смещение (поправка Рэлея). Более совершенной считается модель Бишопа, учитывающая как поперечное смещение, так и деформацию сдвига. Казалось бы, чем совершеннее теоретическая модель, тем она лучше должна согласовываться с экспериментальными данными. Тем не менее при сравнении с реально определенным экспериментальным спектром продольных колебаний стержня на большой базе собственных частот оказывается, что это не совсем так. Причем в относительном проигрыше оказывается наиболее сложная модель Бишопа. Сопоставления проведены для стержня с малыми кольцевыми проточками, моделирующими поверхностные дефекты, который рассматривается как ступенчатый стержень. Затронуты также вопросы уточнения с помощью экспериментально найденных частот скорости продольных волн и коэффициента Пуассона материала стержня.

Рассматривается построение на основе натурных экспериментов и численно-аналитических исследований математической модели импульса подводной ударной волны, наблюдаемого на выходе датчика давления. Представлены разработка и сравнительный анализ различных численных методов нелинейного оценивания параметров этой модели. Предлагается численный метод оценки энергии импульса ударной волны на основе результатов эксперимента в форме осциллограммы избыточного давления, полученной при натурных испытаниях как на бесконечном промежутке времени, так и при заданной длительности импульса. Приведены результаты апробации разработанных численных методов математического моделирования импульса подводной ударной волны при обработке результатов эксперимента при взрыве эталонного заряда взрывчатого вещества. Достоверность и эффективность представленных в работе алгоритмов вычислений и методов нелинейного оценивания подтверждаются результатами численно-аналитических исследований и построенными на основе экспериментальных данных математическими моделями импульсов избыточного давления ударной волны.

Рассматривается задача о воздействии импульсным высокоэнергетическим электромагнитным полем на краевую трещину в тонкой пластине, воспроизводящая пионерский эксперимент советских ученых по разрушению вершины трещины сильным электромагнитным полем. Численное моделирование осуществляется на основе предложенной электромеханической модели воздействия короткоимпульсным высокоэнергетическим электромагнитным полем на материал с трещиной. Модель учитывает фазовые превращения (плавление и испарение) материала, происходящие в окрестности дефектов, и соответствующие изменения реологии материала в областях этих трансформаций, а также возможность протекания электрического тока между свободными поверхностями трещины (пробоя за счет эмиссии электронов). Все физико-механические характеристики материала считаются зависящими от температуры. Уравнения модели связаны и решаются совместно на подвижной конечно-элементной сетке с применением смешанного метода Эйлера–Лагранжа. Исследуются процессы локализации полей плотности тока и температуры, фазовых превращений (плавления и испарения) в вершине трещины, автоэлектронной и термоэлектронной эмиссии между свободными поверхностями трещины и влияние этих процессов на залечивание трещины. Проводится сравнение результатов моделирования с имеющимися экспериментальными данными по воздействию импульсного поля на краевую трещину в пластине. Полученные в окрестности вершины трещины средняя скорость нагрева металла и градиенты температуры неплохо количественно согласуются с экспериментальными данными. Вдали от трещины, а также на берегах трещины вдали от вершины температура поднималась незначительно. Процесс моделирования воздействия электромагнитным полем, аналогично эксперименту, сопровождается плавлением в вершине трещины, а также испарением металла. Таким образом, при рассматриваемом воздействии током в вершине трещины формируется кратер, который препятствует дальнейшему распространению трещины, приводя к ее залечиванию. Получить аналогичные результаты с помощью ранее предложенных моделей не удавалось.