Том 25, № 3 (2021)

Приводится доказательство единственности и существования решения одной нелокальной задачи для нагруженного параболо-гиперболического уравнения с тремя линиями изменения типа. Единственность решения доказана с помощью представления общего решения, существование решения доказано методом интегральных уравнений. Установлены необходимые условия на параметры и заданные функции для однозначной разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода со сдвигом, эквивалентным исследуемой задаче.

Рассматривается проблема оценки прочности и ресурса ответственных инженерных объектов, условия эксплуатации которых характеризуются высокотемпературными нестационарными термомеханическими воздействиями, приводящими к деградации начальных прочностных свойств конструкционных материалов (металлов и их сплавов) по механизму длительной прочности.

С позиции механики поврежденной среды развита математическая модель, описывающая кинетику напряженно-деформированного состояния и накопления повреждений при деградации материала по механизму длительной прочности в условиях сложного многоосного напряженного состояния.

Предложена экспериментально-теоретическая методика нахождения материальных параметров и скалярных функций определяющих соотношений механики поврежденной среды по результатам специально поставленных экспериментов на лабораторных образцах.
Приводятся результаты экспериментальных исследований и численного моделирования процесса кратковременной высокотемпературной ползучести титанового сплава ВТ6 при одноосных и многоосных напряженных состояниях. Численные результаты сравниваются с данными натурных экспериментов. Особое внимание уделяется вопросам моделирования процесса нестационарной ползучести для сложных режимов деформирования, сопровождающихся вращением главных площадок тензоров напряжений, деформаций и деформаций ползучести с учетом воздействия агрессивной среды, которая имитируется путем предварительного наводораживания лабораторных образцов до различной концентрации водорода по массе.

Показано, что развитый вариант определяющих соотношений механики поврежденной среды позволяет с достаточной для инженерных расчетов точностью описывать процессы нестационарной ползучести и длительной прочности конструкционных сплавов при многоосных напряженных состояниях с учетом воздействия агрессивной среды (водородной коррозии).

При решении краевых задач о построении напряженно-деформированного состояния линейно-упругого изотропного тела важным шагом является отыскание внутреннего состояния, порожденного силами, распределенными по занятой телом области. В классическом варианте существует численный способ оценки состояния в любой точке тела, базирующийся на сингулярно-интегральном представлении Чезаро. В варианте консервативных объемных сил возможно выписывание решений в аналитической форме. При произвольных регулярных воздействиях механической и иной физической природы силы потенциальными не являются и подходы Папковича–Нейбера и Аржаных–Слободянского оказываются бессильными. Кроме этого, решение нелинейных задач эластостатики средствами метода возмущений, а также использование при решении задач для исследования многополостных тел алгоритма Шварца приводят к необходимости решения последовательности линейных задач. При этом в обязательном порядке зарождаются фиктивные объемные силы, имеющие, как правило, полиномиальный характер.

Разработанный авторами ранее метод оценки напряженно-деформированного состояния тела, вызванного воздействием полиномиальных объемных сил, представляемых в декартовых координатах, получил развитие. Внутреннее состояние восстанавливается в строгом соответствии с силами, статически воздействующими на односвязное ограниченное линейно-упругое тело. Предложены и описаны эффективный метод построения решения и алгоритм его компьютерной реализации. Продемонстрированы тестовые расчеты. Выполнен анализ состояния шара, находящегося под воздействием суперпозиции объемных сил различного характера при различных соотношениях параметров, подчеркивающих уровень влияния этих факторов. Результаты оформлены графически. Сделаны следующие выводы:

а) обоснована процедура выписывания напряженно-деформированного состояния от объемных сил, представляемых полиномами от декартовых координат;
б) алгоритм реализован в вычислительной системе Mathematica и проведено тестирование на многочленах высокого порядка;
в) проведен анализ квазистатического состояния линейно-упругого изотропного шара, подверженного воздействию сил гравитации и инерции при различных сочетаниях параметров, отвечающих вариантам медленного, быстрого, компенсационного (инерционные силы соразмерны с гравитационными) вращений.

Отмечены перспективы развития нового подхода на класс ограниченных и неограниченных тел, содержащих произвольное число полостей.

Статья посвящена рассмотрению вопросов необходимости построения точных решений для уравнений динамики вязкой жидкости, стратифицированной по нескольким физическим характеристикам (на примере плотности и вязкости). Обсуждаются вопросы применения семейств точных решений, построенных для многослойных жидкостей, при моделировании различных технологических процессов, имеющих дело с движущимися вязкими жидкими средами. В работе на основе точных решений Линя, линейных по части координат, построен класс точных решений уравнений Навье–Стокса для вязких многослойных сред в поле массовых сил. Далее производится обобщение приведенного класса на случай произвольной зависимости кинетико-силовых полей от всех трех декартовых координат и времени. Обсуждаются вопросы переопределенности и разрешимости редуцированной (на основе данных семейств) системы уравнений Навье–Стокса, дополненных уравнением несжимаемости. В качестве наглядной иллюстрации подробно разбирается случай изобарических сдвиговых течений вне поля массовых сил. Обсуждаются три подхода к получению условий совместности переопределенной редуцированной системы уравнений движения, показывается их взаимосвязь.

На основе анализа трехмерных уравнений Эйлера исследуются стационарные безвихревые баротропные течения газа. Критическими в статье называются течения, в которых число Маха всюду меньше или равно единице, и при этом хотя бы в одной точке число Маха достигает единицы. В 1954 году Гилбарг и Шифман показали, что если в критическом течении существует внутренняя (не лежащая на обтекаемой поверхности) звуковая точка, то она лежит на плоской звуковой поверхности, которая во всех своих точках перпендикулярна вектору скорости газа и не может заканчиваться внутри потока (теорема о звуковой точке). На основе этой теоремы Гилбарг и Шифман получили важный для задач максимизации критического числа Маха вывод. Он состоит в том, что при критическом обтекании для широкого класса обтекаемых тел звуковые точки могут располагаться только на его поверхности. Этот вывод существенным образом используется при построении форм обтекаемых тел с максимальным значением критического числа Маха (при заданных изопериметрических условиях).

В представляемой статье рассматривается вопрос о кривизне линий тока во внутренних звуковых точках критических течений. Показывается, что эта кривизна равна нулю. В результате получается новое необходимое условие существования внутренней звуковой точки (и звуковой поверхности). Оно состоит в том, что в точке пересечения со звуковой поверхностью нормальная кривизна обтекаемой поверхности в направлении нормали к звуковой поверхности должна равняться нулю. Приводятся примеры обтекаемых тел, для которых теорема Гилбарга и Шифмана (о звуковой точке) не дает ответа на вопрос о месте расположения звуковых точек. При этом новое необходимое условие позволяет доказать, что существование внутренних звуковых точек при критическом обтекании этих тел невозможно.

Предложен алгоритм решения задач о нелинейном динамическом поведении осесимметричных неразветвленных мягкооболочечных конструкций, основанный на использовании метода дифференцирования по параметру. Алгоритм не накладывает каких-либо ограничений на диапазон деформаций и перемещений, свойства материала, условия закрепления или форму меридиана конструкции. При этом уравнения движения в частных производных сводятся к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с использованием метода прямых. Полученная система уравнений дифференцируется по календарному параметру. В результате решение задачи сводится к решению двух взаимосвязанных задач – квазилинейной многоточечной краевой задачи и нелинейной задачи Коши с правой частью специального вида. Особенности использования данного алгоритма применительно к задачам динамики мягких оболочек проявляются при его программной реализации и описаны в работе. Тестирование алгоритма выполнено на примере решения задачи динамического раздувания шарнирно опертой полусферы из неогуковского материала. Отмечено, что, хотя формально рассматриваемая в примере оболочка не является составной, для построения численного решения необходимо использование метода сегментации интервала интегрирования по координате, что соответствует анализу составной конструкции. Исследовано влияние выбора шага по времени и схемы аппроксимации ускорения на результаты решения.

Исследуются стационарные течения идеального газа за отошедшим головным скачком в общем 3D-случае. Известный интегральный инвариант (В.Н. Голубкин, Г.Б. Сизых, 2019), обобщающий осесимметричный инвариант (Л. Крокко, 1937) на несимметричные течения, есть криволинейный интеграл по замкнутой вихревой линии (такие линии лежат на изоэнтропийных поверхностях) от давления, деленного на завихренность. Этот интеграл принимает одно и то же значение на всех (замкнутых) вихревых линиях, лежащих на одной изоэнтропийной поверхности. Он был получен после обнаружения факта замкнутости вихревых линий в течении за скачком в общем 3D-случае. Недавно было найдено еще одно семейство замкнутых линий за скачком, лежащих на изоэнтропийных поверхностях (Г.Б. Сизых, 2020). Это векторные линии a — векторного произведения скорости газа и градиента энтропийной функции. В общем 3D-случае эти линии и вихревые линии не совпадают.

В представленном исследовании предпринимается попытка найти интегральный инвариант, связанный с замкнутыми векторными линиями a. Без использования асимптотических, численных и других приближенных методов проводится анализ уравнений Эйлера для классической модели течения идеального совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Используется представление о воображаемых частицах, «переносящих» линии тока реального течения газа, основанное на критерии Гельмгольца–Зоравского. Получен новый интегральный инвариант изоэнтропийных поверхностей. Показано, что криволинейный интеграл по замкнутой векторной линии a, в котором подынтегральная функция есть давление, деленное на проекцию завихренности на направление a, принимает одинаковые значения для всех линий a, лежащих на одной изоэнтропийной поверхности. Этот инвариант, как и другой ранее известный интегральный инвариант (В.Н. Голубкин, Г.Б. Сизых, 2019) в частном случае незакрученных осесимметричных течений совпадает с неинтегральным инвариантом Л. Крокко и обобщает его на общий пространственный случай.