Том 29, № 3 (2025)

В ходе серии исследований, охватывающей период с 1889 по 1939 год, были систематически изучены все двойные гипергеометрические ряды второго порядка. Значительный вклад в развитие теории гипергеометрических функций двух переменных внес Горн, предложивший их классификацию на полные и конфлюэнтные функции. Составленный Горном список включает четырнадцать полных и двадцать конфлюэнтных функций двух переменных, причем последние являются предельными случаями полных функций. В 1985 году Сривастава и Карлссон завершили построение полного набора гипергеометрических функций второго порядка трех переменных, однако аналогичная классификация для их конфлюэнтных аналогов до сих пор остается незавершенной. Таким образом, теория конфлюэнтных гипергеометрических функций трех переменных в настоящее время находится в стадии формирования, а изучение функций четырех переменных представляет собой перспективное направление исследований.
В настоящей работе исследуются некоторые конфлюэнтные гипергеометрические функции от трех и четырех переменных. Устанавливаются их новые свойства, которые применяются для решения задачи Дирихле для трехмерного уравнения Гельмгольца с тремя сингулярными коэффициентами.
Фундаментальные решения указанного уравнения выражаются через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию четырех переменных, а явное решение задачи Дирихле в первом октанте строится с помощью функции трех переменных, являющейся следом конфлюэнтной функции четырех переменных. Доказывается теорема о вычислении значений функций многих переменных и устанавливаются формулы их преобразования. Полученные результаты используются для определения порядка сингулярности фундаментальных решений и обоснования корректности решения задачи Дирихле.
Единственность решения задачи Дирихле доказывается на основе принципа экстремума для эллиптических уравнений.

Выполнено численное моделирование ударного взаимодействия недеформируемого конического тела с пористым слоем. Пористый слой представлен в виде совокупности отдельных элементов, движение и деформация которых описаны в рамках бессеточного численного метода дискретных элементов. Данный метод интерпретирует элементы как частицы с заданными упругими характеристиками, что обеспечивает эффективное моделирование процессов, сопровождающихся значительными перемещениями и нарушением сплошности среды, в отличие от классических сеточных методов. Изложены основные принципы метода дискретных элементов, получившего широкое распространение благодаря развитию вычислительных технологий. Приведены описание численной модели и методики расчета. Представлены результаты моделирования нормального высокоскоростного взаимодействия деформируемой пористой среды, состоящей из частиц, с упругим стержнем, имеющим коническую форму в области контакта. Учтено кулоновское трение на границе раздела пористой среды и конуса. Проведена оценка контактных сил, действующих со стороны дискретной среды на упругое коническое тело. Результаты численного моделирования сопоставлены с экспериментальными данными, полученными в ходе обращенного эксперимента, в котором упаковка с пористым слоем металась навстречу неподвижному стержню при различных начальных скоростях.

Настоящее исследование посвящено применению теории алгебраических инвариантов для аппроксимации потенциала силовых и моментных напряжений четвертой степени в нелинейном гемитропном микрополярном упругом теле. На основе теории целых рациональных алгебраических инвариантов (полуинвариантов) исследовано полное множество неприводимых инвариантов для системы двух асимметричных тензоров второго ранга, представленных в форме инвариантных следов.
В результате выделен набор из 86 инвариантных следов, включающий 8 индивидуальных инвариантов, 17 парных, 44 инвариантных тройки и 17 инвариантных четверок. Из 86 элементов отобрано 39 инвариантов в соответствии с правилом возрастания алгебраических степеней: 2 линейных инварианта, 6 квадратичных, 12 кубических и 19 инвариантов четвертой степени. Предложена схема построения 39 инвариантов четвертой степени, сгруппированных в четыре категории на основе следующих правил: произведения линейных инвариантов между собой, произведения квадратичных инвариантов между собой, произведения линейных и квадратичных инвариантов, попарные произведения линейных и кубических инвариантов, а также собственные инварианты четвертой степени.
Построен потенциал силовых и моментных напряжений гемитропного микрополярного упругого тела, включающий квадратичные, кубические и слагаемые четвертой алгебраической степени. Таким образом, микрополярный потенциал характеризуется 124 определяющими модулями. Приведены формулы для вычисления всех 39 инвариантов в смешанных тензорных компонентах. В результате получены 87 поправок к кубическому потенциалу силовых и моментных напряжений нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела.

Представлено новое точное решение, описывающее неоднородное распределение полей скорости и давления в задаче об изотермическом стационарном сдвиговом течении вязкой несжимаемой жидкости. Полученные точные решения остаются справедливыми при замене кинематической вязкости на турбулентную в уравнениях Навье–Стокса.
Показано, что в классе функций, линейных по части координат, совместное неоднородное решение для поля скорости может иметь лишь определенную структуру — с постоянными пространственными ускорениями. При этом либо обращаются в ноль только два определенных ускорения, либо все четыре пространственных ускорения равны нулю (однородное поле скорости, решение Экмана). Других совместных решений в указанном классе не существует.
Детально проанализирован случай двух ненулевых пространственных ускорений и приведено полное точное решение. Для понимания основных свойств этого решения исследована соответствующая краевая задача и представлен исчерпывающий иллюстративный материал.

Обоснована математическая модель самосогласованной релаксации возмущенной области, построенная на основе нелинейной системы Власова—Пуассона, которая описывает взаимодействие неподвижного поглощающего заряженного проводника (сферической или цилиндрической формы) со свободномолекулярной многокомпонентной низкотемпературной плазмой. Многомерность кинетических уравнений создавала существенные сложности для численной реализации модели. Для их преодоления разработана система криволинейных координат с неголономными связями, позволяющая сократить фазовый объем задачи; приведен вывод формы кинетического уравнения в данной системе координат. Подробно описан применяемый численный метод моделирования.
Полученные результаты не только подтверждают адекватность предложенной модели и корректность реализации численных алгоритмов, но и представляют значительный практический интерес. Кинетический характер модели обеспечивает возможность детального исследования состояния плазмы и самосогласованного электрического поля в околоповерхностной области. В частности, на примере сферического тела в трехкомпонентной плазме продемонстрировано наличие существенного неравновесия в распределении частиц в возмущенной зоне, а также выявлены характерные особенности пространственного распределения и динамики частиц с различным знаком заряда.

Исследована начально-краевая задача для ограниченной области, находящейся в тепловом взаимодействии с внешней средой, учитывающая эффекты памяти посредством дробной производной Капуто по времени. Теплообмен через боковую поверхность тела с окружающей средой учтен в дифференциальном уравнении в виде отрицательного источника тепла. Получена априорная оценка решения начально-краевой задачи. Решение найдено операционным методом с использованием преобразования Лапласа по времени.

Показано обобщение ранее разработанного метода прогнозирования ползучести и длительной прочности на основании известной информации о поведении заранее испытанного образца (образец-лидер, прототип) в условиях вязкого разрушения материала для случая воздействия на материал агрессивной среды — наводораживания металлических образцов и элементов конструкций с разной степенью внедренного водорода. Отмечены преимущества разработанного метода по сравнению с более сложными известными способами. Показаны результаты расчета ползучести и длительной прочности наводороженных образцов из сплава ВТ6 при температуре 600 ∘C. Результаты исследования демонстрируют, что разработанный метод позволяет не только прогнозировать кривые ползучести и длительной прочности, но и оптимально планировать эксперименты для получения серии кривых ползучести при постоянных напряжениях.