Том 21, № 2 (2017)

В ранних работах автора изучены задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерных гиперболических уравнений, где показана корректность этих задач в цилиндрических областях, существенно зависящая от высоты рассматриваемой цилиндрической области. В данной статье рассматривается многомерная область внутри характеристического конуса, в которой задачи Дирихле и Пуанкаре имеют единственные решения для одного класса гиперболических уравнений.

Для одного модельного интегро-дифференциального уравнения первого порядка с логарифмической особенностью в ядре в зависимости от корней характеристического уравнения найдены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Найдены случаи, когда данное интегро-дифференциальное уравнение имеет единственное решение. Построены аналоги теоремы Фредгольма для этого интегро-дифференциального уравнения. Использованный метод можно применять для изучения модельных и немодельных интегро-дифференциальных уравнений высших порядков.

В силу прикладной важности теория уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов теории уравнений с частными производными. Это обусловлено тем, что уравнения смешанного типа непосредственно связаны с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений, интегральных преобразований и специальных функций. Актуальным продолжением исследований в этих областях будет доказательство однозначной разрешимости внутреннекраевой задачи, когда в гиперболической части области задано условие, связывающее обобщенные производные и интегралы дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса от значений решения на характеристике искомого уравнения.

Рассматривается задача упругопластического кручения двухслойного слабоанизотропного стержня некругового поперечного сечения. Поперечное сечение представляет собой двухсвязную область. Стержень ориентирован в цилиндрической системе координат так, что ось Z направлена по оси стержня. Влияние массовых сил не учитывается. Cтержень закручивается вокруг оси Z равными и противоположными парами сил. Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от нагрузок. Значение момента имеет такую величину, при которой в некоторых частях поперечного сечения материал переходит в пластическое состояние и образуются пластические зоны. Распространение пластического течения происходит от внешнего контура внутрь сечения. Предполагается, что значение момента такое, что пластическая область целиком охватывает внешний контур поперечного сечения и существует упругопластическая граница, которая расположена между внутренним контуром и границей раздела слоев. Предполагается, что внешний и внутренний слои обладают свойствами анизотропии, частными случаями которых являются анизотропия согласно Хиллу и трансляционная анизотропия. Каждый из слоев имеет свои параметры анизотропии. С помощью метода малого параметра определены напряженно-деформированное состояние и упругопластическая граница в первом приближении.

Аналитически изучены общие свойства кривых ползучести, порождаемых линейным определяющим соотношением вязкоупругости с произвольной функцией ползучести при циклических двухступенчатых нагружениях с произвольным коэффициентом асимметрии цикла. Исследованы интервалы монотонности и выпуклости циклических кривых ползучести, поведение последовательностей максимальных и минимальных значений деформации в каждом цикле и их полусуммы (условия их ограниченности, монотонности, сходимости), их отклонение от обычной кривой ползучести при среднем напряжении цикла, условия моделирования циклического упрочнения и разупрочнения, а также зависимость всех обнаруженных свойств от характеристик функции ползучести и параметров цикла нагружения. Для импульсных (отнулевых), симметричных и произвольных циклических ступенчатых нагружений выведены общие формулы и точные двусторонние оценки для максимальных и минимальных значений деформации в каждом цикле и их пределов, для отклонения кривой циклической ползучести от обычной кривой ползучести при среднем напряжении цикла, для скорости накопления пластической (необратимой) деформации и рэтчетинга. Выявлена ключевая роль выпуклости вверх функции ползучести и величины предела ее производной на бесконечности; в частности, доказано, что равенство этого предела нулю является критерием отсутствия накопления пластической деформации при циклических нагружениях и критерием асимптотической симметризации отклонения деформации от кривой ползучести для среднего напряжения. На основе сравнения обнаруженных свойств теоретических кривых с типичными свойствами экспериментальных кривых ползучести вязкоупругопластичных материалов при ступенчатых нагружениях изучены возможности линейной теории вязкоупругости по описанию различных эффектов, наблюдаемых при циклических ступенчатых нагружениях, сферы влияния общих качественных характеристик функции ползучести и способы идентификации и настройки определяющего соотношения. В частности, доказано, что линейное соотношение вязкоупругости с произвольной функцией ползучести моделирует отсутствие рэтчетинга (и убывание последовательности модулей полусумм максимального и минимального значений деформации в каждом цикле) при симметричных циклических нагружениях, а при наложении симметричного (ступенчатого) циклического возмущения на постоянную нагрузку не происходит ускорения ползучести по сравнению с ползучестью при среднем напряжении.

В работе исследована задача Стефана в обобщении для фрактальных сред с применением аппарата производных дробного порядка в смысле Капуто по времени. Построена разностная схема. Разработан алгоритм и создана программа численного решения задачи Стефана с оператором дробного дифференцирования. Для начальных условий и параметров замерзающего грунта получены зависимости температурного поля от координаты и времени при различных значениях дробного параметра α. Оценены функциональные зависимости движения межфазной границы для обобщенного условия Стефана в зависимости от значения α. Установлено, что с уменьшением α процесс промерзания замедляется.