Том 23, № 4 (2019)

При математическом моделировании сплошных сред с памятью возникают уравнения, описывающие новый тип волнового движения, занимающего промежуточное положение между обычной диффузией и классическими волнами. Имеются в виду дифференциальные уравнения дробного порядка, которые являются основой большинства математических моделей, описывающих широкий класс физических и химических процессов в средах с фрактальной геометрией. В работе представлено качественно новое уравнение влагопереноса, являющееся обобщением уравнения Аллера–Лыкова, посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности, которая объясняет наличие потоков против потенциала влажности. Рассмотрена вторая краевая задача для уравнения Аллера–Лыкова с дробной производной Римана–Лиувилля. Существование решения задачи доказано методом Фурье. Для доказательства единственности решения методом энергетических неравенств получена априорная оценка в терминах дробной производной Римана–Лиувилля.

Предлагается один общий принцип постановки граничных условий в краевых задачах механики растущих тел. При выводе определяющих соотношений на поверхности наращивания используется аппарат алгебры рациональных инвариантов. Проведен вывод различных вариантов физически непротиворечивых дифференциальных ограничений на поверхности наращивания. Полученные условия справедливы для весьма широкого круга материалов и метаматериалов. Для использования сформулированных дифференциальных ограничений в конкретных приложениях необходима их экспериментальная идентификация. По этой причине полученные результаты могут служить общей основой в прикладных исследованиях по механике растущих тел.

Аналитически исследуется способность линейного интегрального определяющего соотношения вязкоупругости Больцмана–Вольтерры с двумя произвольными материальными функциями (сдвиговой и объемной ползучести) для изотропных реономных материалов описывать разнообразные эффекты, связанные с возможными (наблюдаемыми в испытаниях) типами поведения осевой и поперечной деформаций, в частности, эффекты немонотонности, знакопеременности и отрицательности коэффициента поперечной деформации («коэффициента Пуассона»). Изучены общие качественные свойства и характерные особенности семейств кривых объемного, осевого и поперечного деформирования и зависимости коэффициента Пуассона от времени, порождаемых этим соотношением при одноосном растяжении/сжатии с постоянной скоростью и влияние на них характеристик обеих функций ползучести (они предполагаются возрастающими и выпуклыми вверх). Доказано, что линейная теория вязкоупругости способна моделировать немонотонное изменение и знакопеременность поперечной деформации и коэффициента Пуассона во времени, найдены критерии их монотонности, критерии наличия у них точек экстремума и точек перегиба, критерий отрицательности коэффициента Пуассона на некотором интервале времени (в зависимости от качественных свойств функций объемной и сдвиговой ползучести). Показано, что учет объемной ползучести может оказывать сильное влияние на качественное поведение поперечной деформации и коэффициента Пуассона. Обнаружены несколько характерных общих свойств семейств кривых осевого и поперечного деформирования и коэффициента Пуассона, которые удобно контролировать в испытаниях материалов при растяжении/сжатии с постоянной скоростью и использовать как маркеры границы области линейного поведения и как индикаторы неприменимости линейной теории вязкоупругости для моделирования в случае их нарушения в испытаниях (в интересующем диапазоне времен, деформаций и скоростей нагружения).
Исследованы специфические свойства кривых нагружения, порождаемых линейной теорией вязкоупругости в сочетании с постулатами о линейно-упругом изменении объема или о постоянстве коэффициента Пуассона, найдены дополнительные индикаторы неприменимости подобных моделей (с одной материальной функцией). В частности доказано, что пренебрежение объемной ползучестью хотя и не сужает диапазон возможных значений коэффициента Пуассона и не лишает линейное определяющее соотношение способности описывать смену знака коэффициента Пуассона и поперечной деформации и ее немонотонность, но все же заметно ограничивает эту способность и существенно обедняет спектр возможных типов изменения поперечной деформации и коэффициента Пуассона (сужает область применимости модели). У модели с объемной упругостью (в отличие от общего случая) зависимость от времени поперечной деформации не может иметь точки минимума и точки перегиба (она всегда выпукла вверх) и менять знак с положительного на отрицательный, а зависимость коэффициента Пуассона не может иметь точки экстремума и перегиба, участки убывания или выпуклости вниз и не может менять знак с «плюса» на «минус».

Мультисенсорная система фильтрации характеризована математически как результат решения задачи синтеза многомерной дискретной системы фильтрации одного сигнала по данным от множества разнородных датчиков (сенсоров). В стационарной постановке этой задачи приведены три варианта ее решения: Колмогорова–Винера, Калмана в ковариационной форме и Калмана в информационной форме. Осуществлен переход к постановке этих задач в условиях параметрической неопределенности.В целях реализации активного принципа адаптации найден метод формирования инструментального функционала качества для эквивалентной замены недоступного исходного функционала качества — среднеквадратической ошибки фильтрации.Показано, что эта замена создает возможность применять для адаптации системы весь аппарат и средства практических методов оптимизации, прежде всего, методов градиентного и ньютоновского типов.
Предложенное теоретическое решение задачи формирования инструментального функционала качества осуществимо при достаточно общих условиях исходной задачи синтеза многомерной дискретной системы фильтрации при бесконечном времени наблюдения.
Выявлено следующее:
– Достаточно сложные операции одношагового предсказания и затем обновления оценок в двухэтапном алгоритме фильтрации целесообразно выполнять в центре принятия решений; здесь же должны выполняться вычислительные операции по минимизации инструментального функционала качества.
– Несложные операции адаптивного масштабирования данных целесообразно оставить в местах нахождения сенсоров.
– Алгоритмы адаптации могут быть реализованы для базовых алгоритмов фильтрации, взятых в различных формах: в форме фильтра Колмогорова–Винера, в ковариационной форме фильтра Калмана или в информационной форме фильтра Калмана.
– Вычислительные операции по минимизации инструментального функционала качества целесообразно разрабатывать как варианты реализации современных практических методов оптимизации различного уровня сложности.

Работа посвящена изучению динамики образования пузырьков в газожидкостной системе с учетом разности потенциалов. Электропроводность жидкости определяется в зависимости от концентрации электролита и, соответственно, от электростатического поля, возникающего при течении жидкости. Влияние электростатического поля на динамику образования пузырьков показало, что радиус пузырьков газа и динамика его расширения вследствие изменения перепада давления зависят от разности потенциалов протекания.
В зависимости от концентрации электролита определяется электрическая проводимость жидкости и, соответственно, электростатическое поле, возникающее в результате трения в жидкости. Влияние электростатического поля на динамику образования пузырьков показало, что радиус пузырьков газа и динамика его расширения, образованная падением давления, могут регулироваться параметром разности потенциалов. Показано, что одним из основных факторов, влияющих на течение двухфазных жидкостей, является природа жидкой фазы и концентрация электролита. Результаты регулирования динамики образования пузырьков в газожидкостной системе посредством электростатического поля и ряда физических параметров могут быть применены в процессах нефтегазовой отрасли, химического производства, биомеханике.

Для уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменнымирассматривается вариант задачи Гурса с данными на двух пересекающихся характеристиках,включающий в себя не только построение искомой функции, но и определение коэффициентов уравнения.Таким образом, речь идет об обратной задаче с определением коэффициентов уравнения.Предложена методика построения условий, обеспечивающих выделение бесконечного числа наборов уравнений данного вида,для которых рассматриваемая задача разрешима в квадратурах. Вместо введения дополнительных граничных условий предлагаются ограничения на структуру уравнения,связанные с возможностями его факторизации.

Рассматривается характеристически нагруженное уравнение смешанного гиперболо-параболического типа.В гиперболической части области уравнение представляет собой нагруженное односкоростное уравнение переноса, известное в математической биологии как уравнение Мак-Кендрика, в параболической — нагруженное уравнение диффузии. Цель работы: исследование единственности и существования решения нелокальной внутренне-краевой задачи с условиями Бицадзе–Самарского в параболической части области и непрерывными условиями сопряжения, краевые условия в гиперболической части области не задаются.
Решение исследуемой задачи сводится к решению нелокальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно следа искомой функции на линии изменения типа. Доказана теорема существования и единственности решения задачи, в гиперболической части области выписано решение в явном виде. В параболической части области исследуемая задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, найдено представление решения.