Том 24, № 1 (2020)

Рассмотрены стационарные задачи для прохождения (туннелирования) плоской электромагнитной волны через слой вещества с диэлектрическими свойствами, а также и квантовой частицы через прямоугольныйпотенциальный барьер. Показано, что сверхсветовых движений не возникает, а время прохождения всегда больше времени при прохожденииструктуры со скоростью света.

Изучена возможность построения полнопараметрического аналитического решения задачи о напряженно–деформированном состоянии тела, вызванном воздействием объемных сил. В общем случае Чезаро перемещения в каждой точке тела определяются через объемные силы интегральным выражением с сингулярным ядром. Поэтому при произвольной форме тела его упругое состояние можно построить только численно. Строгое аналитическое решение выписывается в классическом варианте, соответствующем силам потенциального характера. Эти силы являются традиционными объектами механики, но их перечень весьма ограничен. Современный уровень развития науки и техники в мире требует применения сил произвольного характера, которые могут порождаться как на уровне молекулярного взаимодействия, так и взаимодействием электромагнитных полей внутри тела. Они заведомо консервативными не являются. Кроме этого, применение методов возмущений при решении нелинейных задач эластостатики и задач термоупругости создает на каждой итерации асимптотического приближения искусственно порожденные объемные силы полиномиального характера либо силы, достаточно точно аппроксимируемые многочленами. Возможность выписывания строгих или высокоточных частных решений в ходе выполнения итерации оказывает неоценимую услугу расчетчику. Для весьма широкого круга сил, приближаемых полиномами от пространственных координат или, еще \'{у}же, для полиномиальных сил сформирован новый метод построения строгого решения задачи о соответствующем упругом состоянии тела, опирающийся на изоморфизм гильбертовых пространств сил такого рода и им соответствующих упругих состояний (наборов перемещений, деформаций, напряжений). Доказана теорема о существовании изоморфных счетных базисов этих пространств, построены алгоритмы их наполнения. Частное решение задачи об упругом поле от полиномиальных сил строится разложением заданной нагрузки по ортонормированному базису и выписывается достаточно просто в конечном виде, причем в аналитической форме. Поправка от частного решения вносится в граничные условия однородной задачи упругости для тела, после чего строится решение. Его аналитический характер могут обеспечить вычислительные подходы, ориентирующиеся на компьютерные алгебры. Удобным вариантом такого подхода является метод граничных состояний (МГС), имеющий ряд преимуществ перед широко используемыми численными (конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и др.), и один существенный недостаток: вычислительный комплекс МГС не получил конечного завершения. Коротко изложены достоинства МГС и дано его лаконичное описание. Использование подхода МГС принципиально позволяет выписывать полнопараметрическую форму решений для тел произвольной геометрической формы. МГС применен для построения решения задачи о линейно-упругом сплюснутом сфероиде, нагруженном самоуравновешенной системой объемных сил. Решение строилось для двух вариантов нагружения, а именно потенциальными либо непотенциальными силами. Аналитический вариант решения приведен только для поля перемещений (остальные характеристики упругого состояния легко выписываются через определяющие соотношения). Определенный интерес представляет графическая иллюстрация полей напряжений, выполненная при фиксированных значениях параметров.

Работа посвящена численному анализу динамического поведения горизонтально ориентированных несоосных оболочек, кольцевой зазор между которыми полностью или частично заполнен текущей жидкостью. Решение задачи осуществляется в трёхмерной постановке с использованием метода конечных элементов. При моделировании упругих тел предполагается, что их криволинейная поверхность достаточно точно аппроксимируется совокупностью плоских сегментов, деформации в которых определяются с помощью соотношений классической теории пластин. Движение идеальной сжимаемой жидкости описывается волновым уравнением, которое совместно с условием непроницаемости и соответствующими граничными условиями преобразуется с помощью метода Бубнова–Галёркина. Математическая постановка задачи динамики тонкостенных конструкций основана на вариационном принципе возможных перемещений. Оценка устойчивости базируется на вычислении и анализе комплексных собственных значений связанной системы уравнений. Верификация модели произведена для случая неподвижной жидкости путём сопоставления результатов с известными решениями. Представлен анализ влияния величины кольцевого зазора и уровня его заполнения жидкостью при различном значении эксцентриситета между осями вращения жёстко закреплённых с обоих краёв оболочек на границы гидроупругой устойчивости. Показано, что для несоосных оболочек уменьшение уровня заполнения приводит к повышению границ устойчивости. Продемонстрирована зависимость критической скорости течения жидкости от отклонения внутренней оболочки от соосного положения.

Использование многочлена Тейлора второй степени при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода сеток при численном интегрировании краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. В работе при исследовании краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующий средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не использовалась. Согласно указанному методу, при составлении системы разностных уравнений может быть выбрана произвольная степень многочлена Тейлора в разложении искомого решения задачи в ряд Тейлора.В работе возможные граничные условия дифференциальной краевой задачи записаны как в виде производных степеней от нуля до трех, так и в виде линейных комбинаций этих степеней. Краевая задача названа симметричной, если количества граничных условий в левой и правой границах совпадают и равны двум; в противном случае задача названа несимметричной. Для дифференциальной краевой задачи составлена ее аппроксимирующая разностная краевая задача в виде двух подсистем: в первую подсистему вошли уравнения, при построении которых не были использованы граничные условия краевой задачи; во вторую подсистему вошли четыре уравнения, при построении которых были использованы граничные условия задачи.Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации разностной краевой задачи и степенью используемого многочлена Тейлора.Установлено следующее:а) порядок аппроксимации первой и второй подсистем пропорционален степени используемого многочлена Тейлора;б) порядок аппроксимации первой подсистемы меньше степени многочлена Тейлора на две единицы при ее четном значении и меньше на три единицы при ее нечетном значении;в) порядок аппроксимации второй подсистемы меньше степени многочлена Тейлора на три единицы независимо как от четности или нечетности этой степени, так и от степени старшей производной в граничных условиях краевой задачи.Вычислен порядок аппроксимации разностной краевой задачи со всеми возможными комбинациями граничных условий.Теоретические выводы подтверждены численными экспериментами.

Ранее авторами было проведено исследование одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в окрестности подвижной особой точки. Доказаны: существование подвижной особой точки, теорема существования и единственности решения в окрестности подвижной особой точки. Построено аналитическое приближенное решение в окрестности подвижной особой точки. Исследовано влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение. Результаты, полученные для вещественной области, были обобщены на комплексную область $|z|<|\tilde z^*|\leqslant |z^*|$, где $z^*$ — точное значение подвижной особой точки, $\tilde z^*$ — приближенное значение подвижной особой точки. В данной работе проведено исследование аналитического приближенного решения от влияния возмущения подвижной особой точки в области $|z|> |\tilde z^*|\geqslant |z^*|$ с учетом изменения направления движения по лучу в направлении к началу координат комплексной плоскости. Эти исследования необходимы в силу характера подвижной особой точки (четная дробная степень критического полюса). Полученные результаты сопровождены численным экспериментом и завершают исследование аналитического приближенного решения рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности подвижной особой точки в зависимости от направления движения вдоль луча в комплексной области.

Ранее, в сообщении 1, были рассмотрены интегро-дифференциальные уравнения второй краевой задачи теории упругости для однородного изотропного тела. Полученные результаты распространены на краевые задачи для общего случая неоднородного анизотропного тела. Показано, что найденные интегро-дифференциальные уравнения также являются уравнениями фредгольмовского типа. Доказано существование и единственность их решения. Определены условия, при которых решение можно найти методом последовательных приближений. Приведен пример расчета остаточных напряжений в неоднородном закаленном цилиндре.