THE USING OF MAXWELL GARNETT AND BRUGGMAN MODELS TO DESCRIBE HETEROGENEITY OF A CHIRAL METAMATERIAL BASED ON GAMMADIONS

Full Text

Введение Метаматериалы в настоящее время остают- ся объектом для исследования многих научных групп всего мира [1-3]. Это связано с тем, что с помощью создания искусственной структуры метаматериала возможно получение уникальных свойств взаимодействия электромагнитного поля с веществом. Любой метаматериал состоит из не- сущей среды (контейнера) и размещенных в нем периодически или квазипериодически компонент из другого материала естественного происхожде- ния. В этой связи уникальные электромагнитные свойства, достижимые при создании метама- териалов, могут быть обусловлены как про- странственной композицией компонентов, так и их локальной структурой. Практически любой метаматериал может быть представлен в виде контейнера из материала естественного проис- хождения А, в котором определенным образом распределены компоненты Б из другого матери- ала. Это обуславливает необходимость рассмо- трения метаматериала с макроскопической точки зрения как гетерогенной среды. Особым классом метаматериалов является ки- ральный метаматериал (КММ), в пространствен- ную структуру которого входят компоненты Б, об- ладающие свойством «зеркальной асимметрии» [4-6]. По сути, компонентами являются микро- структуры, которые могут существовать в двух формах - правой (R) и левой (L), которые соот- носятся друг относительно друга как зеркальные отражения в плоском зеркале. Такие метаматери- алы начали активно изучаться в конце XX века и получили название киральных сред, а зеркально асимметричные компоненты - киральных эле- ментов. Аналогом киральных сред СВЧ являются оптически активные среды, изучение которых на- чалось еще в XIX веке с работ Бозе, Пастера и др. В киральных средах, как и в любых метамате- риалах на основе упорядоченных структур ком- понентов, принципиальное значение и влияние на электромагнитные свойства оказывает про- странственная дисперсия. Основные электромаг- нитные свойства киральных метаматериалов - это кросс-поляризация, частотная и поляризаци- онная селективность и т. п. [5-11]. Новым этапом развития метаматериалов ста- ли упоминания возможности создания сред с отрицательным преломлением (существование которых предсказал Веселаго в 1968 году) [8-9]. Причем при создании подобных сред зачастую использовались компоненты именно с зеркально асимметричной пространственной конфигураци- ей (например, одиночные и двойные разомкну- тые кольца и др.). В данной статье пойдет речь об уточнении обобщенных моделей киральных метаматериа- лов, а именно об учете в них свойств гетероген- ности. Сразу отметим, что предлагаемые матема- тические модели могут быть применены именно к киральным (и биизотропным) средам при ус- ловии, что все зеркально асимметричные компо- ненты размещаются на одинаковых расстояниях и ориентация их геометрических осей является произвольной. Наиболее хорошо изученными видами киральных компонент являются одно- и многозаходные тонкопроволочные спирали, ра- зомкнутые тонкопроволочные кольца с выступа- ющими прямолинейными концами, тонкопрово- лочные и планарные гаммадионы и др. В научной литературе мало обсуждается во- прос о том, чем вызваны своеобразные свойства киральных метаматериалов: пространственным размещением компонентов Б в контейнере А или же пространственной конфигурацией используе- мых зеркально асимметричных компонент Б? Заметим, что в уравнениях состояния для ки- ральной среды [4] материальные параметры яв- ляются эффективными. Однако в них отсутствует учет зависимости от материальных параметров контейнера А и компонентов Б, то есть, по сути, учет гетерогенности. В предлагаемой работе будет построена мате- матическая модель КММ, в которой будут учтены основные физические и геометрические свойства кирального метаматериала - киральность, гете- рогенность и дисперсия. Гетерогенность. Упорядоченное размещение микроэлементов в контейнере. Для описания данного свойства в работе использовались модели Макс- велла-Гарнетта [12; 14; 15] и Бруггемана [13-15]. Киральность. Компоненты метаматериала обладают зеркально асимметричной конфигу- рацией. В работе использовались материальные уравнения в формализме Линделла - Сиволы [4]. Дисперсия. Зависимость материальных пара- метров метаматериала от частоты. Для описания дисперсии использовалась модель Кондона, из- вестная из квантовой теории оптически активных сред, а также уже применяемая для киральных сред СВЧ [16]. В работе построены две математические мо- дели КММ, учитывающие гетерогенность на ос- нове моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана, а также проведено сравнение их использования при решения электродинамических задач. Математические модели кирального метаматериала Киральная среда представляет собой компози- Рисунок 1. Обобщенная структура кирального метаматериала то для его физико-математического описания не- обходимо ввести эффективные диэлектрическую и магнитную проницаемости, которые зависят от соответствующих проницаемостей несущей сре- ды и объемов, занятых зеркально-асимметрич- ными компонентами: ционный метаматериал на основе несущей среды  c , s ;   c ,s . (1) (контейнера) и как минимум одного компонента, обладающего свойством зеркальной асимметрии. При построении математической модели КММ будем считать, что в несущем контейнере А раз- мещаются зеркальные компоненты одного типа Б, которые являются тождественными и хаотически ориентированными в контейнере. Обобщенная пространственная конфигурация кирального ме- таматериала приведена на рисунке 1. КММ представляет собой совокупность одно- родного диэлектрического контейнера (А) с отно- сительной диэлектрической проницаемостью c и относительной магнитной проницаемостью c , где равномерно размещаются и хаотически ориентируются зеркально асимметричные компо- Произвольный взаимный макроскопически однородный КММ может быть набором трех материальных параметров (1) - эффективными диэлектрической проницаемостью , магнитной проницаемостью  и параметром киральности . Вставка зависимостей (1) в материальные урав- нения для КММ позволяет учесть гетерогенность метаматериала в целом. В качестве соотношений (1) могут быть использованы формулы Максвел- ла-Гарнетта [12; 14; 15] и Бруггемана [13-15]. Впервые материальные уравнения для опти- чески активной среды записал американский фи- зик Эдвард Улер Кондон (Edward Uhler Condon) в предположении отсутствия у среды магнитных свойств ( 1): ненты Б. Расстояние между ближайшими со- седними киральными включениями обозначим через l; линейный размер области, занятой одним   D  E -   H ;  t   B  H     E ,  t (2) киральным компонентом, через d. КММ пред- ставляет собой совокупность однородного кон- тейнера, в котором размещена одно- или двух- мерная матрица из зеркально асимметричных компонентов Б с периодом l. где  - относительный параметр оптической активности. В 1986 г. М. Сильверман [10] обобщил и симметризировал уравнения (2) на случай ис- кусственной киральной среды:         D E H ; B H E , (3) Таким образом, зеркально асимметричные ми-   -  t      t кровключения представляют собой микроскопические электромагнитные частицы, соизмеримые с длиной волны СВЧ-поля, которые являются пегде  - относительный параметр киральности. В 1988 г. С. Бассири и др. [11] записали ма- териальные уравнения (3) для случая гармоничереизлучателями электромагнитного поля (ЭМП), падающего на КММ.  ской зависимости в виде E и  H ~ expit  для Вследствие того что киральный метаматери- ал представляет собой совокупность контейнера и зеркально асимметричных микровключений, комплексных амплитуд векторов поля:       D  E - iH; B  H  iE, (4) где    - относительный параметр киральности. В 1992 г. Линделл и Сивола применили наи- более часто используемую в настоящее время форму записи материальных уравнений для Подставляя в (5) соотношения (7), имеем 1  2 s - εc     2     КММ [4]:       D r   c 1 - s c s - εc E r   i H r , (8) D   E  i H , B   H  i E. (5) s  2c где  - относительный параметр киральности.                 В соотношениях (5) верхние знаки соответ- B r H r i E r . ствуют КММ на основе зеркально асимметрич- ных компонентов с правой закруткой (правых форм компонентов), а нижние знаки - КММ на основе зеркально асимметричных компонентов с левой закруткой (левых форм компонентов). В материальных уравнениях (5) диэлектриче- ская проницаемость  не учитывает простран- ственную структуру метаматериала, а также концентрацию включений. В связи с указанным Материальные уравнения (8) составляют ма- тематическую модель однородного кирального метаматериала с учетом свойства гетерогенности с использованием формулы Максвелла-Гарнетта. Учет гетерогенности КММ с использовани- ем модели Бруггемана. Для описания гетероген- ности метаматериала воспользуемся соотношением Бруггемана [13-15]:  -  - фактом материальные уравнения должны быть 1 -  c  s  0, (9) дополнены соотношениями для диэлектрической проницаемости метаматериала (эффективной ди- электрической проницаемости), учитывающей проницаемости контейнера, включений, а также их концентрацию. В настоящее время наиболее известными моделями диэлектрической прони- цаемости гетерогенной среды (метаматериала) являются модели Максвелла-Гарнетта и Бругге- мана. Учет гетерогенности КММ с использовани- ем модели Максвелла-Гарнетта. Для описания c  2 s  2 где  - относительная эффективная диэлектри- ческая проницаемость КММ; c - относительная диэлектрическая проницаемость контейнера А; s - относительная диэлектрическая проница- емость объемов, занятым киральными микро- включениями Б;  - объемная концентрация микровключений. Из формулы (9) получаем соотношение для эффективной диэлектрической проницаемости КММ: пространственной структуры метаматериала воспользуемся моделью (формулой) Максвелла-Гар-  ,    2 1 - - 1 , (10) нетта [12; 14; 15]: где 1 2 4 2 2  - c   s - c , (6)  1 - 3 -  2 - 3      s c  ;   - c s . (11)   2c s  2c 1 2 где  - относительная эффективная диэлектрическая проницаемость КММ (как пространствен- ной структуры, состоящей из несущей среды А и компонентов Б); c - относительная диэлектри- 2 2 Подставляя (11) в (10), получаем для эффек- тивной диэлектрической проницаемости в моде- ли Бруггемана ческая проницаемость несущей среды А; s - относительная диэлектрическая проницаемость    s 1 - 3 - c  2 - 32 εcεs - области, занятой компонентом Б;  - объемная концентрация компонент Б. Из (6) получаются следующие соотношения 16 2 - . s 1 - 3 - c 2 - 3 4 (12) для эффективной диэлектрической проницаемости КММ: Формула (12) определяет (согласно модели Бруггемана) эффективную диэлектрическую про-  c 1  2x ; 1 -  x  s - c   2 . (7) ницаемость метаматериала через относительные диэлектрические проницаемости несущей среx s c Формулы (8) определяют (согласно модели Максвелла-Гарнетта) эффективную диэлектриды А и объемов, занятых микровключениями Б. Подставляя в (5) соотношения (12), получаем ческую проницаемость произвольного метаматериала через относительные диэлектрические        2 s 1 - 3 - c 2 - 3  c s - проницаемости несущей среды А и объемов, занятых компонентами Б. D r    16 2 (13) s 1 - 3 - c 2 - 3    2       0 -    E r 4  i H r ; s   s  2 2 . 0 -       B r    H r   i Er . Материальные уравнения (13) составляют ма- тематическую модель однородного кирального метаматериала с учетом свойства гетерогенности с использованием формулы Бруггемана. Подставляя (14) в уравнения (13), получаем математическую модель кирального метамате- риала, учитывающую свойства киральности, ге- терогенности (на основе формулы Бруггемана) и дисперсии: 2 Кроме учета свойства гетерогенности кираль-        i A0   ; D E H ного метаматериала, необходимо учесть и свойство дисперсии материальных параметров. Для 0 c 2 - 2  2 этого воспользуемся моделью Кондона.        i A0   ; B ñ H E Учет дисперсии. КММ принципиально обладает пространственной дисперсией, следователь- 0 c 2 - 2  2 но, его диэлектрическая проницаемость и пара-   s 1 - 3 - c 2 - 3  cs - (16) метр киральности зависят от частоты падающего  поля. В научной литературе приводятся следу- ющие частотные зависимости диэлектрической проницаемости и параметра киральности [16]: 16 2 - s 1 - 3 - c 2 - 3 ; 4 2 A2  2      0 .    c  2 2 ;   c  , 2 2  (14) 0 0 0 s 0 - 0 - s s 2 - ω2 где s - относительная диэлектрическая прони- цаемость области, занятой киральным компонен- том Б;  - объемная концентрация компонента в контейнере А;  - параметр киральности КММ; c - скорость электромагнитной волны в вакууме; A - параметр, имеющий размерность длины и связанный с расстоянием между элементами; 0 - параметр, имеющий размерность частоты и связанный с внутренними процессами в среде. Соотношения (14) являются эквивалентом мо- дели Кондона на СВЧ. При записи выражений (15)-(16) предполагалось, что диэлектрическая проницаемость кон- тейнера (несущей среды) является постоянной и не зависит от частоты. Использование математических моделей кирального метаматериала для решения задачи о падении плоской электромагнитной волны линейной поляризации на планарный слой КММ Рассмотрим задачу о падении плоской элек- тромагнитной волны линейной E- или H-по- Резонансная частота 0 определяется пространственной конфигурацией и линейными раз- мерами зеркальных микровключений. Для КММ на основе разных видов зеркальных компонент вычисление резонансных частот осуществляется различными методами. Поставляя формулу (14) в материальные уравнения (8), получаем математическую модель ки- рального метаматериала, учитывающую свойляризации на планарный слой из кирального метаматериала. Геометрия задачи представлена на рисунке 2. Плоская электромагнитная волна падает на планарный слой КММ под углом . Область 1 на рисунке 2 является диэлектриком с диэлектриче- ской и магнитной проницаемостями 1 и 1. Слой КММ (область 2) описывается материальными ства киральности, гетерогенности (на основе параметрами: 2 , 2 и 2 в рамках построенной формулы Максвелла-Гарнетта) и дисперсии: математической модели (9). Объемная концентрация зеркально асимметричных компонентов в A    2  0 слое КММ равна 2 . Толщина планарного слоя D  E  i c H ; 0 2 - 2  КММ h. Область 3 является диэлектриком с диэ-   A2   лектрической и магнитной проницаемостями 3 B   ñ H   i 0 E;  2 2  и 3 . При решении задачи также предполагает-    c 1  2x  ;  0 -    s  - c ; (15) ся, что на всех границах раздела отсутствуют по- верхностные заряды и токи. Также будем считать, что КММ является неc 1 -   x    2 x s c ограниченно протяженным вдоль оси Oz. При решении задачи будем учитывать явление кросс- Рисунок 2. Геометрия задач поляризации, возникающее при отражении (про- хождении) электромагнитной волны от слоя из кирального метаматериала, а именно при паде- нии волны с E-поляризацией будут возникать компоненты отраженного и прошедшего ЭМП с Таким образом, требуется определить матри- цы коэффициентов отражения и прохождения ос- новной и кросс-поляризованной компонент поля (10)-(12). Планарный слой КММ описывается следующими материальными уравнениями: H-поляризацией и обратно.  ( 2)     ( 2)     ( 2) D E i H ; Коэффициенты отражения плоской волны от 2 2    (20) слоя КММ определяются следующей матрицей: B( 2)   2 2 H( 2)  i  E( 2) ,  r r  где верхние и нижние знаки определяют правую Rˆ   hh he , (17) или левую форму зеркально асимметричных ком-  reh ree  понентов. Соотношения (20) записаны в гауссогде rhh - коэффициент отражения ЭМП с вой системе единиц. При решении использова- H-поляризацией при падении ЭМП с H-полялись математические модели (15)-(16) и метод ризацией; rhe - коэффициент отражения ЭМП частичных областей [18]. Общая структура решес H-поляризацией при падении ЭМП с E-поляния приведена в [17]. ризацией; ree - коэффициент отражения ЭМП На границах раздела выполняются граничные с E-поляризацией при падении ЭМП с E-поляусловия для тангенциальных составляющих векризацией; reh - коэффициент отражения ЭМП торов напряженностей электрического и магнитс E-поляризацией при падении ЭМП с H-поляризацией. По аналогии коэффициенты прохождения в области 3 могут быть упакованы в матрицу коного полей [14]:   E(1)  y  0  E( 2)  y  0;     H(1)  y  0  H(1)  y  0; эффициентов прохождения, где смысл индексов  ( 2)     -   (3)   -  (21) E y h E y h ; аналогичен (17):     t t  H  y  -h  H  y  -h. Tˆ   hh he . (18) ( 2) (3) В результате решение сводится к неоднород-  teh tee  ной системе линейных алгебраических уравне- Внутри слоя из кирального метаматериала будут распространяться волны с право (ПКП) ний следующего вида, например, для случая па- дения ЭМП H- и E-поляризации: и левокруговыми (ЛКП) поляризациями - две   преломленные из области 1 и 2, отраженные от  BH,E RH,E  AH,E . (22) T границы раздела с областью 3. Для их описания R  T ( -) ,T ( ) ,T ( -) ,T ( ) , r , r ,t ,t  ; можно ввести матрицу коэффициентов отражения-прохождения волн ПКП и ЛКП в области 2: E R R L L ee eh ee eh   cos T  - -  AE  1, 0, 0,  , 0, 0, 0, 0 ; Sˆ  TR T L . (19)  1      T  ( ) ( ) ( ) ( ) TR TL  R  T - ,T  ,T - ,T  , r , r ,t ,t  ; H R R L L hh he hh he Рисунок 3. Пространственная конфигурация микровключения и КММ  T Индуктивность и емкость N-заходного гамма- AH  0,1, -1 cos, 0, 0, 0, 0, 0 ; диона определяются следующим образом: 2   2  2 ; -1 N N  N  2 C  Ci ; L   Li   Li  , (23) R,L   1 - 11 sin  ; i 1 i 1  i 1      2 где L - индуктивность i-го S-элемента; C - ем- 2 2 2 i кость i-го S-элемента (i  1, N ); i N - общее число kR,L   k0  BR 2  2 ; S-элементов в гаммадионе. Емкость гаммадиона определяется следую-   1 1 ; k  k 11 ; щим образом: 1 1 0 C  Cý  Cìý , (24) k  k 33 ;   3 3 ; то есть в виде суперпозиции емкостей самого 3 0 3 R,L   kR,L h cosR,L ; 2 гаммадиона и межэлементной емкости. Собственная емкость гаммадиона определяет- 3  k3h cos3 ; s2   s2  2 02 ; 0 2 - 2 ся как Cý  c2 2NRd , (25)    A2 k002 . 0 2 2 - 2 Явный вид матриц BH,E не приводится в ста- тье. Из решения систем линейных алгебраичеh где h - толщина контейнера метаматериала. Межэлементная емкость определяется по фор- муле: ских уравнений (22) находятся элементы неиз- вестных матриц коэффициентов отражения и Cìý  c2 NRd , 2 A0 (26) прохождения основных и кросс-поляризованных где A0 - расстояние между центрами соседних компонент поля. Киральный метаматериал на основе гаммадионов. В итоге выражение для общей ем- кости N-заходного гаммадиона имеет вид: тонкопроволочных гаммадионов C  2Nc2  4 A  h  Rd  0 . (27) Рассмотрим построение частной математи- ческой модели КММ на основе матрицы мно- гозаходных гаммадионов. Пространственная конфигурация элемента и КММ на его основе  4 A0 h  Индуктивность N-заходного гаммадиона опре- деляется следующим соотношением: 2 2NR2 приведены на рисунке 3 (классический двухза- L  c2 . d (28) ходный гаммадион показан справа, четырехзаходный гаммадион - слева). Заходы (S-элементы) в структуре N-заходного гаммадиона отличаются друг от друга своими ге- Выражение с использованием формулы Том- сона для резонансной частоты N-заходного гам- мадиона получается из соотношений (27) и (28): ометрическими параметрами. Однако при созда- нии метаматериала на их основе все гаммадионы должны быть тождественными. Обозначим гео- 0  1 c2c2 NR 2 A0 h . H 4 A0  h (29) метрические параметры i-го S-элемента в струк- Численные результаты туре гаммадиона через Ri радиус; di ширина Для проведения численного анализа была выметаллической полоски; Hi - высота S-элемента. брана структура, представляющая собой матрицу - Рисунок 4. Частотные зависимости отраженной от планарного слоя КММ мощности (E-поляризация) при использовании моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана при α2 = 0,1 - Рисунок 5. Частотные зависимости прошедшей через планарный слой КММ мощности (E-поляризация) при использовании моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана при α2 = 0,1 - Рисунок 6. Частотные зависимости отраженной от планарного слоя КММ мощности (E-поляризация) при использовании моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана при α2 = 0,15 - Рисунок 7. Частотные зависимости прошедшей через планарный слой КММ мощности (E-поляризация) при использовании моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана при α2 = 0,15 из двухзаходных гаммадионов. Контейнер имел Также можно отметить, что использование c 2  1, 6. Толщина планарного слоя КММ равгетерогенных моделей Максвелла-Гарнетта и нялась 0,05 м. Гаммадион обладал следующими значениями геометрических параметров: Бруггемана приводит к различным значениям резонансных частот, возникновению эффекта R1  0, 01 м, N1  2, r1  0, 002 м, частотно селективной концентрации ЭМП в пла- нарном слое КММ. H1  0, 05 м, d1  0, 05 м. Падение ЭМВ на исследуемый планарный На рисунке 6 приведены частотные зависислой КММ было нормальным:  0 . Были для мости отраженной от планарного слоя КММ примера исследованы два случая, когда менялась концентрация киральных компонентов внутри контейнера, то есть α2 = 0,1; 0,15. Также в каче- стве частного случая была рассмотрена ситуация, соответствующая отсутствию учета гетерогенно- сти КММ. В результате были рассчитаны частотные за- висимости отраженной мощности основной коммощности (E-поляризация) при различных значениях концентрации киральных компонентов в диапазоне частот от 1 до 10 ГГц при α2 = 0,15. На рисунке 7 приведены зависимости прошед- шей через планарный слой КММ мощности (E-поляризация) при различных значениях кон- центрации киральных компонентов в диапазоне частот от 1 до 10 ГГц при α2 = 0,15. Из сравнения рисунков 6 и 7 можно сделать поненты 20 lg ree и прошедшей мощности основвывод, что вблизи частот 2,77 и 6.0 ГГц наблюной компоненты 20 lg tee для случая падения на даются минимумы прохождения и отражения оспланарный слой КММ волны с E-поляризацией поля. На рисунке 4 приведены частотные зависимо- сти отраженной от планарного слоя КММ мощ- ности (E-поляризация) при различных значениях концентрации киральных компонентов в диапа- зоне частот от 1 до 10 ГГц при α2 = 0,1. На рисунке 5 приведены зависимости прошедшей через планарный слой КММ мощности (E-поляризация) при различных значениях кон- центрации киральных компонентов в диапазоне частот от 1 до 10 ГГц при α2 = 0,1. Из сравнения рисунков 4 и 5 можно сделать вывод о том, что вблизи частот 2,77 ГГц и 6,0 ГГц наблюдаются минимумы прохождения и отраже- ния основной (падающей, Е) компоненты поля. На этой частоте ЭМП концентрируется в планар- ном слое КММ. новной (падающей, Е) компоненты поля. На этой частоте ЭМП концентрируется в планарном слое КММ. С ростом частоты расхождение, полученное при расчете характеристик с использованием раз- личных гетерогенных моделей, а также без их ис- пользования, возрастает. Заключение В работе построены математические модели КММ на основе N-заходных тонкопроволочных произвольно ориентированных гаммадионов, учитывающие свойства киральности, гетероген- ности (с использованием формул Максвелла-Гар- нетта и Бруггемана) и дисперсии. В результате решениязадачиопаденииплоскойэлектромагнит- ной волны линейной поляризации на планарный слой КММ доказано, что КММ может обладать ярко выраженными частотно селективными свой- ствами. В результате численного анализа были об- наружены частотные режимы, в которых КММ выполняет функции преобразователя нормально падающего электромагнитного излучения в пере- излучение в области метаструктуры. Обнаружен- ный эффект может быть использован при раз- работке частотно селективных концентраторов (хабов) СВЧ-энергии, а также частотно селектив- ных сенсорных метаповерхностей. В работе до- казано, что использование гетерогенных моделей Максвелла-Гарнетта и Бруггемана приводит к различным значениям резонансных частот, воз- никновению эффекта частотно селективной кон- центрации ЭМП в планарном слое КММ. Показано, что с ростом частоты расхожде- ние, полученное при расчете характеристик с ис- пользованием различных гетерогенных моделей, а также без их использования, возрастает.

About the authors

M. V Aralkin

Military Academy of the Strategic Missile Forces named after Peter the Great of the Ministry of Defense of the Russian Federation

Email: aralkin_mv@inbox.ru
Balashikha, Russian Federation

A. N Dementyev

MIREA - Russian Technological University

Email: dementev_2001@mail.ru
Moscow, Russian Federation

O. V Osipov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: o.osipov@psuti.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files