Application of Computer Mathematics Systems for Solving Problems of Contact Geometry

Full Text

Введение Современная математика является основой всех точных и прикладных наук. Контактная геометрия имеет общемировое значение, вызывает интерес зарубежных и отечественных ученых [Dacko, 2018; Marín-Salvador, 2021; Becker, Min, Dattin, Teruya, 2022], и применяется при решении задач классической и квантовой механики, гидромеханики, теории сплошных сред, полной интегрируемости уравнений с частными производными, теории относительности, электродинамики, геометродинамики, теории струн и др. Объекты контактной геометрии выступают в качестве геометрического инструментария при решении и исследовании различных прикладных задач. Контактная геометрия позволяет создавать теоретические модели для проектирования множества технологических систем в промышленности. Также в экономических моделях при расчете инфраструктуры туристических комплексов в условиях горной местности при сильно искривленном рельефе используются лежандровы геодезические на трехмерных контактных многообразиях. 1. Обзор систем компьютерной математики Развитие исследований в области контактной геометрии, и любой другой науки, невозможно без применения систем компьютерной математики [Славолюбова, 2014, 2018; Киренберг, Славолюбова, 2019]. Проведение вычислительного эксперимента позволяет получить не только численные результаты, аналитические выражения, но и выделить верное и перспективное направление в получение теоретических результатов. Наиболее распространенными системами компьютерной математики являются следующие: Matlab, Mathcad, Maple, Maxima и Mathematica. Выбор одной из указанных систем осуществляется в зависимости от круга решаемых задач. Выполним их краткий обзор. Система Matlab в большей мере имеет популярность в области решений задач технических вычислений, численных решений дифференциальных уравнений, визуализации полученных результатов. Система Maple позволяет проводить аналитические (символьные) вычисления. Инструменты системы Maple ориентированы в основном на профессиональных математиков ввиду того, что требуются знания методов решения, заложенных в используемых функциях. Кроме средств символьных вычислений Maple содержит немало средств для численных решений прикладных задач, включающих в себя более 4000 специализированных процедур и функций. Система Mathematica, как и Maple, также позволяет проводить аналитические вычисления, решать разный спектр прикладных задач и визуализировать полученные результаты. Функциональные возможности системы включают даже синтезирование звука. К недостаткам системы можно отнести требование от пользователя знания достаточно необычного языка программирования. Система Mathcad применима в основном для численного решения математических задач, для решения задач инженерного характера. На основе данной системы можно получить результат без углубления в математическую суть задач. Система Maxima позволяет проводить, как численные, так и аналитические расчеты. Данная система полезна в компьютерных исследованиях и разработке алгоритмов, наделена средствами визуализации [Дьяконов, 2014]. При решении задач контактной геометрии наиболее лучшими вариантами являются системы Maxima и Maple. 2. Математические методы исследования задач контактной геометрии В основе методов исследования лежат теоретические положения, приведенные в работах [Diatta, 2008; Blair, 2010]. Напомним определение контактного многообразия [Blair, 2010]. Контактным многообразием называют многообразие M2n + 1 класса гладкости C∞, если на нем определена дифференциальная 1-форма η: η ∧ (dη)n ≠ 0 для всех векторных полей X на M2n + 1. Форму η называют контактной формой или контактной структурой. Контактное многообразие имеет поле Риба ξ: η(ξ) = 1, dη(ξ, X) = 0, ∀X ∈ TM2n + 1. Исследование контактных многообразий связано с изучением следующих тензоров: N(1)(X, Y) = [φ, φ](X, Y) + dη(X, Y)ξ; N(2)(X, Y) = (LφXη)X - (LφYη)Y; N(3)(X) = (Lξφ)X; N(4)(X, Y) = (Lξη)X. В случае рассмотрения в качестве многообразия группы Ли естественным является рассмотрение левоинвариантных контактных структур. В ходе изучения свойств и геометрических характеристик левоинвариантных контактных структур используется пакет Maxima, который позволяет оперировать матрицами и тензорами, решать задачи линейной алгебры. 3. Разработанные математические модели и методы решения задач контактной геометрии с применением систем компьютерной математики В работе [Diatta, 2008] приведены методы контактизации и классификация контактных групп Ли (G, η), G - группа Ли нечетной размерности, η - левоинвориантная контактная структура. Примером контактной структуры на 3-мерном евклидовом пространстве является 1-форма η = dz - xdy [Blair, 2010]. На контактных группах Ли [Славолюбова, 2018] можно задать левоинвариантные контактные метрические структуры (η, ξ, φ, g), которые могут принадлежать одному или нескольким классам контактных структур: эйнштейновым, η-эйнштейновым, K-контактным, сасакиевым структурам, или не принадлежать ни оному из перечисленных классов. В случае групп Ли касательное пространство в единице группы Ли G изоморфно ее алгебре Ли L(G). Любая левоинвариантная 1-форма η на группе Ли определена своим значением в единице группы Ли. Поэтому достаточно рассмотреть контактную форму на касательном пространстве в единице к группе Ли, а именно на алгебре Ли. То есть проводить исследование контактных структур можно на уровне алгебр Ли, а результаты для групп Ли получаются левыми сдвигами данных структур из единицы по соответствующим группам Ли. Наибольший интерес вызывают класс структур Сасаки, т.к. они непосредственно связаны с интегрируемыми почти комплексными структурами. Рассмотрим применение систем компьютерной математики к решению задач контактной геометрии. Для решения задачи о существовании структуры Сасаки на группе Ли G необходимо реализовать схему (рис. 1), содержащую описание математической модели задачи, метода решения и техники проведения расчетов. Чтобы решить задачу исследования (η, ξ, φ, g)-структур Сасаки необходимо реализовать схему (рис. 2), содержащую описание математической модели задачи, метода решения и техники проведения расчетов. 4. Результаты вычислительных экспериментов Приведем основные результаты вычислений и проведем их анализ. Результат 1. В качестве объекта исследования рассмотрим контактную алгебру Ли L(G) = ν4,1 × R [Diatta, 2008] с контактной формой в адаптированном базисе {Ei} (i = 1, … , 5): η = E5. Ненулевые структурные константы алгебры в базисе {Ei}: C312 = 1, C512 = -1, C114 = -1, C334 = -1, C534 = 1. Параметры bij при выполнении условий ассоциированности и почти комплексности (в ходе применения схемы рис. 1) ассоциированного аффинора удовлетворяют системе уравнений (1): (1) Задача [A task]: Решить вопрос существования структуры Сасаки на нечетномерной группе Ли G [Solve the question of the existence of a Sasaki structure on an odd-dimensional Lie group G] Математическая модель [Mathematical model]: G - контактная группа Ли произвольной нечетной размерности n с контактной формой η [G is a Lie contact group of arbitrary odd dimension n with contact form η]; J - ассоциированная почти комплексная структура на симплектической алгебре Ли L(G) × R [J is the associated almost complex structure on the symplectic Lie algebra Ли L(G) × R]; φ = JG, φ - ассоциированный аффинор на группе Ли G [φ = JG, φ is the associated affinor on the Lie group G]; Cijk - структурные константы алгебры Ли L(G), i, j, k = 1, … , n [Cijk are the structure constants of the Lie algebra L(G), i, j, k = 1, … , n]. Требование условия Сасаки: обращение в нуль всех компонентов тензора Нейенхейса, NkJij = 0, i, j, k = 1, … , n [Requirement of the Sasaki condition: vanishing of all components of the Nijenhuis tensor, NkJij = 0, i, j, k = 1, … , n]. Применение систем аналитических вычислений [Application of systems of analytical calculations]: 1. Загрузить массивы: структурных констант Cijk, начальной естественной почти комплексной структуры J0, многопараметрического семейства ассоциированных почти комплексных структур Jb общего вида [Load arrays: structural constants Cijk, initial natural almost complex structure J0, multiparameter family of associated almost complex Jb general structures]. 2. Определить параметры bij из условия ассоциированности [Determine the parameters bij from the association condition]: dηJij = Jikdηkj + dηisJjs = 0, i, j, k, s = 1, … , n. 3. Определить параметры bij из условий интегрируемости и почти комплексности [Determine the parameters bij from the conditions of integrability and almost complexity]: Nijk = JilJjmCklm - JjmClimJlk - JilCljmJmk - Cijk = 0, i, j, k, l, m = 1, … , n. J2 = -I: bipbsi = -δsp, p, s = 1, … , n - 1, i = 1, … , n. 4. Вывести матрицу J, в случае ее существования существует структура Сасаки [Output the matrix J, if it exists, there is a Sasaki structure]. Рис. 1. Схема исследования группы Ли G2n + 1 Fig. 1. Scheme of studying the Lie group G2n + 1 Задача [A task]: Определить геометрические характеристики (η, ξ, φ, g)-структуры Сасаки [Determine the geometric characteristics of the Sasaki (η, ξ, φ, g)-structure] Математическая модель [Mathematical model]: (G, η) - n-мерная контактная группа Ли с наделенной (η, ξ, φP, gP)-структурой Сасаки, где η - контактная форма, ξ - поле Риба, φP, gP - ассоциированные аффинор и метрика [(G, η) is an n-dimensional Lie contact group with a Sasaki (η, ξ, φP, gP)-structure, where η is the contact form, ξ is the Reeb field, φP, gP are the associated affinor and metric]. Применение систем аналитических вычислений [Application of systems of analytical calculations]: 1. Загрузить массив ассоциированного аффинора φP [Load the associated affinor array φP]. 2. Загрузить массив структурных констант Cijk, i, j, k = 1, … , n [Load the array of structural constants Cijk, i, j, k = 1, … , n]. 3. Вычислить дифференциал контактной формы dη [Calculate the contact form differential dη]: Применение систем аналитических вычислений: Application of systems of analytical calculations: 4. Вычислить ассоциированную метрику gP [Calculate the associated metric gP]: gij = dηikφjk + ηiηj, i, j, k = 1, … , n. 5. Вычислить компоненты связности Γpij [Calculate the connectivity components Γpij]: Γpij = 1/2(Cijk + glpgikClik + glpgjkClik), i, j, k, l, p = 1, … , n. 6. Вычислить компоненты тензора кривизны Rsijk [Calculate the connectivity components Rsijk]: Rsijk = ΓsipΓpjk - ΓsjpΓpik - CpipΓspk, i, j, k, p, s = 1, … , n. 7. Вычислить квадрат нормы тензора кривизны ||R||2 [Calculate the squared norm of the curvature tensor ||R||2]: ||R||2 = gipgjrgksgitRlijkRtprs, i, j, k, l, p, r, s, t = 1, … , n. 8. Вычислить компоненты секционной кривизны Kij [Calculate the components of the sectional curvature Kij]: Применение систем аналитических вычислений [Application of systems of analytical calculations]: 9. Вычислить тензор Риччи Ric и его матрицу [Calculate the Ricci tensor Ric and its matrix]: Ricqm = Riiqm, i, q, m = 1, … , n. 10. Вычислить оператор Риччи RIC [Calculate the Ricci operator RIC]: RICqm = Riсqigim, i, q, m = 1, … , n. 11. Вычислить главные кривизны Риччи KRic [Calculate the principal Ricci curvatures KRic]: KRici = Ricii/gii; KRici = λi: |RIC - λE| = 0, i = 1, … , n. 12. Вычислить квадрат нормы тензора Риччи [Calculate the squared norm of the Ricci tensor]: ||Ric||2 = gikgjlRicijRickl, i, j, k, l = 1, … , n. 13. Вычислить скалярную кривизну S ассоциированной метрики gp [Calculate the scalar curvature S of the associated metric gp]: S = gqmRiciqm, i, q, m = 1, … , n. Рис. 2. Схема исследования (η, ξ, φ, g)-структуры Сасаки Fig. 2. Scheme of the study of the Sasaki (η, ξ, φ, g)-structure В результате применения схемы (см. рис. 1), реализующей выполнение всех условий (ассоциированности, почти комплексности, интегрируемости) получена матрица JG: Из существования матрицы (2) следует существование структуры Сасаки. По результатам применения схемы, показанной на рис. 2, приведены основные геометрические характеристики (η, ξ, φ, g)-структуры Сасаки на группе, соответствующей алгебре Ли L(D4,1) × R. 1. Выражения многопараметрических семейств ассоциированного аффинора и метрики: где b23 ≠ 0, b11 ≠ 0; 2. Выражения матрицы оператора Риччи, скалярной и секционных кривизн, квадратов норм тензоров Римана и Риччи: На основе полученных выражений видим, что исследуемая (η, ξ, φ, g)-структура Сасаки ни при каких значениях параметров bij не относится к классам эйнштейновых, η-эйнштейновых и K-контактных структур. Результат 2. В качестве объекта исследования рассмотрим другую контактную алгебру Ли L(G) = τ2τ2 × R [Diatta, 2008] с контактной формой в адаптированном базисе {Ei} (i = 1, … , 5): η = E5. Ненулевые структурные константы алгебры в базисе {Ei}: C212 = 1, C512 = -1, C434 = 1, C534 = -1. В результате применения схем, представленных на рис. 1 и 2, получили следующий результат. Теорема 1. Левоинвариантная контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) на алгебре Ли L(G) = τ2τ2 × R является структурой Сасаки при аффиноре вида: Выражение многопараметрического семейства ассоциированной метрики: Построенная (η, ξ, φ, g)-структура Сасаки при всех значениях параметров относится к классам эйнштейновых и K-контактных структур. Результат 3. Рассмотрим контактную алгебру Ли L(G) = τ2τ3, -1 × R [Diatta, 2008]. В результате применения схем, представленных на рисунках 1 и 2, получили следующий результат: Теорема 2. Левоинвариантная контактная метрическая структура (η, ξ, φ, g) на алгебре Ли L(G) = ττ3, -1 × R не является структурой Сасаки ни при каких значениях параметров. Таким образом, приведены результаты нескольких вычислительных экспериментов. Каждый эксперимент проводится на конкретной алгебре Ли классификационного списка, приведенного в работе [Diatta, 2008]. Количество проведенных экспериментов соответствует количеству контактных алгебр Ли соответствующей размерности классификационного списка. Проведенные компьютерные исследования позволили получить теоретические результаты в области контактной геометрии. Заключение Разработанные схемы, алгоритмы и комплекс программ в системе компьютерной математики Maxima позволили смоделировать доказательство существования сасакиевых структур и провести их исследование. Данный алгоритм может быть использован для исследования однородных пространств. Предложенные схемы представляет научно-практический интерес для специалистов в области дифференциальной геометрии и методов ее применений, а также для решения задач разработки квантовых вычислительных устройств.

About the authors

Yaroslavna Viktorovna Slavolyubova

T.F. Gorbachev Kuzbass State Technical University

Email: slavolubovayav@kuzstu.ru
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor; associate professor at the Department of Applied Information Technologies Kemerovo, Russian Federation

References

Supplementary files