Calculation method of the radiation efficiency of a flat radiator on the floor plane taking into account the influence of angle coefficients

Full Text

Проектирование системы лучистого теплообмена включает в себя множество факторов, влияющих как на эффективность устанавливаемого теплообменного оборудования, так и на комфорт человека, находящегося в данном помещении [1, 2]. Одним из наиболее важных параметров, определяющих, насколько проектируемая система будет работать эффективно, является угловой коэффициент излучения. В теории теплообмена выделяется несколько разновидностей угловых коэффициентов: элементарный, локальный, средний. Элементарный угловой коэффициент характеризует отношение теплового потока, излученного от одной элементарной площадки тела № 1 на элементарную площадку тела № 2 к тепловому потоку собственного излучения, который распространяется от тела № 1 по всем направлениям в пределах полусферы (180 град). Локальный угловой коэффициент характеризуется отношением теплового потока, излучаемого с одной элементарной площадки тела № 1 на поверхность конечных размеров другого тела к тепловому потоку собственного излучения, который распространяется от тела № 1 по всем направлениям в пределах полусферы (180 град). Средний угловой коэффициент характеризует количество теплоты, излучённое с поверхности № 1 на поверхность № 2 к тепловому потоку собственного излучения, который распространяется от тела № 1 по всем направлениям в пределах полусферы (180 град) [3, 4]. При исследовании радиационного теплообмена важно знать, каким образом происходит процесс излучения между телами. Отметим, что существующие сегодня методы определения угловых коэффициентов сложны для применения в инженерных расчетах. Разрабатываемая методика расчета позволит в значительной степени упростить процесс проектирования систем радиационного теплообмена.

Представим схему теплообмена между излучательной панелью, расположенной на потолке, и поверхностью dx, расположенной на уровне пола помещения.

В связи с тем, что, согласно закону Ламберта, излучение распространяется одинаково во всех направлениях, целесообразно свести решение пространственной задачи к плоскопараллельной [5, 6]. Рассмотрим помещение как плоскость конечных размеров и введем плоскопараллельную систему координат (рис. 1). Здесь ось ординат будет соответствовать уровню потолка помещения, а ось абсцисс – уровню пола помещения.

 

Рис. 1. Схема теплообмена в плоскопараллельной системе координат

 

Опишем представленную схему:

• положение точек на полу – координата «х»;
• положение точки на нагревателе – координата «у»;
• положение поверхности dx – неподвижно;
• расположение dx посередине под излучателем;
• отрезок [0, 2b] – длина излучателя;
• отсчет расстояния «у» будет вестись от левого края излучателя (у = 0), в середине излучателя (y = b), в правом крае излучателя (y = 2b).

Используя свойство взаимности угловых коэффициентов (dF_dx-dy = dF_dy-dx), определим локальный угловой коэффициент с поверхности dx на dy в соответствии с рис. 2 [7]. Положение точек примем за расположение элементарных поверхностей dy (длин) на поверхности излучателя.

 

Рис. 2. Расположение поверхностей на излучателе и их геометрия

 

В полученном прямоугольном треугольнике угол α может принимать любые значения от 0 до π/2.

Рассмотрим левую часть расчетной схемы (0 ≤ у ≤ b). Элементарный угловой коэффициент с площадки dx на dy определяется соотношением [8]:

$d{F}_{dx-dy}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha }{S}dy$ (1)

Используя элементарные преобразования и правила геометрии, имеем следующие зависимости:

$\cos \alpha =\frac{h}{S}$; $d{F}_{dx-dy}=\frac{1}{2}\cdot \frac{h^2}{S^3}dy$ $S^2=h^2+{\left(x-y\right)}^2$; $S=\sqrt{h^2+{\left(x-y\right)}^2}$; $S^3={\sqrt{h^2+{\left(x-y\right)}^2}}^3$.

Подставим найденные зависимости в уравнение (1):

$d{F}_{dx-dy}=\frac{1}{2}\cdot \frac{h^2}{{\left(h^2+{\left(x-y\right)}^2\right)}^{\mathrm{1,5}}}dy$ (2)

Преобразуем знаменатель выражения и возьмем интеграл от (2) по левой части излучателя в пределах [0, b]. Так как значение h = const, то «h» можно внести под знак дифференциала [9]. После математических вычислений полученное выражение будет характеризовать локальный угловой коэффициент с половины излучателя на элементарную поверхность dx, положение точки, как отмечалось выше, фиксированное и имеет значение координаты «х» – (x = const). Используя правила вычисления интегралов и поскольку значение h = const, то «х» можно также вычесть либо прибавить под знаком дифференциала. Отсюда выражение (2) примет вид:

$d{F}_{dx-лев}=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\left(1+{\left(\frac{x-y}{h}\right)}^2\right)}^{\mathrm{1,5}}}d\frac{\left(x-y\right)}{h}$ (2a)

Полученное подынтегральное выражение имеет табличное значение согласно книге: Двайт Г.Б «Таблицы интегралов и другие математические формулы» [10]. Преобразовав полученное выражение после подстановки и интегрирования, получим зависимость, характеризующую локальный угловой коэффициент с левой половины излучателя:

$d{F}_{dx-лев}==\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{x}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{x}{h}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{\frac{x-y}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{x-y}{h}\right)}^2\right)}^{{}^{\frac{1}{2}}}}\right)$ (3)

Чтобы удостовериться в том, что выражения для определения углового коэффициента в левой (0 ≤ у ≤ b) и правой части (b ≤у ≤ 2b) одинаковы, проведем те же математические операции, которые применялись при рассмотрении левой части излучателя. Зависимость dF_dx-лев и cos α остаются без изменений. Значение S, исходя из рис. 2, примет вид:

$S=\sqrt{h^2+{\left(y-x\right)}^2}$; $S^2=h^2+{\left(y-x\right)}^2$; $S^3={\sqrt{h^2+{\left(y-x\right)}^2}}^3$.

Подставляем известные и найденные параметры в уравнение (1), преобразуем и возьмем интеграл по правой части излучателя в диапазоне [b,2b]. Воспользуемся также заложенным ранее условием x = const:

$d{F}_{dx-прав}=-\frac{1}{2}\underset{b}{\overset{2b}{\int }}\frac{1}{{\left(1+{\left(\frac{y-x}{h}\right)}^2\right)}^{\mathrm{1,5}}}d\frac{\left(y-x\right)}{h}$.

Данное подынтегральное выражение имеет то же табличное значение, как и для случая расчета [10] в пределах [b; 2b]. Преобразовав полученное выражение после интегрирования, получим выражение для локального углового коэффициента с правой половины излучателя:

$d{F}_{dx-прав}=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{2b-x}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{2b-x}{h}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{\frac{b-x}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{b-x}{h}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)$ (4)

Выражение dF_dx-dy – одинаковое для «левой» и «правой» части излучателя, поскольку в соотношении, описывающем угловой коэффициент, есть компонент (x² + y²), показатель которого позволяет сделать вывод о том, что совершенно не имеет значение, какой из параметров больше или меньше «х» или «у».

Рассмотрим теперь случай, когда излучатель и элементарный участок находятся на удалении от излучателя на расстояние S (рис. 3).

 

Рис. 3. Излучатель и элементарный участок на расстоянии

 

Используя основное уравнение (2), произведем расчет формулы для определения локального углового коэффициента для данной системы. Найденное после преобразования и интегрирования соотношение характеризует локальный угловой коэффициент для системы, в которой элементарный участок удален от излучателя на расстояние S:

$d{F}_{dx-dy}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{x-y}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{x-y}{h}\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{\frac{x-y}{h}}{{\left(1+{\left(\frac{x-y}{h}\right)}^2\right)}^{{}^{\frac{1}{2}}}}\right)$ (5)

Далее, зная зависимости, описывающие локальный угловой коэффициент с поверхности на левую и правую часть излучателя, а также если поверхности удалены друг от друга, найдем локальный угловой коэффициент с точки пола на весь нагреватель. Схема взаимного расположения представлена на рис. 4.

 

Рис. 4. Расчетная схема

 

Начало оси ординат поместим в начало нагревателя W. Локальный угловой коэффициент с точки поля на весь нагреватель dF_dx-W будет характеризовать выражение (2). Преобразуем и проинтегрируем (2), при этом совершим замену переменной, а именно (h² + (x - y)²)^1/2. После преобразования имеем следующее соотношение:

$d{F}_{dx-W}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{b}{\int }}\frac{d\left(x-y\right)}{R^3}$ (6)

Решение этого интеграла имеет табличное значение согласно [10]. Результатом интегрирования становится выражение для локального углового коэффициента с точки пола на весь нагреватель:

$d{F}_{dx-W}=\frac{1}{2h^2}\left(\frac{x}{{\left(h^2+x^2\right)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{x-b}{{\left(h^2+{\left(x-b\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)$ (7)

Для упрощения расчета по представленным формулам в программном продукте MS Excel была написана программа для определения локального углового коэффициента.

На схеме (рис. 5) отмечены все параметры исходя из архитектурно-строительных характеристик здания, взаимного расположения излучателей на потолке и распространения тепловых потоков. В соответствующие ячейки задаются значения параметров: высота помещения, длина излучателей, расстояние по поверхности пола.

 

Рис. 5. Расчетная схема взаимного расположения поверхностей и параметры, описывающие распределение тепловых потоков

 

Все значения вводятся в соответствующие ячейки (рис. 6), после чего автоматически будет произведено вычисление вспомогательных компонентов.

 

Рис. 6. Исходные и вспомогательные параметры № 1

 

Основная формула для расчета углового коэффициента заложена в программе:

$d{F}_{dx-W}=\frac{1}{2h^2}\left(\frac{x}{{\left(h^2+x^2\right)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{x-b}{{\left(h^2+{\left(x-b\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)$.

По итогам расчета формируется табл. 1 со значениями локальных угловых коэффициентов от каждого излучателя и суммы этих коэффициентов (рис. 7).

 

Таблица 1. Значения угловых коэффициентов от каждого излучателя и их сумма

x,м	0	0,25	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	6,75	7
dFправ	0,0157	0,0159	0,0157	0,0114	0,0066	0,0036	0,0021	0,0013	0,0008	0,0007	0,0007
dFлев	0,0007	0,0007	0,0008	0,0013	0,0021	0,0036	0,0066	0,0114	0,0157	0,0159	0,0157
dFдва	0,016	0,017	0,017	0,013	0,009	0,007	0,009	0,013	0,017	0,017	0,016

 

Рис. 7. Влияние расстояния между нагревателями на тепловой поток от излучателей

 

Известно, что угловые коэффициенты показывают долю теплоты, падающую на поверхность от излучателя [11]. Исходя из графика можно сделать вывод о том, что из всего количества теплоты, излученного нагревательной панелью в центр помещения, придет 0,007 доли от общей мощности излучателя. Максимальное значение доли теплового потока составляет 0,0159 доли от мощности излучателя.

Изменим параметр расстояния между нагревателями (S) и длину нагревателя (b): b = 1,5 м, S = 4 м.

По итогам расчета формируется табл. 2 со значениями угловых коэффициентов от каждого излучателя и суммы этих коэффициентов для новых исходных данных (рис. 8).

 

Таблица 2. Значения угловых коэффициентов от каждого излучателя и их сумма

x,м	0	0,75	1,5	2,17	2,83	3,50	4,17	4,83	5,5	6,25	7
dFправ	0,0412	0,0460	0,0412	0,0318	0,0223	0,0151	0,0102	0,0071	0,0050	0,0035	0,0025
dFлев	0,0025	0,0035	0,0050	0,0071	0,0102	0,0151	0,0223	0,0318	0,0412	0,0460	0,0412
dFдва	0,044	0,049	0,046	0,039	0,033	0,030	0,033	0,039	0,046	0,049	0,044

 

Рис. 8. Влияние расстояния между нагревателями на тепловой поток от излучателей при исходных данных № 2

 

Исходя из графика (рис. 8) можно сделать вывод о том, что, уменьшив расстояние между излучателями до 4 м и увеличив длину потолочной радиационной панели до 1,5 м, из всего количества теплоты, излученного нагревателем в центр помещения, придет 0,03 доли от общей мощности излучателя (увеличение теплового потока в 4,28 раза в сравнении с табл. 1). Максимальное значение доли теплового потока составляет 0,05 доли от мощности излучателя (увеличение теплового потока в 3,14 раза в сравнении с табл. 1). Характер кривой графика при новых взятых размерах показывает, что на точку пола между нагревателями теперь падает большее количество теплоты, чем при прежних размерах.

Заключение. Угловые коэффициенты излучения – это параметры, которые характеризуют направленность излучения электромагнитных волн. Их значимость заключается в том, что они позволяют определить, в каком направлении наиболее эффективно излучается тепловая энергия (определить долю тепла, падающего на поверхность от излучателя), что очень важно для создания комфортного микроклимата в помещении [12]. Предложенный в данной методике расчёта подход к определению угловых коэффициентов позволит определить точное направление, в котором излучатель будет распределять энергию, что позволяет более качественно спроектировать систему инфракрасного отопления помещения и рассчитать необходимое количество излучателей для обогрева объекта.

Кроме того, угловые коэффициенты излучения могут быть использованы для управления тепловым потоком и минимизации потерь теплоты. Например, если угол излучения слишком широкий, то тепло может распространяться в нежелательном направлении, что неэффективно. Если же угол излучения слишком узкий, то тепло будет очень сконцентрировано, что может привести к перегреву объекта.

Таким образом, угловые коэффициенты излучения играют важную роль в эффективном и управляемом обогреве объектов с использованием инфракрасных излучателей.

About the authors

Vladislav M. Shein

ITMO University

Email: shein512.54@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0777-651X

Postgraduate student of the Education Center for Energy Efficient Engineering Systems

Russian Federation, 197101, St. Petersburg, Kronverksky pr., 49, lit. A

Vladimir E. Krivosheev

Samara State Technical University

Email: krvdm@yandex.com
ORCID iD: 0000-0003-2365-1861

PhD in of Engineering Sciences, Associate Professor of Industrial Heat and Power Engineering Chair

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya str., 244

Andrey A. Nikitin

ITMO University

Author for correspondence.
Email: andyquest@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0084-7282

PhD in of Engineering Sciences, Associate Professor of the Energy Efficient Engineering Systems

Russian Federation, 197101, St. Petersburg, Kronverksky pr., 49, lit. A

References

Supplementary files