PREDICTING INFILTRATION FEATURES ON THE TERRITORIESSUBMERGED AS A RESULT OF EXTREME SITUATION

Abstract

The article discusses the process of liquid penetration of the surface of the earth into soil at a constant pressure. The ideal soil model is adopted in the study. The penetration of liquid is considered as a movement of a drop with variable mass. The initial moment of fluid motion was studied in detail.

Full Text

Рассмотрим динамику проникновения жидкости в грунт при наличии постоянного слоя её на поверхности грунта. В качестве модели грунта обычно используются следующие модели: модель сплошной среды, введенная Н.Е. Жуковским и Н.Н. Павловским; модель фиктивного грунта, состоящего из шаБудем считать, что часть жидкости над порой движется вместе с жидкостью в поре. Они образуют жидкий цилиндр высотой Δ+ y и диаметром d. По мере проникновения в пору масса цилиндра возрастает за счет присоединения частиц с поверхности. Присоединяющиеся частицы движутся нормально к оси y. На жидкий цилиндр, движущийся в поре, дейров равного диаметра, предложенная Ч. Слихтером; модель идеального грунта, состоящего из циствуют силы: сила тяжести Fg  g d 2 4 (  y) ; линдрических трубок с параллельными осями, которую использовал Л.С. Лейбензон для исследования зависимости скорости фильтрации от свойств жидкости и грунта. силы вязкого трения, которые в общем случае можно представить в виде суммы двух составляющих, одна из которых T1пропорциональна перСамо наличие нескольких моделей свидетельвой степени скорости, а вторая – T 2 пропорциоствует как о сложности процесса фильтрации, так и о том, что с помощью частной модели могут решаться те задачи, для которых она создана. Все эти модели используют уравнение неразрывности потока. Однако в природе существуют и такие процессы, в которых участвуют конечные массы жидкости. К нальна квадрату скорости [1]. Они также пропорциональны площади контакта жидкого цилиндра со стенками поры. 1πdy dy dt T1  R πdy  dy , dt dy 2 T  R πdy  dy  ним можно отнести и процесс инфильтрации жидкости с поверхности в глубь грунтового массива. Пусть на поверхности грунта находится вода πdy dt   . 2 2 dt  (жидкость) слоем толщиной Δ, которая инфильКоэффициенты R1 и R2 учитывают как свойтрует вглубь под действием силы тяжести. Толщина слоя жидкости на поверхности остается постоянной. Эти условия примерно соответствуют полевым определениям коэффициента фильтрации по способу Г.Н. Каменского или Н.С. Нестерова. В качестве модели грунта возьмем модель идеального грунта с вертикальными цилиндрическими круговыми порами диаметром d. Будем исследовать процесс проникновения жидкости в пору. Ось y направим вниз, а началом отсчета будем ства жидкости, так и свойства грунта. На жидкий цилиндр, поскольку движение его не стационарно, действуют и силы инерции. Поскольку масса цилиндра изменяется по мере проникновения жидкости в пору, будем рассматривать её (массу цилиндра) как материальную точку переменной массы. Для определения силы инерции используем второй закон Ньютона в такой формулировке: dy Fi  d  m dy  считать поверхность грунта. dt dt   dt  dt  . В.А. Шабанов 2 v  kI . Здесь I  1, градиент, k  коэффициент Масса m   d 4 (  y) , фильтрации. То есть скорость течения в поре будет k d  d 2 dy dy  равняться истинной скорости течения, m  пористость. p  , где m dt Fi  dt    dt 4 (  y) dt  .  Дифференцируя по времени, получим: Для рассматриваемого случая уравнение инфильтрации запишется так: d 2 d 2 y dy d 2  dy 2 4R1 k mg 4R1 mg Fi   (  y)     .   g; откуда  . dt dt 4 dt 2 4  dt  d m d k Составим уравнение движения жидкого цилиндра переменной массы: Если же имеет место квадратичная инфильтрация, то скорость инфильтрации определяется закоFi  T1  T 2  Fg . (1) ном Краснопольского v  k I . 2 p   k  . Подставив выражения для действующих сил в (1), получим: Или v 2  k 2 I , 2    m   d (  y) d y   d dy dy    R1dy  dy d  R2dy     g (  y) .(2) Из уравнения 4R2  p 2  g найдем 2 2 4 dt 2 2  2 4  dt  dt 2 2    dt  4 d Разделив правую и левую части уравнения (2) на массу, что можно сделать, поскольку она всегда отлична от нуля, получим:  g m 2 4R2   .   d k d 2 y dy dy 1 dt   dy 4R1 dy y dy 2   4R2 dy y dt     dt dt 2   dt 2       y d dt dt     y  d   dt    y g . (3) Подставим найденные значения сил сопротивления в уравнение движения (4): Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициенdp mg dp 2 gm 2   . (5) тами. В нем явно не присутствует переменная t , и, dy p dy p    y  r1 k  p  y   y  r2   m   g  p2   k  y  g   y следовательно , оно допускает понижение порядка. dy dy Теперь исследуем уравнение движения при малых значениях y . Введем новую переменную dt p( y)  dt . Предположим, что y <  и имеет место кваdy 2  dy  dy dp dp dp pd pd dy pd дратичная инфильтрация. При этих предположениях уравнение(5) запишется так: d y d Тогда       p . dt dt dt dt dt 2 dt  dt  dt dy dy dt dy dt dy dp dp 2 2   Подставив данное выражение в уравнение (3), получим: dy p dy p   m     k   g  p 2  y  g.  (6) pd 2 4 1 4 2 p  p  R  p  y  R  p 2  y  g . (4) dp В начальный момент влияние присоединенной dy dy   y d   y d   y массы на движение невелико и им можно пренеПолучили уравнение первого порядка, т.н. уравнение Абеля второго порядка класса В. бречь. Тогда уравнение движения будет: dp 2 Исследуем решение на границах интервала. dp p  m    2  y  Пусть y достаточно велико и  < y . Тогда   g p g. dy dy  k   2 (7) r   m  g . силами инерции можно пренебречь и y  1. Обозначим    Уравнение (4) запишется так: 4R1  p  4R2  p 2  g .   y dp dp И тогда  k   p  r  p2  y  g. (8) d d dy dy  Получено общее уравнение инфильтрации под действием гравитационных сил. При начальной скорости v(0)  v0 ,или Предположим, что имеет место линейная фильтрация – закон Дарси, который записывается как p(0)  v0 уравнение (8) имеет решение вида: g p2   * erf ( r r  y  v02 . (9) БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод [Текст] / П.Я. Полубаринова-Кочина. –М.:Государственное издательство техникоry exp(ry 2 ) Численный эксперимент показал, что скорости инфильтрации и ускорения быстро меняются. Эпюры скоростей и ускорения представлены на рис. 1. Рис. 1 Из рисунка видно, что при глубине проникновения свыше 1 мм влияние ускорения становится малым и им можно пренебречь, а для расчета скоростей будем использовать упрощенное уравнение движения (5) в общем виде: теоретической литературы, 1952.678 с. Пыхачев, Г.Б. Подземная гидравлика [Текст] / Г.Б. Пыхачев. -М.:Гостоптехиздат, 1961. 387с. Шабанов, В.А. Математическая модель распространения загрязняющих веществ в грунте [Текст] / В.А. Шабанов, Ю.М. Галмцкова // Известия научного центра Российской академии наук. Т. 11, № 1(6) / Самарский научный центр Российской академии наук. – Самара, 2009. © Шабанов В.А., 2011 2 p  r1 mg  p  y 2  r2   m   g  p2  y  g . (10) mg     y k   y  k    y А для ламинарного движения mg 2 p  mg  p  y   g . (11)   y k   y Если же в вышерассмотренных уравнениях заmy менить  на   my , то будет иметь место случай впитывания воды в грунт. Именно он был исследован экспериментально [3]. Уравнение (11) является алгебраическим отноdy dt сительно скорости p  dy . dt dy dy mgy  m2 g 2 y2  4g k 2 (  y) dt  . (12) dt 2k Уравнение (12) интегрируется, но результат очень громоздкий и мы его не приводим. Нами получены характеристики инфильтрации при постоянном напоре.