VISCO-ELASTIC BEAM TRANSVERSE VIBRATIONS GENERATED BY ENERATED BY CIRCULAR DISC (SOIL COMPRESSOR) MOTIN

Abstract

A new problem for disk motion along Kelvin rheological beam is solved. Amplitude-phase equations are set up according to the energy type averaging method. Instability of the disc motion along the beam is shown.

Full Text

Задача об устойчивости движения диска на релаксирующем основании тела Кельвина решалась в работах авторов [1, 2], где моделями основания было деформируемое вязкоупругое полупространство, работающее на растяжение – сжатие [1], или балка с распределенной массой, совершающая продольные колебания, вызываемые движением диска [2]. Но деформации вязкоупругого основания носят локальный характер, занимая область в малой окрестности точки касания диска с основанием. Поэтому вязкоупругое полупространство может служить моделью при продольных колебаниях балки. Но при поперечных колебаниях локальные деформации вязкоупругого полупространства выступают всего лишь как перемещения относительные, т.е. неполно описывают влияние деформируемой балки на динамику диска. Поэтому вопрос об устойчивости движения диска при изгибных колебаниях реологической балки, по-видимому, остается открытым. Для построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения для нестационарного процесса – поперечных колебаний балки, вызванных медленным движением диска и неконсервативной реологической силой реакции стержня, применим энергетический метод, который хорошо известен в уравнениях математической физики. Пусть механическая система «диск – реологическая балка» имеет следующие параметры: А – площадь поперечного сечения балки, удовлетворяющая определению длинного стержня; R – радиус круглого диска; Iz – момент инерции диска; , E – плотность и модуль Юнга материала балки; J – момент инерции поперечного сечения балки относительно оси z (рис. 1); L – длина балки. Рис. 1 Предположим, что масса диска M по сравEJ L  2u(x, t) t  2u(x, t) 2 2 . нению с массой балки Μ мала. П  2 [( x 2 )    R(t  )( x 2 ) d ]dx Влияние внешней нагрузки на стержень будем моделировать малой вертикальной периодической по  силой F ( )  F0 sin , приложенной в точке 0 0 При данных допущениях выражения для кинетической и полной потенциальной энергии запишем в виде касания диска с балкой и обусловленной статичеA L ( u(x,t) )2  ( u )2   ской неуравновешенностью диска. Полагаем, что на 2 0 T   t dx  M x t  T0  T1, некотором отрезке времени выполняется равенство, TJ L 2u(x, t) d  ( ) 1 dt т.е. наблюдается главный резонанс. x2  П  ( )2 dx  [Mgu(x, t)  2 0 Предварительно изложим методику нахождеEJ L t 2   [( 2u(x,t) x R(t  ))( )2 d )dx  F sinu(x,t)  ния потенциальной энергии стандартного наследст  2 0 0 0 венного материала балки. Напряженно-деформированное состояние балки определим выражением в интегральной релаксационной форме [3]: 2u(x, t) M t 2 u(x, t)] x  П0   П1 . t При нахождении «возмущающей» кинетиче x (x, y, t)  E[ x (x, y, t)    R(t  ) x (x, y, )dx] , (1) 0 ской энергии диска 1 T энергией вращения диска где  x (x, y, t) нормальное напряжение в поперечном сечении балки на удалении x от левого края балки в точке на расстоянии y от нейтральной оси: ~ как величиной второго порядка малости пренебрегаем, поэтому вопрос об ограничениях, наложенных на скорость точки касания, здесь не рассматривается. Уравнение невозмущенного движения, описыR(t  )  E  E nE (t  ) e n ядро релаксации станвающее собственные колебания балки, как известно, имеет вид 4 2 дартного наследственного материала.  u( x, t )  A  u( x, t )  0 . (3) E Здесь E, ~ соответственно мгновенный и длительx 4 EJ t 2 ный модули упругости балки при растяжении; n – время релаксации;  малый положительный паРешение этого уравнения с граничными условиями, когда концы балки шарнирно закреплены, следующее: раметр. Используя гипотезу плоских сечений, можно 2 u(x,t) x0 2u(x,t)  x2 x0  u(x,t) xL 2u(x,t)  x2 xL  0. принять  (x, y,t)   u y . x x 2 (4) Разыскивая решение дифференциального Тогда изгибающий момент в произвольном сечении балки определим по формуле уравнения (3) по методу Фурье, запишем уравнение, определяющее собственные функции: M    x (x, y, t) y  EJ[ 2u(x, t) x2 t    R(t, ) 2u(x, t) x2 d ],  4 x 4  k 4 x  0,  2 A где k 4  . (5) ( A) 0 x EJ где (2) J   y2 dA , а работа, производимая изгибаю( A) Здесь  – частота главного колебания. Решение дифференциального уравнения (5) ищем в форме X  Cet , что приводит к характерищим моментом, будет равна потенциальной энерстическому уравнению 4  k 4  0 (6), корни которогии 0 2u(x.t) t 2u(x, t) 1, 2 го  3, 4  k ,   ik . Общее решение уравнения П  ЕJ x [ 2     0 R(t  ) x2 d d(x, t). (5) представим формулой X (x)  C1 sin kx  C2 cos kx  C3 Shkx  C4Chkx. Принимая во внимание, что тангенс угла наклона касательной к нейтральной оси равен Постоянные интегрирования определим из граничных условий  2 ( , ) 2 2 tg(x,t)  (x,t)  u(x,t) , a d(x,t)  u x t dx , и, X   X  X   X x x2 x0 x2 x0 xL x2 xL  0. интегрируя по длине балки, запишем предыдущее равенство в виде: В результате получаем частотное уравнение sin kL  0 , корни которого имеют вид k  n , n L ( n  1,  ). Тогда формы нормальных колебаний не 2 a2  t 4  П(1)  П(1)d( )  0,5[ (1e n )(E  E)J a  возмущенного движения представим равенством 0 1 2  1 2 L3 X (x)   (x)  sin( nx ) ( n  1,  ), а их собстF sin  x (a cos asin)  M2 sin2  x aa] . n n L 0 L 2 2 1 L x венных частоты   n  EJ , n  1,  . Найдем «частные производные» (1) n  2  A П1 0  0,5aF cos sin , В соответствии с методом асимптотических  (1) L t 4 разложений [4] , первое приближение в режиме 3 П1  [a2(1e n )(EE ) J 1 0 0,5aM2 sin2  0,5F sin sin]. одночастотных колебаний, близком к первому нормальному колебанию, в случае главного резонанса ( 1  ( ) ) запишем в виде a ния 4L L L Теперь запишем амплитудно-фазовые уравнеu(1)  a sin(x ) cos(  ) . (7) L Найдем выражения для «возмущающей» поda   dt 2 m11 F0 cos sin t  , L du d 2u 2  n 4 тенциальной энергии П ( , , , ) d   2 [ a (1  e )( E  E ) J  1 dt dt 2  1   dt m11a  4L3 в режиме синусоидальных колебаний: u(1) (t, x)  a (1) (x) cos(  ) , 2 2   2u(1)  a 2 (1) (x) cos(  ) ,  0, 5aM 1 sin L 0, 5F0 sin sin ] , L L t 2 1 где m1  A sin 2 x dx  AL . (9) где  (1) (x)  sin x . 0 L 2 L В результате для модели стандартного наследственного тела Кельвина получим: Замечаем, что реологические свойства стержня влияют только на изменение фазы колебаний. Уравнения (9) были проинтегрированы при слеt n t µП(1) = µa cos(9 +�)[(1e n )(E E )J • 1 L 2 (1) •a cos(9 + ) (8 � ( )x x + (0,5F sin9 + M(L -co2 ))<p(1) (x)]. f 8x2 )d 0 1 0 (8) дующих числовых параметрах: 3 F0  1H ,  t см, П1  a cos( �)[(1 e )(E  E )J a cos(  ) L  100 см, J  bh  50 см4 , E  1 H , L 2�(1) (x) 2 (1) 12 м2 0 ( x2 )dx  (0,5F0 sin  M(L 1 )) (x)]. (8) E ~  0.7E H ,   0.05 кг , n  50 с, Варьируя выражения возмущающей потенциальной энергии (8) по амплитуде и фазе первого м2  14  0.01t , 1   2 2 м3 EJ  13, 2 рад , A  0,1 м2 , нормального колебания и затем, усредняя по полной фазе за цикл колебания, получим M  80 кг .   A с Рис. 2. Зависимость амплитуды основного тона колебаний от времени На рис. 2 показано, что движение диска по вязкоупругой балке в режиме нестационарных колебаний носит явно резонансный характер и движение диска неустойчиво. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Специфика движения диска на реологическом основании [Текст] / Г.В. Павлов, М.А. Кальмова // Вестник Томского госуниверситета. Математика и Механика.2012. №3 (19). – С.68-78. Моделирование силового взаимодействия движущегося диска грунтоуплотнителя по реологической балке с распределенной массой [Текст] / Г.В. Павлов, М.А. Кальмова // Вестник Московского государственного строительного университета. – 2012. – №7. С.60-65. Аналитичка динамика (механика) дискретных наследних систем [Текст] / О.А. Горошко, К. Хедрих // На сербск. Издавачка Университета у Нишу. – 2000. – 429 с. Асимпототические решения уравнений в частных проиводных [Текст] / Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеенков. – Киев: Вища школа, 1976. – 589 с. © Павлов Г.В., Кальмова М.А., 2012