Study of dynamic characteristics of flow in plane-parallel and taper clearances of drives of electric power systems

Full Text

Для определения закономерности изменения скорости потока в зазорах бесконтактных уплотнений необходимо в уравнение (4), полученное в [1]:

${\vartheta }_x(x,y)=\frac{1}{2vp}(y^2-hy)\frac{dp}{dx}\pm \frac{U}{h}(h-y),$

Для детального изучения закономерностей изменения скорости потока рабочей жидкости в зазорах бесконтактных уплотнений рассмотрим результаты решений для различных случаев течения.подставить значение dp / dx.

Случай 1 – это фрикционное течение рабочей среды в щели с параллельными стенками (∆p = 0, ϑ_ст ≠ 0, k = 0). Здесь давление в щели не изменяется, т. е. dp / dx = 0. Поэтому закон распределения скорости потока в щелевом зазоре будет иметь линейную зависимость (риc. 1) в виде функции

${\vartheta }_x=\pm \frac{{\vartheta }_{ст}}{h}(h-y).$ (1)

 

Риc. 1. Распределение скорости в плоской щели h = const при движении потока под действием перепада давления и сил трения подвижной стенки: а – стенка движется вправо; б – стенка движется влево (1 – эпюра фрикционного течения; 2 – эпюра напорного течения; 3 – суммарная эпюра)

 

Случай 2 – это напорное течение в щелевом зазоре с параллельными и неподвижными стенками (∆p ≠ 0, ϑ_ст = 0, k = 0). Тогда значение производной $\frac{dp}{dx}=-\frac{∆p}{l}$, а выражение для определения скорости потока рабочей жидкости принимает вид:

${\vartheta }_x=-\frac{∆p}{2vpl}(y^2-hy).$ (2)

Полученная формула соответствует параболическому закону распределения скорости по высоте зазора и имеет максимум в центре сечения при y = h / 2:

${\vartheta }_{max}=\frac{h^2∆p}{8vpl}.$

Случай 3 – это напорное течение в щели с параллельными стенками h = const, причем одна стенка совершает перемещение в своей плоскости (∆p ≠ 0, ϑ_ст ≠ 0, k = 0):

$\frac{dp}{dx}=-\frac{∆p}{l}; {\vartheta }_x=-\frac{∆p}{2vpl}(y^2-hy)\pm \frac{{\vartheta }_{ст}}{h}(h-y).$ (3)

Когда направление движения стенки совпадает с направлением течения жидкости, то скорости складываются. Если же движение стенки происходит навстречу потоку жидкости, то скорости вычитаются. Поэтому поток всегда будет иметь два направления течения. Возле подвижной стенки частицы жидкости, увлекаемые силами трения, будут двигаться в направлении движения стенки, а в остальной части щелевого зазора – в обратном направлении [2].

Необходимо определить границы изменения направления потоков. Для этого в уравнении (3) приравниваем ϑ_x = 0:

$y_1=-\frac{2vpl{\vartheta }_{ст}}{∆ph},$ (4)

таким образом, координата границы раздела потоков будет зависеть как от скорости движения стенки ϑ_ст и величины перепада давления ∆p, так и от высоты зазора h и вязкости жидкости ν.

Случай 4 – это наличие фрикционного течения в конусной щели при движении стенки с некоторой ненулевой скоростью ±ϑ_ст, ∆p = 0, k ≠ 0. Используя зависимость для определения давления в коническом зазоре [1]:

$p\left(\overline{x}\right)={\overline{p}}_0\pm \frac{6vpl{\vartheta }_{ст}}{h_0^2}\frac{k\overline{x}(\overline{x}-1)}{{(1+\overline{k}\overline{x})}^2(2+k)},$

получим формулу для изменения давления:

$\frac{dp}{dx}=\pm \frac{6vpk{\vartheta }_{ст}}{h_0^2(2+k)}\frac{\overline{x}(2+k)-1}{{(1+k\overline{x})}^3}.$ (5)

Следует отметить, что при фрикционном течении в конусной щели жидкость будет перемещаться в направлении возрастающего давления [4]. В частности, для сужающейся щели это движение происходит до сечения с координатой ${\overline{x}}_1$, где давление будет достигать максимального значения [1]. В случае расширяющегося конического зазора – справа от сечения, в котором наблюдается минимум давления. Таким образом, начиная с некоторого вертикального сечения АБ, определяемого абсциссой x₂ (риc. 2), движение рабочей жидкости вблизи верхней неподвижной наклонной стенки будет происходить в направлении, противоположном движению нижней подвижной стенки. Математически это объясняется тем, что в сечении АБ производная $\frac{d{\vartheta }_x}{dy}$ при y =h меняет свой знак на противоположный. Следовательно, в точке с координатой ${\overline{x}}_2$ будем иметь производную, равную нулю, ${\overline{)\frac{д{\vartheta }_x}{дy}}}_{y=h}=0.$

 

Риc. 2. Схема распределения скорости с конусной щели при движении стенки (безнапорное течение) в направлении уменьшающегося зазора (а) и увеличивающегося зазора (б)

 

Применяя выражение

${\vartheta }_x(x,y)=\frac{1}{2vp}(y^2-hy)\frac{dp}{dx}\pm \frac{U}{h}(h-y),$

определим величину этой производной в виде:

${\overline{)\frac{д{\vartheta }_x}{дy}}}_{y=h}={\left|\frac{1}{2vp}(2y-h)\frac{dp}{dx}\pm \frac{{\vartheta }_{ст}}{h}\right|}_{y=h}=\frac{h}{2vp}\frac{dp}{dx}\pm \frac{{\vartheta }_{ст}}{h}=0.$

Используя выражение (5), найдем абсциссу точки перехода:

${\overline{x}}_2=\frac{1+2k}{k(2+k)}; {\overline{x}}_2=\frac{(1+2k)l}{k(2+k)}.$ (6)

Из выражения (6) следует, что уменьшение конусности щелевого зазора приводит к увеличению значения координаты x₂. Поскольку щель имеет конечные размеры, то значение координаты x₂ может выходить за пределы зазора, т. е. область противотока в щелевом зазоре может и не возникать [3]. Минимальное значение параметра конусности k, когда в щелевом зазоре возникает течение, противоположное направлению подвижной стенки, может быть определено из следующих соотношений: для расширяющихся щелей ${\overline{x}}_2=1=\frac{1+2k}{k(2+k)}$ , откуда коэффициент конусности равен k = 1 для сужающихся щелей, когда ${\overline{x}}_2=0=\frac{1+2k}{k(2+k)},$ получаем k = -0,5.

Таким образом, фрикционное течение в конусных щелевых зазорах, в случае когда жидкость движется только в одном направлении, возможно при значении конусности -0,5 ≤ k ≤ 1. Во всех же остальных случаях в щелевом зазоре поток будет иметь два противоположных направления течения рабочей жидкости [5].

Случай 5 – это наличие напорного течения в конусной щели при неподвижных стенках, т. е. (∆p ≠ 0, ϑ_ст = 0, k ≠ 0). Здесь дифференцирование выражения

$\overline{p}\left(\overline{x}\right)={\overline{p}}_0-\frac{{(1+k)}^2}{2+k}\frac{2\overline{x}+k{\overline{x}}^2}{{(1+k)}^2}+q_{\vartheta }\frac{k\overline{x}(\overline{x}-1)}{{(1+k)}^2(2+k)}$

приводит к следующей зависимости:

${\overline{x}}_p=x_p/l\frac{{\int }_0^1\overline{p}\left(\overline{x}\right)\overline{x}d\overline{x}}{\overline{F}}\frac{dp}{dx}=\frac{{(1+k)}^2}{2+k}\frac{2∆p}{l{(1+\overline{k}x)}^3}.$ (7)

Закономерность изменения скорости потока рабочей жидкости в этом случае определяется уравнением

${\vartheta }_x=\frac{{(1+k)}^2}{2+k}\frac{∆p}{vpl{(1+\overline{k}x)}^3}(y^2-hy).$ (8)

Случай 6 – это совместное воздействие фрикционного и напорного течения в конусном щелевом зазоре. Соответственно более сложной будет и картина изменения скорости потока в конусной щели с подвижной стенкой при наличии еще и напорного течения под действием перепада давления (∆p ≠ 0, ϑ_ст ≠ 0, k ≠ 0).

В этом случае имеем:

$\frac{dp}{dx}=\left\{q_{\vartheta }-\frac{2(1+k)}{(2+k)(1+\overline{k}x)}\left[(1+k)+q_{\vartheta }\right]\frac{∆p}{l{(1+\overline{k}x)}^2}\right\}.$ (9)

Анализ выражения (9) показывает, что когда направление движения подвижной стенки противоположно потоку, вызванному перепадом давления ∆p, то возле подвижной стенки частицы жидкости, увлекаемые силами трения, будут двигаться вместе со стенкой. Наличие двух противоположных потоков внутри щелевого зазора может быть и в том случае, когда направление движения подвижной стенки совпадает с направлением напорного течения [6]. Это обусловлено повышением давления внутри самого зазора. Причем направление потока будет изменяться в том сечении, в котором производная скорости у стенки будет менять свой знак, т. е.

${\overline{)\frac{д{\vartheta }_x}{дy}}}_{y=h}=0.$

Используя уравнение

${\vartheta }_x(x,y)=\frac{1}{2vp}(y^2-hy)\frac{dp}{dx}\pm \frac{U}{h}(h-y),$

найдем значение координаты x₂, при котором происходит изменение направления движения потоков. Для этого подставим в уравнение $\frac{dp}{dx}\pm \frac{2vp{\vartheta }_{ст}}{h_2}=0$ значение $\frac{dp}{dx}$, в результате получим:

${\overline{x}}_2=\frac{1}{k}\left[\frac{3(1+k)}{2+k}\left(\frac{1+k}{q_{\vartheta }}+1\right)-1\right].$ (10)

Увеличение параметра q_ϑ, равно как и увеличение параметра k, приводит соответственно к уменьшению координаты ${\overline{x}}_2$. Изменение направления потока в щелевом зазоре нежелательно, так как при этом создается неустойчивое течение жидкости. Поэтому значение координаты ${\overline{x}}_2$ в расширяющейся щели должно выходить за пределы щели, т. е. должно быть ${\overline{x}}_2>1$. Если в уравнение (10) положить ${\overline{x}}_2=1$, то зависимость между параметрами k и q_ϑ, при которых в расширяющейся щели не возникает изменение направления потока, запишется так:

$q_{\vartheta }\le \frac{3(1+k)}{k-1}.$ (11)

Зависимость (11) позволяет определить границы однонаправленного течения в расширяющихся щелевых зазорах (риc. 3). При уменьшении угла наклона верхней стенки щели значение параметра q_ϑ, при котором происходит изменение направления течения, увеличивается и при k → 1, q_ϑ → ∞. В сужающихся щелях изменение направления потока возможно лишь при значениях параметра k и q_ϑ, при которых в сужающихся щелях не возникает изменение направления движения потока, будет иметь вид:

$q_{\vartheta }=-\frac{3{(1+k)}^2}{1+2k}.$ (12)

Причем при k → |-0,5|, q_ϑ → ∞.

 

Риc. 3. Граница безотрывного течения в конусных щелях при движении стенки в направлении увеличивающегося зазора и напорного течения ∆p ≠ 0, ϑ_ст ≠ 0, k ≠ 0: l – область однонаправленного течения

 

Далее определим силы давления, действующие на стенки щелевых зазоров. Сила давления в зазорах стремится раздвинуть стенки, т. е. раскрыть уплотняющие канал поверхности [7]. Полагая, что угол между стенками, ограничивающими зазор, мал, будем считать косинус его равным единице. Силу давления, действующую на стенки зазора, найдем путем интегрирования значения давления в зазоре:

$F=W{\int }_{\cap }^{1}p\left(x\right)dx,$

где l и W – соответственно длина и ширина щелевого зазора.

Используя зависимости

$\overline{p}\left(\overline{x}\right)=\frac{p\left(\overline{x}\right)}{∆p}; \overline{x}=\frac{x}{l}; d\overline{x}=\frac{dx}{l},$

найдем величину силы давления в виде:

$F=Wl∆p{\int }_0^1\overline{p}\left(\overline{x}\right)d\overline{x}.$

Решение получили в виде:

$\overline{F}=\frac{F}{Wl∆p}\left\{{\overline{p}}_0-\frac{1+k}{2+k}+\frac{q_{\vartheta }}{k}\left[\frac{2}{2+k}-\frac{\ln (1+k)}{k}\right]\right\}.$ (13)

Для удобства анализа и расчетов введем безразмерный параметр, представляющий собой отношение действующей силы F к силе давления ∆p на площадь Wl:

$\overline{F}=\frac{F}{Wl∆p}={\overline{p}}_0-\frac{1+k}{2+k}+\frac{q_{\vartheta }}{k}\left[\frac{2}{2+k}-\frac{\ln (1+k)}{k}\right].$ (14)

С учетом этого обозначения, значение силы давления на стенку составит:

$F=\overline{F}Wl∆p.$ (15)

Найдем абсциссу точки приложения равнодействующей силы давления в щели x_p. Положение абсциссы можно определить из условия равенства момента равнодействующей силы относительно начала координат моменту сил давления, найденному также относительно начала координат:

$F{x}_p=W{\int }_0^{1}p\left(x\right)xdx или \overline{F}{\overline{x}}_p={\int }_0^1\overline{p}\left(\overline{x}\right)\overline{x}d\overline{x},$

откуда:

${\overline{x}}_p=\frac{{\int }_0^1\overline{p}\left(\overline{x}\right)\overline{x}d\overline{x}}{\overline{F}},$ (16)

где ${\overline{x}}_p=x_p/l.$

Используя уравнения (13), (14) и (16), определим значения параметра $\overline{F}$ , силы F, действующей на стенки и координату x_p приложения силы для следующих частных случаев.

1. Щель образована неподвижными параллельными стенками, течение напорное (∆p ≠ 0, ϑ_ст = 0, k = 0).

Безразмерный параметр:

$\overline{F}=\overline{p}-0,5.$ (17)

Сила давления на стенку:

$F=Wl\frac{p_0+p_1}{2}.$ (18)

Абсцисса точки приложения силы F:

${\overline{x}}_p=\frac{3{\overline{p}}_0-2}{3(2{\overline{p}}_0-1)}.$ (19)

В случае, когда

${\overline{p}}_0=\frac{p_0}{∆p}=1,$

а это возможно при p₁ = 0, то точка приложения силы F находится на расстоянии x_p = 1 / 3 от входа в щелевой зазор. При p₁ = 0,5p₀ координата x_p = 4l / 9.

2. В щелевом зазоре с параллельными стенками (∆p = 0, ϑ_ст ≠ 0, k = 0) наблюдается фрикционное течение [8].

В этом случае искомые параметры имеют вид:

$\overline{F}=1; F=Wl{p}_0 и x_p=0,5l.$ (20)

3. Конусная щель с неподвижными стенками, течение напорное (∆p ≠ 0, ϑ_ст = 0, k ≠ 0).

Для этого случая имеем:

$\overline{F}={\overline{p}}_0-\frac{1+k}{2+k};$ (21)

$F=Wl∆p\left({\overline{p}}_0-\frac{1+k}{2+k}\right).$ (22)

На риc. 4 приведен график зависимости

$F=Wl∆p\left\{1+\frac{q_{\vartheta }}{k}\left[\frac{2}{2+k}-\frac{\ln (1+k)}{k}\right]\right\}\overline{F}$

от параметра конусности k и при относительном давлении ${\overline{p}}_0=\frac{p_0}{∆p}=1$. Из этого графика следует, что $\overline{F}$ у сужающихся щелей будет больше, чем у параллельной и расходящейся. Максимальное значение ${\overline{F}}_{max}=1$ будет при k = -1, т. е. когда входной зазор h₁ = 0 и течение жидкости через щель отсутствует [9]. При этом давление по всей длине щели будет постоянным p = p₀, а сила давления на стенки равна ${\overline{F}}_{max}=Wl{p}_0$. Абсцисса приложенной силы F составит:

$x_p=\frac{0,5{\overline{p}}_0-{\displaystyle \frac{{(1+k)}^2}{k^2(2+k)}}\left[{\displaystyle \frac{k}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{1+k}}-{\displaystyle \frac{1}{k}}\ln (1+k)\right]}{{\overline{p}}_0-{\displaystyle \frac{1+k}{2+k}}}.$ (23)

 

Риc. 4. График зависимости   Ḟ= f(k) при напорном течении жидкости через конусную щель с неподвижными стенками

 

Так, например, при ${\overline{p}}_0=1$ и течении жидкости через расширяющуюся щель с величиной конусности k = 1 положение абсциссы равно x_p = 0,294l.

Для безнапорного течения в конусной щели (∆p = 0, ϑ_ст ≠ 0, k ≠ 0) безразмерный параметр составит [10]:

$\overline{F}=1+\frac{q_{{\vartheta }_0}}{k}\left[\frac{2}{2+k}-\frac{\ln (1+k)}{k}\right].$ (24)

Сила давления, действующая на стенку, в этом случае равна:

$F=Wl∆p\left\{1+\frac{q_{{\vartheta }_0}}{k}\left[\frac{2}{2+k}-\frac{\ln (1+k)}{k}\right]\right\}.$ (25)

Зависимость значения безразмерного параметра $\overline{F}$ от конусности щели и q_ϑ0 приведена на риc. 5. При движении стенки в сторону уменьшения зазора $\overline{F}$ по мере увеличения |q_ϑ0| возрастает, при движении стенки в обратном направлении – падает. Причем функция $\overline{F}=f\left(k\right)$ имеет экстремум при k = 1, 2. При этом ${\overline{F}}_{max}=1-0,0267q_{{\vartheta }_0}$.

 

Риc. 5. График зависимости F = f(k, qϑ0) при безнапорном течении жидкости через конусную щель с подвижной стенкой: 1-q_u0=5; 2-q_u0=2; 3-q_u0=1; 4-q_u0=-1; 5-q_u0=-2; 6-q_u0=-5;

 

Точка максимума (минимума) давления находится на расстоянии k = 1, $q_{{\vartheta }_0}$ = 10,  ${\overline{x}}_p=0,52$, x₁ ≈ 0,313l от входа в щелевой зазор.

Абсцисса приложения равнодействующей силы давления в этом случае определяется следующим образом:

${\overline{x}}_p=\frac{k^3(2+k)+q_{{\vartheta }_0}\left[2(3+2k)\ln (1+k)-k(6+k)\right]}{2k\left\{k^2(2+k)+q_{{\vartheta }_0}\left[2k-(2+k)\ln (1+k)\right]\right\}}.$ (26)

Для $k=1, q_{{\vartheta }_0}=1, {\overline{x}}_p=0,51.$ Для k = 1, но $q_{{\vartheta }_0}=10,$ ${\overline{x}}_p=0,52.$

Выводы. 1. Исследованы гидродинамические параметры потока вязкой рабочей жидкости в плоскопараллельных и конических зазорах в приводах электроэнергетических систем.

2. Найдено общее выражение для определения закономерности изменения скорости потока в зазорах бесконтактных уплотнений, а также рассмотрены частные случаи.
3. В случае фрикционного перемещения одной из стенок в зазоре наблюдается течение Куэтта.
4. При напорном воздействии на жидкость в зазоре наблюдается параболическое распределение скорости с максимумом в середине канала.
5. При совместном воздействии фрикционного перемещения стенки и напорного течения в канале наблюдается расслоение движения жидкости в противоположные стороны.
6. В конических зазорах при фрикционном течении жидкость движется в направлении возрастающего давления. В сужающихся зазорах это происходит до сечения, где давление достигает максимального значения. В расширяющихся каналах – от сечения, где наблюдается минимум давления. Вследствие этого, начиная с некоторого сечения, движение жидкости вблизи верхней наклонной стенки будет происходить в направлении, противоположном движению нижней подвижной стенки.
7. Фрикционное течение в конусных щелях, когда жидкость движется только в одном направлении, возможно при значении конусности –0,5…1,0. Во всех остальных случаях поток в щели будет иметь два противоположных направления течения.
8. Когда направление движения подвижной стенки противоположно потоку, вызванному перепадом давления ∆p, то возле подвижной стенки частицы жидкости, увлекаемые силами трения, движутся вместе со стенкой. Наличие двух противоположных потоков внутри щели может быть и для случая, когда направление движения подвижной стенки совпадает с направлением напорного течения. Это вызвано повышением давления внутри зазора.
9. Найдено общее решение для силы давления в зазорах, которая стремится раздвинуть стенки, т. е. раскрыть уплотняющие поверхности. Выполнен анализ силы давления для различных случаев щелевого зазора и при различном воздействии фрикционного течения и напорного давления.

About the authors

Evgeniy A. Krestin

Samara State Technical University; Academy of Architecture and Civil Engineering

Email: krestin@bk.ru

PhD in Engineering Science, Professor of the Heat and Gas Supply and Ventilation Chair

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

Grigoriy V. Serebryakov

Samara State Technical University; Academy of Architecture and Civil Engineering

Author for correspondence.
Email: karately123@mail.ru

Student

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

Supplementary files