On the unloading action of torques in beams reinforced concrete coffered floors

Full Text

Введение. Анализ имеющихся в литературе данных напряженно-деформированного состояния балок железобетонных кессонных перекрытий, полученных известным аналитическим методом и при помощи компьютерных моделей метода конечных элементов в зависимости от геометрии конструкции и типа моделей, показывает их значительные расхождения. Известно, что крутящие моменты в сплошных плитах перекрытий, опертых по контуру, оказывают разгружающее действие на конструкцию в виде уменьшения пролетного момента и прогиба. В часторебристом монолитном железобетонном перекрытии следует ожидать подобного эффекта. Железобетонные кессонные перекрытия являются одними из самых эффективных с конструктивной точки зрения и необычными по архитектуре [1–9]. При их возведении в современном строительстве используются как импортные, так и российского производства опалубочные системы: SKYDOME, HOLEDECK, ПОБЕДА, U-boot beton и др.

При расчете конструкций на ЭВМ МКЭ монолитное балочное железобетонное перекрытие можно смоделировать различными способами [8–17], при этом все они имеют свои достоинства и недостатки.

При проектировании инженер должен быть уверен, что созданная расчетная модель соответствует проектируемой конструкции, удовлетворяет требованиям надежности, экономичности и безопасности. В работе [17] представлены значения изгибающих моментов в балках кессонного перекрытия размером 11,55 х 9,0 м с кессонами 1,65 х 1,5 м, рассчитанные при помощи различных конечно-элементных моделей ВК SCAD. Полученные данные сравниваются с данными аналитического расчета примера 15 [6], при этом различия в изгибающих моментах составляют от -6,3 до +61,9 %. О существенных отклонениях усилий в балках кессонных перекрытий, вычисленных аналитическими и компьютерными методами, говорится в работах [8] (50 %), [9] (453 %).

Крутящие моменты в сплошных плитах перекрытий, опертых по контуру, оказывают значительное разгружающее действие на конструкцию в виде уменьшения пролетного момента и прогиба [3, 4]. Данный эффект был учтен в 1925 г. в Германских технических условиях для железобетонных сооружений при помощи поправочных коэффициентов, предложенных Маркусом: $\nu =1-\frac{5}{6}·\frac{l_x^2·l_y^2}{l_x^4+l_y^4}$, $\nu =1-\frac{5}{18}·\frac{l_x^2·l_y^2}{l_x^4+l_y^4}$ – для свободно опертой и заделанной по контуру плиты соответственно [5]. В часторебристом монолитном железобетонном перекрытии следует ожидать подобного эффекта.

Предмет и методы исследования. С методикой аналитического определения усилий в балках кессонных перекрытий, опертых по контуру, можно ознакомиться в работах [1–10].

Целью данной работы является выявление разгружающего эффекта в балках прямых кессонных перекрытий от действия крутящих моментов. Для решения задачи определяются изгибающие и крутящие моменты в балках при различной их ширине при помощи компьютерного расчета методом конечных элементов, реализованным в вычислительном комплексе SCAD.

Наиболее простой аналитический расчет можно осуществить для кессонной конструкции, квадратной в плане с квадратными кессонами, так как упрощается определение коэффициентов, от которых зависит распределение нагрузки на ортогональные балки. При квадратных размерах конструкции, квадратных кессонах, одинаковой геометрии балок, свойствах материала и условиях опирания нагрузка на балки вдоль осей X и Y распределяется поровну: q_x = q_y = 0,5·q.

Для анализа выбрано шарнирно-опертое по контуру перекрытие, квадратное в плане 8,0 × 8,0 м с квадратными кессонами 1,0 х 1,0 м, работающее на равномерно-распределенную нагрузку 1,0 Т/м² (рис. 1). В методе конечных элементов считается, что при статическом расчете точные решения получаются для стержней постоянной жесткости по их длине и постановка задачи о сходимости МКЭ часто лишена смысла [15]. Поэтому в соответствии с геометрией перекрытия в качестве конечного элемента принят стержень-балка с рекомендуемой высотой $h=\left(\frac{L}{20}÷\frac{L}{25}\right)=350 мм$ и различной шириной ребра от 10 до 1000 мм из бетона класса В25. Расчет выполнялся в упругой постановке задачи, так как одинаковое для всех балок изменение модуля упругости бетона не влияет на их напряженное состояние. Погонная нагрузка прикладывалась непосредственно на балки по закону треугольника [3], собираемая с двух смежных отсеков: $q=2·\mathrm{1,0}·\frac{1.0}{2}=\mathrm{1,0} \raisebox{1ex}{$Т$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$м$}\right.$.

 

Рис. 1. Схема кессонного перекрытия: Б₁, Б₂, Б₃, Б₄ – рассчитываемые балки; [X,Y,Z] – связи, установленные в узлах балки опорного контура

 

Для сравнения данных выполним аналитический расчет. Так как конструкция симметричная в плане с одинаковой ортогональной жесткостью, рассматриваем 4 балки: Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, расположенные вдоль оси X на расстоянии от опорного контура 1,0 м, 2,0 м, 3,0 м, 4,0 м по оси Y.

Расчет начинаем с центральной балки Б4, так как ее усилия являются базовыми для дальнейшего расчета.

Изгибающий момент в середине пролета:

$M_{Б4}^{max}=\mathrm{0,125}·\mathrm{0,5}·q·b·L_x^2=\mathrm{0,125}·\mathrm{0,5}·\mathrm{1,0}·\mathrm{1,0}·8^2=\mathrm{4,} 0 Тм$, (1)

Поперечная сила в приопорной зоне:

$Q_{ Б4}^{max}=\mathrm{0,5}·\mathrm{0,5}·q·b·L_x=\mathrm{0,5} ·\mathrm{0,5} ·\mathrm{1,0} ·\mathrm{1,0} ·8=\mathrm{2,0} Т$. (2)

Балка Б3

Для вычисления изгибающих моментов и поперечных сил в промежуточных балках определяем коэффициенты пропорциональности n_x, зависящие от расположения балок относительно опорного контура вдоль оси Y.

$n_y= \frac{y}{L_y}= \frac{3}{8}= \mathrm{0,375}$, (3)

$n_x= \frac{16}{5} ·\left(n_y- 2·n_y^3 +n_y^4\right)= \frac{16}{5}·\left(\mathrm{0,375}-2·{\mathrm{0,375}}^3+{\mathrm{0,375}}^4\right)=\mathrm{0,926}$, (4)

$M_{Б3}^{max}= n_{х}·M_{Б4}^{max}=\mathrm{0,926}·\mathrm{4,0}=\mathrm{3,7} Тм$, (5)

 $Q_{ Б3}^{max}=n_{х}·Q_{Б4}^{max}=\mathrm{0,926}·\mathrm{2,0}=\mathrm{1,85} Т$, (6)

Балка Б2

$n_y= \frac{2}{8}=\mathrm{0,25}$, (7)

$n_{х}= \frac{16}{5}·\left( \mathrm{0,25}- 2· {\mathrm{0,25}}^3 + {\mathrm{0,25}}^4\right)=\mathrm{0,713}$, (8)

$M_{Б2}^{max}= n_{х}·M_{Б4}^{max}=\mathrm{0,713}·\mathrm{4,0}=\mathrm{2,85} Тм$, (9)

$Q_{ Б2}^{max}=n_{х}·Q_{Б4}^{max}=\mathrm{0,713}·\mathrm{2,0}=\mathrm{1,43} Т$, (10)

Балка Б1

$n_y= \frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$,(11)

$n_{х}= \frac{16}{5}·\left( \mathrm{0,125}- 2· {\mathrm{0,125}}^3 + {\mathrm{0,125}}^4\right)=\mathrm{0,388}$, (12)

$M_{Б1}^{max}= n_{х}·M_{Б4}^{max}=\mathrm{0,388}·\mathrm{4,0}=\mathrm{1,553} Тм$, (13)

$Q_{ Б1}^{max}=n_{х}·Q_{Б4}^{max}=\mathrm{0,388}·\mathrm{2,0}=\mathrm{0,78} Т$. (14)

Полученные данные при расчете конструкций в ВК SCAD представлены на рис. 2–6.

 

Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов Му,Тм в балках модели SCAD при b = 10 мм

 

Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов Му,Тм в балках модели SCAD при b = 1000 мм

 

Рис. 4. Эпюры крутящих моментов Мкр,Тм в балках модели SCAD при b = 10 мм

 

Рис. 5. Эпюры крутящих моментов Мкр,Тм в балках модели SCAD при b = 1000 мм

 

Рис. 6. Графики зависимости максимальных изгибающих моментов My, Тм в центральной балке Б4 кессонного перекрытия в зависимости от ширины балок b

 

Данные аналитического расчета и компьютерных моделей представлены в таблице.

 

Усилия в балках кессонного перекрытия

Методика	Усилие	Боп	Б1	Б2	Б3	Б4
Аналитический расчет	My, Тм		1,55	2,85	3,7	4,0
	Qz, Т		0,78	1,43	1,85	2,0
SCAD b = 10 мм	My, Тм		1,88	3,45	4,5	4,88
	Myоп, Тм		0	0	0	0
	Mкрmax, Тм	0,01	0,01	0	0	0
	Qz, Т		1,25	2,01	2,45	2,59
SCAD b = 100 мм	My, Тм		1,66	3,05	3,99	4,32
	Myоп, Тм		0,08	0,15	0,17	0,18
	Mкрmax, Тм	0,49	0,46	0,33	0,17	0
	Qz, Т		1,26	2,02	2,44	2,58
SCAD b = 200 мм	My, Тм		1,33	2,44	3,19	3,46
	Myоп, Тм		0,17	0,37	0,44	0,45
	Mкрmax, Тм	1,2	1,15	0,82	0,43	0
	Qz, Т		1,23	2,04	2,44	2,57
Методика	Усилие	Боп	Б1	Б2	Б3	Б4
SCAD b = 300 мм	My, Тм		1,11	2,03	2,66	2,88
	Myоп, Тм		0,19	0,51	0,61	0,64
	Mкрmax, Тм	1,63	1,61	1,14	0,6	0
	Qz, Т		1,18	2,07	2,46	2,57
SCAD b = 400 мм	My, Тм		0,98	1,8/1,82	2,35/2,39	2,55/2,59
	Myоп, Тм		0,19	0,59	0,72	0,75
	Mкрmax, Тм	1,87	1,88	1,32	0,69	0
	Qz, Т		1,14	2,09	2,47	2,59
SCAD b = 500 мм	My, Тм		0,9	1,65/1,7	2,16/2,23	2,34/2,41
	Myоп, Тм		0,18	0,64	0,78	0,81
	Mкрmax, Тм	2	2,05	1,42	0,75	0
	Qz, Т		1,11	2,1	2,49	2,59
SCAD b = 600 мм	My, Тм		0,85	1,56/1,62	2,04/2,13	2,22/2,3
	Myоп, Тм		0,18	0,66	0,82	0,85
	Mкрmax, Тм	2,09	2,15	1,49	0,78	0
	Qz, Т		1,09	2,11	2,5	2,6
SCAD b = 700 мм	My, Тм		0,82	1,5/1,57	1,97/2,06	2,13/2,23
	Myоп, Тм		0,17	0,68	0,84	0,88
	Mкрmax, Тм	2,14	2,22	1,53	0,8	0
	Qz, Т		1,07	2,12	2,5	2,61
SCAD b = 800 мм	My, Тм		0,79	1,46/1,53	1,91/2,01	2,07/2,18
	Myоп, Тм		0,17	0,7	0,86	0,9
	Mкрmax, Тм	2,18	2,27	1,56	0,82	0
	Qz, Т		1,06	2,12	2,51	2,61
SCAD b = 900 мм	My, Тм		0,78	1,43/1,5	1,87/1,98	2,03/2,14
	Myоп, Тм		0,17	0,71	0,87	0,91
	Mкрmax, Тм	2,2	2,3	1,58	0,83	0
	Qz, Т		1,05	2,13	2,51	2,61
SCAD b = 1000 мм	My, Тм		0,76	1,4/1,48	1,84/1,95	1,99/2,11
	Myоп, Тм		0,17	0,71	0,88	0,92
	Mкрmax, Тм	2,22	2,33	1,6	0,84	0
	Qz, Т		1,05	2,13	2,52	2,62

Примечание. Для M_y – над чертой представлены значения изгибающего момента в середине пролета балки, под чертой – его максимальное значение по длине балки. Проверим равновесие расчетных схем. Грузовая площадь балок А = 8,0 × 8,0 - (1,0 × 0,5 × 0,5 × 32) = 56 м². Суммарная нагрузка на балки F = q × A = 1,0 × 56 = 56 T. Аналитический расчет: Q = 0,78 × 8 + 1,43 × 8 + 1,85 × 8 + 2,0 × 4 = 40,48 T. Ошибка: 56 - 40,48 = 15,52T (-27,7 %), равновесие не соблюдается. Модель SCAD при b = 200 мм: Q = 1,23 × 8 + 2,04 × 8 + 2,44 × 8 + 2,57 × 4 = 55,96 T. Совпадение 99,9 %, равновесие соблюдается.

 

Выводы. 1. Аналитический метод определения усилий в балках прямых кессонных железобетонных перекрытий является неточным, что необходимо учитывать при верификационных вычислениях. Аналитический метод расчета не учитывает наличие крутящих моментов в балках, жесткость опорного контура, их влияние на изгибающие пролетные моменты и прогибы конструкции. Равновесие аналитической расчетной схемы из условия распределения опорных реакций не соблюдается.

2. При вычислении пролетных изгибающих моментов с шириной балок $b\cong \frac{h}{\mathrm{2,5}}$, квадратных в плане перекрытий с квадратными кессонами, аналитический метод определения усилий дает удовлетворительные результаты.
3. При ширине балок менее $\frac{h}{\mathrm{2,5}}$ изгибающие пролетные моменты, вычисленные на ЭВМ МКЭ, превышают моменты, определенные аналитическим способом.
4. Жесткость шарнирно опертого по контуру кессонного перекрытия можно повысить путем увеличения ширины балки опорного контура. Это приводит к увеличению в опорном контуре разгружающего крутящего момента, возникновению в пролетных балках опорного изгибающего момента и соответственно снижению пролетного момента.
5. Для использования эффекта разгружающего действия крутящих моментов и повышения надежности работы кессонного перекрытия балки должны армироваться пространственными арматурными каркасами с замкнутыми хомутами. В случае армирования балок кессонных перекрытий плоскими каркасами в балках возможно появление косых трещин, обусловленных наличием крутящих моментов.
6. Разгружающее действие крутящего момента и жесткость опорного контура, не учитываемые аналитическим методом расчета при определении усилий в балках кессонных перекрытий стандартной геометрии, не являются основной причиной значительных отклонений при определении усилий «ручным» способом и методом конечных элементов на ЭВМ.

About the authors

Mikhail V. Mozgolov

Moscow Polytechnic University

Email: mvmozgolov@yandex.ru

PhD in Rngineering Science, Associate Professor

Russian Federation, 140402, Moscow Region, Kolomna, October Revolution str., 408

Elizaveta V. Kozlova

Moscow Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: lizakozlova2014@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8874-5477

Student

Russian Federation, 140402, Moscow Region, Kolomna, October Revolution str., 408

References

Supplementary files