Об ошибках примера расчета железобетонной кессонной панели перекрытия в справочнике проектировщика
- Авторы: Мозголов М.В.1
-
Учреждения:
- Московский политехнический университет
- Выпуск: Том 13, № 3 (2023)
- Страницы: 13-22
- Раздел: СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
- URL: https://journals.eco-vector.com/2542-0151/article/view/611018
- DOI: https://doi.org/10.17673/Vestnik.2023.03.02
- ID: 611018
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Строительную отрасль РФ в ближайшее время ожидает полномасштабный переход на технологии информационного моделирования (BIM). Расчет строительных конструкций осуществляется при помощи моделей в программных комплексах, основанных на методе конечных элементов, который является неточным. Для обоснования достоверности полученных данных МКЭ в соответствии с требованиями нормативных документов необходимо проводить верификацию и валидацию расчетных моделей, выполнять инженерную оценку результатов путем сравнения с эталонным значением, полученным экспериментальным или аналитическим способом. Общепризнанные аналитические решения приводятся в справочниках проектировщика. В работе рассматривается пример расчета железобетонного кессонного перекрытия из справочника проектировщика. Уточненным аналитическим способом и компьютерным расчетом доказано, что при определении усилий в балках пример расчета имеет четыре ошибки, одна из которых является принципиальной, заложенной в известном аналитическом методе расчета кессонных конструкций. Заключается она в том, что при определении нагрузок на ортогональные балки не учитывается жесткость конструкции.
Полный текст
Введение. Эффективным с конструктивной точки зрения и красивым по архитектуре является часторебристое перекрытие кессонного типа. В настоящее время как за рубежом, так и в нашей стране при строительстве ребристых перекрытий получают распространение такие опалубочные системы, как: HOLEDECK, SKYDOME, ПОБЕДА и др.
В соответствии с требованиями Градостроительного кодекса РФ от 29.12.2004 № 190-ФЗ, СП 333.1325800.2020 «Информационное моделирование в строительстве. Правила формирования информационной модели объектов на разных стадиях жизненного цикла» в ближайшем будущем прочностной расчет строительных конструкций объектов, проекты которых подлежат экспертизе, без создания цифровой информационной модели здания(BIM) невозможен. Расчет на ЭВМ осуществляется в программных комплексах, реализующих метод конечных элементов, при котором вычисленные в элементах усилия могут оказаться недостоверными, сходимость полученных результатов может быть не обеспечена [1–5]. Для обоснования надежности расчетов созданных моделей МКЭ в ст.6 ГОСТ Р 57700.10-2018 «Численное моделирование физических процессов. Определение напряженно-деформированного состояния. Верификация и валидация численных моделей сложных элементов конструкций в упругой области» перечислены требования к порядку верификации и валидации расчетной модели для численного моделирования в упругой области НДС сложных элементов конструкций. В соответствии с п. 5.6 ГОСТ Р 57700.10-2018одним из этапов численного моделирования, которому должно быть уделено особое внимание, является инженерная оценка, которая включает в себя обсуждение полученных результатов в рамках научно-технических совещаний, сравнение результатов с эталонным решением. Эталонное решение – это общепризнанное решение некоторой задачи, которое может быть как аналитическим, так и представлять собой экспериментальный результат (ГОСТ Р 57188-2016 «Численное моделирование физических процессов. Термины и определения», п. 2.1.20).Кроме нормативно-технической документации, инженеры-конструкторы в своей работе используют справочники проектировщика, в которых приводятся различные справочные материалы и аналитические решения по интересующим расчетчиков вопросам. Для обеспечения надежности проектируемой конструкции достоверность сведений и примеров расчетов, приведенных в них, не должны вызывать сомнений. Анализ имеющихся в литературе данных аналитического и компьютерных расчетов ребристых железобетонных конструкций, в том числе кессонных, показывает, что в зависимости от созданной конечно-элементной модели и геометрии перекрытия усилия в балках могут существенно отличаться[6-11].Максимальные отклонения усилий в балках прямых кессонных перекрытий, полученных методом конечных элементов от известного аналитического расчета, составляют: в работах[6, 7]– 61,9%, в работе [8] –50%, в работе[9]– 40%; в балках косых кессонов– 453%[10].
Следует отметить, что полученные усилия компьютерных расчетов авторы сравнивают с данными аналитического способа, принимаемого за эталон, который имеет существенную ошибку. В соответствии с известной аналитической теорией расчета железобетонных кессонных конструкций, основанной на балочной аналогии, составляющие общей нагрузки на ортогональные балки зависят только от пролетов перекрытия Lx и Ly[12–18].В работе [19] доказано, что данный аналитический метод определения усилий в балках кессонных перекрытий неверен, он не учитывает ортогональную жесткость конструкции. Уточненный метод расчета прямых железобетонных кессонных перекрытий учитывает жесткость конструкции путем введения в формулы определения нагрузок относительной жесткости балок [20]. Ограничением данного подхода является условие одинакового расстояния между параллельными балками. В справочнике проектировщика [18, с.282] рассматривается пример 11.3 расчета шарнирно-опертой по контуру железобетонной кессонной панели перекрытия, балки в которой расположены на разном расстоянии друг от друга (рис. 1), поэтому расчет, предложенный в работе [20], требует корректировки.
Рис. 1. Кессонная панель перекрытия [18, рис. 11.19]: Бд-1, Бд-2, Бк-1, Бк-2, Бк-3 – рассчитываемые балки
Цель работы. Первой целью исследования является разработка аналитического способа расчета прямых шарнирно-опертых по контуру часторебристых железобетонных кессонных перекрытий, состоящих из балок параллельного направления с разным расстоянием между ними. Второй целью является сравнение усилий – изгибающих моментов, представленных в примере расчета кессонного перекрытия справочника проектировщика, с полученными данными предлагаемой аналитической теории и конечно-элементной модели вычислительного комплекса SCAD.
Материалы и методы. Численный эксперимент предусматривает сравнение изгибающих моментов, полученных МКЭ в ВК SCAD и аналитическим методом, учитывающим как пролеты конструкции, так и ее ортогональную жесткость.
Для обоснования выбора конечно-элементной модели обратим внимание на ряд работ, посвященных методу конечных элементов и созданию конечно-элементных моделей [1-5, 21, 22], а также на нормативные документы.
Одним из важнейших этапов применения МКЭ является выбор элементов модели. Конечные элементы могут быть линейными, плоскими и трехмерными. В работе [1, с. 174] отмечается, что для конечных элементов стержневого типа постоянной жесткости по их длине для статической задачи постановка вопроса о сходимости МКЭ лишена смысла. О получении точных решений МКЭ при применении стержней указывается в работах[2, с. 41;3, с. 131].Определение перемещений (деформаций и напряжений) по МКЭ в случае стержневых систем базируется на использовании технической теории растяжения, изгиба и кручения бруса, позволяющей выразить перемещения и напряжения в любом сечении бруса через узловые перемещения. Для двухмерного (пластина) или трехмерного (массив) сплошного тела эта задача может быть решена только приближенно [4,с. 66].О трудностях при создании пространственных моделей из объемных конечных элементов говорится в работах [2, 11, 21]. В соответствии с пп. 5.3.3, 5.3.4 ГОСТ Р 57700.10-2018при проведении численного моделирования нежелательно использовать треугольные конечные элементы, рекомендуется использовать элементы второго порядка с промежуточными узлами.
Таким образом, простой и наиболее точной моделью метода конечных элементов для изучения напряженно-деформированного состояния ребер кессонных конструкций при сравнении с аналитическим методом расчета, основанным на балочной аналогии, будет стержневая конечно-элементная модель. В связи с вышеизложенным можно сказать, что компьютерная модель представляет собой стержневую конструкцию, состоящую из балок таврового поперечного сечения. Высота балок200 мм, ширина ребра 100 мм, ширина полки тавра равна расстоянию между балками в осях, толщина полки 40 мм. Конструкция выполняется из бетона класса В20 в соответствии с примером расчета [18].Для учета ползучести бетона и его трещинообразования в соответствии с требованиями [27] начальный модуль упругости бетона умножался на коэффициент редуцирования 0,2для всех балок, как пролетных изгибаемых, так и опорных, по причине возникновения в них значительных крутящих моментов [23, 24].
Для удобства создания компьютерной модели равномерно-распределенную нагрузку, действующую на перекрытие, прикладываем к балкам через гибкую плиту с условными физическими характеристиками(четырехугольный конечный элемент с промежуточными узлами № 50 КЭ), работающую по биссектрисной схеме излома [25].Шаг разбиения «густой»[4, с.82], вдоль оси X (короткая сторона)– 34 элемента, вдоль оси Y (длинная сторона)– 46 элементов. Подобный подход при моделировании фасадных конструкций со стеклопакетами с приложением нагрузки на пластины без жесткости в САПР APMWinMachineописан в работе [22, с. 166].
Основная часть. Кессонное перекрытие является плитой, опертой по контуру, подкрепленной снизу ребрами жесткости. В работе [26, с. 419] для пластины, усиленной в двух направлениях взаимно перпендикулярными равноотстоящими друг от друга ребрами, установленными с одной стороны, жесткость конструкции предлагается определять как сумму, состоящую из цилиндрической жесткости плиты и относительной жесткости ребер:
, (1)
, (2)
где E, E’, Е” – модули упругости материала плиты и ребер; d – толщина плиты; n– коэффициент Пуассона; I1 и I2 – моменты инерции ребер жесткости, установленных вдоль осей X и Y, относительно линии, проходящей через центр тяжести таврового сечения;d1 и d2 – расстояния между ребрами.
Жесткость ребристых перекрытий по формулам (1) и (2) можно определить при условии расположения ребер параллельного направления на одинаковом расстоянии друг от друга. Рассматриваемый в работе пример расчета из справочника проектировщика имеет в своем составе параллельные ребра с различным расстоянием друг от друга, поэтому формулы определения жесткости конструкции перекрытия требуют корректировки. При определении усилий в круглых пластинах, часто усиленных радиальными ребрами жесткости, в работе [26, с. 260] отмечается: «Приближенный метод расчета основывается на том, что при большом числе ребер можно упругие характеристики ребристой пластины усреднить и рассматривать ее как конструктивно ортотропную пластину». Предположим, что данный подход может быть применен и к прямоугольным часторебристым конструкциям. В соответствии с [17, с. 522] часторебристой кессонированной панелью является конструкция, расстояние между ребрами которой равно или меньше 1м.
Для круглых пластин, усиленных одинаковыми равноотстоящими радиальными ребрами, усредненная жесткость ребер определяется следующим образом[26,с. 261]:
, (3)
, (4)
где b – ширина ребра; k–количество ребер, расположенных по окружности пластины; H–высота ребра;d– толщина пластины.
Заметим, что отношение представляет собой суммарную ширину одинаковых ребер, приходящуюся на длину окружности пластины. Данное отношение можно назвать относительной шириной ребер. В случае прямоугольных пластин, часто укрепленных параллельными ребрами с различным расстоянием между ними, при определении относительной жесткости ребер можно перейти к усредненной относительной жесткости, т.е. суммарной жесткости всех ребер, отнесенной к ширине, на которой они располагаются.
Опишем алгоритм уточненного аналитического расчета. Первым действием определяем жесткость конструкции по ортогональным направлениям X и Y. В нашем случае жесткость перекрытия определяется как сумма цилиндрической жесткости плиты и усредненная жесткость параллельных ребер.
Жесткость перекрытия вдоль оси X:
, (5)
Жесткость перекрытия вдоль оси Y:
, (6)
где Ix, Iy –моменты инерции отдельных ребер жесткости, установленных вдоль осей X и Y, относительно линии, проходящей через центр тяжести таврового сечения; k – количество ребер вдоль осей X и Y соответственно; Lx, Ly – пролеты конструкции. Остальные обозначения аналогичные формулам (1) и (2).
Момент инерции отдельных ребер вдоль осей X и Y относительно центра тяжести тавров:
, (7)
где bb – ширина ребра; hb – высота ребра; a – расстояние от центра тяжести ребра до центра тяжести тавра.
Далее определяем составляющие gx и gy общей равномерно-распределенной нагрузки g, приходящиеся на балки, зависящие от пролетов перекрытияLx, Ly и ортогональных жесткостей конструкции Dx, Dy.
Перепишем формулы известного расчета железобетонных кессонных перекрытий с учетом жесткостей конструкции Dx и Dy:
, (8)
. (9)
На следующем этапе находим максимальные пролетные изгибающие моменты в балках:
, (10)
, (11)
где α1 и α2 – коэффициенты, зависящие от характера распределения нагрузки и вида опорных закреплений. В нашем случае ; a и b – шаг балок; и – коэффициенты пропорциональности, зависящие от геометрии перекрытия.
Выполним расчет примера из справочника проектировщика [18] по уточненной теории, учитывающей пролеты Lx, Ly и жесткость Dx, Dy перекрытия.
Момент инерции отдельных центральных балок вдоль осейX и Y относительно центра тяжести тавров:
, (12)
. (13)
. (14)
Изменение параметра а в ребрах балок с различной шириной полки тавра составляет ±1 мм, поэтому принимаем для всех ребер одинаковое значение а= 71 мм, что не приведет к существенным изменениям в определении жесткостей.
Определяем ортогональную жесткость конструкции с учетом коэффициента редуцирования начального модуля упругости бетона [27].
Жесткость перекрытия вдоль оси X:
. (15)
Жесткость перекрытия вдоль оси Y:
. (16)
Составляющие общей равномерно-распределенной нагрузки, приходящиеся на балки:
, (17)
.(18)
Рассматриваем балки короткого направления, установленные вдоль оси X.
Расчет начинаем с центральной балки Бк-3.
Погонная нагрузка на балку:
, (19)
где – равномерно-распределенная нагрузка, приходящаяся на балку; а – расстояние между балками; q–нагрузка от собственного веса балки.
. (20)
Максимальный пролетный изгибающий момент:
. (21)
Балка Бк-2.
Погонная нагрузка на балку:
. (22)
Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки от опорного контура вдоль оси Y:
, (23)
. (24)
Максимальный пролетный изгибающий момент:
. (25)
Балка Бк-1.
Погонная нагрузка на балку:
. (26)
Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки от опорного контура вдоль оси Y:
. (27)
. (28)
Максимальный пролетный изгибающий момент:
. (29)
Рассматриваем балки длинного направления, установленные вдоль оси Y.
Балка Бд-2.
Погонная нагрузка на балку:
, (13)
где – равномерно-распределенная нагрузка, приходящаяся на балку; а – расстояние между балками; q–нагрузка от собственного веса балки.
. (30)
Максимальный пролетный изгибающий момент:
. (31)
Балка Бд-1.
Погонная нагрузка на балку:
. (32)
Коэффициент пропорциональности, учитывающий расположение балки от опорного контура вдоль оси X:
. (33)
. (34)
Максимальный пролетный изгибающий момент:
. (35)
Результаты
Данные аналитических расчетов и компьютерной модели кессонного перекрытия представлены в таблице.
Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов М, Тм в балках модели ВК SCAD, состоящей из стержневых конечных элементов таврового поперечного сечения с шириной полки, равной расстоянию шага балок. Показана ¼ часть модели
Сравнение значения изгибающих моментов в балках шарнирно опертого по контуру кессонного перекрытия размером в плане по осям(LxxLy)4,18х5,68 м, приведенные в справочнике проектировщика, а также полученные уточненным аналитическим методом расчета и при помощи стержневой конечно-элементной модели вычислительного комплексаSCAD
Расчетная модель | Изгибающий момент в балках М, кНм | ||||
Бд-1 | Бд-2 | Бк-1 | Бк-2 | Бк-3 | |
Балочная модель ВК SCAD Тавровые балки – пространственный стержень тип КЭ 5 |
6,84(7,26)* 100% |
9,38(9,73)* 100% |
8,43 100% |
16,51 100% |
19,36 100% |
Данные из справочника проектировщика[18] | 2,269 33,2% | 9,864 105,2% | 2,434 28,9% | 4,521 27,4% | 17,389 89,8% |
Аналитическая с учетом величин пролетов и жесткости перекрытия |
7,183 105% |
9,417 100,4% |
7,582 90% |
15,431 93,5% |
18,069 93,3% |
*Примечание. В балках длинного направленияLy максимальные значения изгибающих моментов находятся не в середине пролета, эпюра изгибающих моментов отклоняется от параболы. Данный эффект выявлен в работах [19, 20].
Одним из методов проверки правильности полученного решения является проверка равновесия системы, в нашем случае сравнение суммы опорных реакций с нагрузкой, действующей на конструкцию. Проверим равновесие компьютерной модели.
Грузовая площадь, приходящаяся на пролетные балки:
. (36)
Длина пролетных балок:
. (37)
Суммарная нагрузка на перекрытие:
. (38)
Сумма поперечных сил на опорах пролетных балок:
. (39)
Равновесие системы соблюдается, погрешность 1%.
Для определения изгибающих моментов в балках, расположенных по бокам от центра перекрытия, в формулы входят коэффициенты пропорциональности, полученные из условия пропорциональности прогибов под действием равномерно-распределенной нагрузки[12]. В примере расчета [18] в данных формулах пропущен коэффициент 16/5, что является опечаткой. Еще одной ошибкой является неверное суммирование расчетной погонной нагрузки на балки длинного направленияLy, что является ошибкой арифметической. Следующая ошибка – неверное определение погонной нагрузки на крайние балки перекрытия как короткого, так и длинного направлений, по причине различной грузовой площади на них по сравнению с центральными балками.
Выводы. 1. В формулах аналитического метода расчета прямых шарнирно-опертых по контуру часто ребристых кессонных железобетонных перекрытий с различным расстоянием между ребрами, основанного на балочной аналогии, при определении составляющих общей равномерно-распределенной нагрузки, приходящихся на ортогональные балки, необходимо использовать величины пролетов и жесткость перекрытия, состоящую из суммы цилиндрической жесткости плиты и усредненной относительной жесткости ребер.
- Пример расчета ребристой железобетонной панели кессонного перекрытия, приведенный в справочнике проектировщика, при определении усилий в балках имеет четыре ошибки. Первая ошибка является принципиальной, заложенной в известном аналитическом методе расчета кессонных конструкций, и заключается в определении составляющих общей равномерно-распределенной нагрузки на ортогональные балки только в зависимости от пролетов перекрытия. Жесткость конструкции в расчете не учитывается. Вторая ошибка– отсутствие в формулах определения изгибающих моментов, учитывающих расположение балок в плане перекрытия, коэффициента 16/5. Третья ошибка– арифметическая – неверное суммирование расчетной суммарной погонной нагрузки на балки длинного направленияLy. Четвертая ошибка– неверное определение погонной нагрузки на крайние балки как короткого, так и длинного направлений, по причине различной грузовой площади на них по сравнению с центральными балками.
- Значения изгибающих моментов в балках прямоугольного в плане шарнирно-опертого по контуру ребристого перекрытия с различным расстоянием между параллельными ребрами, определенные уточненным аналитическим способом, основанным на балочной аналогии, а также методом конечных элементов в ВКSCAD с применением стержневой конечно-элементной модели таврового поперечного сечения с шириной полки, равной шагу балок, имеют близкие значения. Отклонения аналитического метода от компьютерного расчета составляют от -10,0 до+5,0 %, что можно объяснить погрешностями расчетов, как аналитического, так и компьютерного.
Об авторах
Михаил Валентинович Мозголов
Московский политехнический университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: mvmozgolov@yandex.ru
кандидат технических наук, доцент кафедры строительного производства
Россия, 140402, г. Коломна, ул. Октябрьской революции, 408Список литературы
- Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. М.: ДМК Пресс; 2007. 600 с.
- СекуловичМ. Методконечныхэлементов / пер.ссерб.Ю.Н. Зуева;под ред. В.Ш. Барбакадзе. М.: Стройиздат; 1993. 664 с.
- Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. Киев: Факт, 2005. 344 с.
- Перельмутер А.В. Беседы о строительной механике. М.: Изд-во SCADSoft, Издательский дом АСВ; 2016. 304 с.
- КарпиловскийВ.С., КриксуновЭ.З., МаляренкоА.А., ФиалкоС.Ю., ПерельмутерА.В., ПерельмутерМ.А. SCAD Office. Версия 21. ВычислительныйкомплексSCAD. М.: Изд-во «СКАДСОФТ». 2015. 848 с.
- Лоскутов И.С. Монолитные железобетонные кессонные перекрытия [Электронный ресурс].URL: https://dwg.ru/lib/2046(дата обращения: 5.01.2023).
- Ефимцева Е.Э. Способы моделирования кессонных перекрытий // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 11–5. С. 14–20.
- Малахова А.Н. Монолитные кессонные перекрытия зданий // Вестник МГСУ. 2013. № 1. С. 79–86.
- Шибаева В.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния монолитных кессонных перекрытий // Молодой ученый. 2021. № 16 (358), Ч.II. С. 119–123.
- Мозголов М.В., Туранова А.В. Об эффективности косых кессонных железобетонных перекрытий // Градостроительство и архитектура. 2021. Т.11, № 3. С. 20–25. doi: 10.17673/Vestnik.2021.03.03.
- Никитин К.Е., Кирсанов О.А. Сравнительное исследование конечно-элементных методик расчета ребристых железобетонных перекрытий // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2022. 18(3). С. 242–254. doi: 10.22363/1815- 5235-2022-18-3-242-254.
- ЗалигерР. Железобетон: егорасчетипроектирование /пер.снем.; подред. П.Я. Каменцева. М.- Л.: Изд-воГНТИ, 1931. 671 с.
- Иванов-Дятлов И.Г. Железобетонные конструкции. М.-Л.: Министерство коммунального хозяйства РСФСР, 1950. 296 с.
- Карпухин Н.С. Железобетонные конструкции. М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1957. 442 с.
- Мурашев В.И., Сигалов Э.Е., Байков В.Н. Железобетонные конструкции. Общий курс. М.: Государственное издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1962. 662 с.
- Железобетонные конструкции / И.И. Улицкий, С.А. Ривкин, М.В. Самолетов, А.А. Дыховичный, М.М. Френкель, В.И. Кретов. К.: Будiвельник, 1972. 992 с.
- Линович Л.Е. Расчет и конструирование частей гражданских зданий. К.: Будiвельник, 1972. 644 с.
- Расчет и конструирование частей жилых и общественных зданий: справочник проектировщика / П.Ф. Вахненко, В.Г. Хилобок, Н.Т. Андрейко, М.Л. Яровой. К.: Будiвельник, 1987. 424 с.
- Мозголов М.В., Козлова Е.В. О применении жесткостей аналитического метода расчета прямых железобетонных кессонных перекрытий // Вестник НИЦ «Строительство». 2022. №33(2). С. 122–138. doi: 10.37538/2224-9494-2022-2(33)-122-138.
- Мозголов М.В., Козлова Е.В. О применении жесткостей аналитического метода расчета прямых железобетонных кессонных перекрытий. Ч. 2. Расчет с относительной жесткостью балок // Вестник НИЦ «Строительство». 2022. №35(4). С. 62–79.doi: 10.37538/2224-9494-2022-4(35)-62-79.
- Канчели Н.В., Батов П.А., Дробот Д.Ю. Реализованные мембранные оболочки. Расчет, проектирование и возведение. М.: АСВ, 2009. 120 с.
- Замрий А.А. Проектирование и расчет методом конечных элементов трехмерных конструкций в среде APMStructure3D. М.: АПМ. 2009. 288с.
- Мозголов М.В., Козлова Е.В. Оразгружающемдействиикрутящихмоментоввбалкахжелезобетонныхкессонныхперекрытий // Градостроительствоиархитектура. 2022. Т. 12, № 3. С. 11–20. doi: 10.17673/Vestnik.2022.03.2.
- Мозголов М.В., Брыль С.В., Козлова Е.В. О влиянии балки опорного контура на напряженно-деформированное состояние балок прямых кессонных железобетонных перекрытий // Системные технологии. 2022. № 43. С. 31–40.doi: 10.55287/22275398_2022_2_31.
- Мозголов М.В., Козлова Е.В. К вопросу создания верификационной модели для расчета кессонного железобетонного перекрытия в вычислительном комплексе SCAD // Вестник НИЦ «Строительство». 2022. №32(1). С. 128–140.doi: 10.37538/2224-9494-2022-1(32)-128-140.
- ВайнбергД.В., ВайнбергЕ.Д.Расчетпластин. К.:Будiвельник, 1970. 436 с.
- Плоские безбалочные железобетонные перекрытия [Электронный ресурс]. URL: https://www.faufcc.ru/upload/methodical_materials/mp60_2017.pdf(дата обращения 5.01.2023).