Динамика впитывания падающей на пористый грунт жидкости

Полный текст

Одним из источников загрязнения окружающей среды являются пребывающие в жидкой фазе загрязнения, основной компонентой которых является вода [1‒5]. При изучении фильтрации таких загрязнений обычно используется уравнение Дарси [6, 7].

В работах [8, 10] изучена временная зависимость впитывания слоя жидкости с первоначальной глубиной h_в0 (лужи) в пористый грунт. Ясно, что с ходом времени глубина лужи h_в(t) постепенно уменьшается от начального значения h_в0 до нуля (полное впитывание), а глубина насыщенного влагой слоя грунта h_г(t) постепенно увеличивается от нуля до максимального значения h_г0 = h_в0 / m, где m ‒ пористость грунта. В [8, 10] эта задача решена в квазистационарном приближении, т. е. в предположении, что в каждый момент времени жидкость находится в состоянии равновесия, медленно изменяющегося с изменением глубины лужи h_в(t) и глубины насыщенного влагой слоя грунта h_г(t). В данной работе предпринята попытка выйти за рамки приближения квазистационарности, а именно учесть игнорируемые в квазистационарном приближении динамические эффекты, такие, например, как инерционность жидкости, которая не может ни мгновенно ускориться, ни мгновенно остановиться.

Так, в частности, в квазистационарном приближении предполагается, что на границе свободной жидкости и пористой среды скорость фильтрации $\overrightarrow{u}$ [6, 7] не изменяется (это является прямым следствием уравнения непрерывности, каковое уравнение в свою очередь является следствием закона сохранения массы). Но скорость реального движения жидкости в среде $\overrightarrow{v}$ связана со скоростью фильтрации соотношением $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}/m$, где m < 1 ‒ пористость среды. Поэтому возникает парадокс – в слое свободной жидкости над пористой средой v = u, а в среде v > u, т. е. вместо торможения жидкость в среде разгоняется. Кроме того, в квазистационарном приближении сопротивление среды фильтрации жидкости полностью контролируется вязкостью жидкости и для невязкой жидкости полностью отсутствует, что явно неверно, как показано в работе [10], в которой изучено сопротивление пористого грунта впитыванию совершенно невязкой жидкости. Следует отметить, что в квазистационарном приближении в начальный момент фильтрации скорость фильтрации оказывается бесконечной (см. [8]), что также бессмысленно.

Поэтому выход за рамки приближения квазистационарности необходим хотя бы для того, чтобы убедиться в несущественности возникающих при этом выходе поправок.

Для вывода исходного одномерного дифференциального уравнения впитывания жидкости в грунт можно использовать закон сохранения энергии в виде

$\frac{dE}{dt}=-F_{тр}v$,

где E ‒ энергия столба жидкости площади S над и под границей грунта; F_тр ‒ сила трения, действующая на столб жидкости, двигающийся в грунте со скоростью v.

Энергия столба жидкости распадается на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия связана с движением слоя жидкости толщины h_в с некоторой скоростью $u=-\frac{d{h}_{в}}{dt}$ над грунтом и слоя жидкости толщины $\frac{h_{в}-h_{в0}}{m}$ (h_в0 ‒ толщина слоя жидкости в момент соприкосновения с грунтом, т ‒ пористость грунта) со скоростью v = u / m в грунте. Потенциальная энергия жидкости состоит из энергии жидкости на грунте (центр тяжести h_в / 2) и в грунте (центр тяжести – $-\frac{h_{в}-h_{в0}}{2m}$). Очевидно, для столба жидкости с плотностью ρ и площадью сечения S имеем

$E=\frac{\rho S}{2}\left\{g\left[h_{в}^2-\frac{{\left(h_{в0}-h_{в}\right)}^2}{m}\right]+{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2\left[h_{в}+\frac{h_{в0}-h_{в}}{m^2}\right]\right\}$. (2)

Для силы трения, учтя, что коэффициент фильтрации $C=\frac{k\rho g}{\mu }$ имеет физический смысл постоянной скорости безнапорной фильтрации жидкости в грунте под действием гравитации [8, 9] и что при этой «гравитационной» фильтрации происходит взаимная компенсация силы трения и силы тяжести, имеем

$F_{тр}=\frac{\rho Smg\left(h_{в0}-h_{в}\right)u}{C}=-\frac{\rho Smg\left(h_{в0}-h_{в}\right)}{C}\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)$. (3)

Продифференцировав (2) по времени и учтя, что $u=-\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)$, окончательно имеем задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка

$\frac{d^2{h}_{в}}{d{t}^2}=\frac{{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2(1-m^2)-\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)\left(h_{в0}-h_{в}\right)\frac{2gm}{C}+2gm\left[h_{в}(1-m)-h_{в0}\right]}{2\left[h_{в0}-h_{в}(1-m^2)\right]}$, (4)

$h_{в}\left(0\right)=h_{в0}$,

$\frac{d{h}_{в}}{dt}\left(0\right)=-\sqrt{2g{h}_{пад}}$.

В (4) h_в0 ‒ толщина слоя жидкости на грунте в начальный момент ее контакта с грунтом, h_пад ‒ высота, с которой жидкость упала на грунт (на самом деле $\sqrt{2g{h}_{пад}}$ ‒ это просто скорость слоя жидкости в момент контакта с грунтом).

Представляется странным, что плотность жидкости (являющаяся мерой ее инертности) не входит в (4). На самом деле ничего странного в этом нет – плотность входит в уравнение (4) одновременно с ее вязкостью через коэффициент фильтрации $C=\frac{k\rho g}{\mu }$.

Уравнение (4) одновременно учитывает и вязкость жидкости, и ее инертность и в этом смысле является обобщением как уравнения для впитывания невязкой инертной жидкости [12], так и основанного на законе Дарси уравнения для впитывания вязкой безынерционной жидкости [10, 11].

В случае невязкой (вязкость µ = 0) инерционной жидкости в уравнении (4) следует положить $C=\frac{k\rho g}{\mu }=\infty$, что приводит нас к более простому уравнению

$\frac{d^2{h}_{в}}{d{t}^2}=\frac{{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2(1-m^2)+2gm\left[h_{в}(1-m)-h_{в0}\right]}{2\left[h_{в0}-h_{в}(1-m^2)\right]}$, (5)

порядок которого легко понижается, что приводит нас к уравнению (4) из [10].

В противоположном предельном случае вязкой безынерционной жидкости $C=\frac{k\rho g}{\mu }\to 0$ следует учесть, что скорость впитывания при этом также стремится к нулю, и обнулить в (4) все производные толщины слоя жидкости, кроме являющихся коэффициентами при С^-1, что немедленно приводит нас к уравнению (6) из [8].

Решение уравнения (4) удается провести только численно. Некоторые результаты численного счета показаны в таблицах.

В табл. 1 приведены данные по времени впитывания слоя жидкости с исходной толщиной 10 см в различные типы грунтов при падении с разной высоты. Видно, что в случае нулевой скорости падения жидкости (h_пад = 0) учет инерционности жидкости практически не изменяет результаты теории Дарси. С ростом высоты падения жидкости (а соответственно и динамического напора) время впитывания уменьшается в сравнении с результатами теории Дарси несмотря на то, что в рамках приближения Дарси время впитывания не зависит от скорости падения жидкости. Уменьшение времени впитывания достигает примерно 0,5 с при высоте падения 1м, примерно 1 с при высоте падения 4 м и примерно 3‒4 с при высоте падения 60 м. Ясно, что это уменьшение времени впитывания следует сравнивать с полным временем впитывания и для техногенных грунтов (щебень) оно играет относительно более значительную роль, чем для природных (песок).

 

Таблица 1. Время впитывания в грунт слоя воды толщиной 10 см

Table 1. Time for water layer 10 cm thick to be absorbed into the ground

Тип грунта	Коэффициент фильтрации, м/с	Пористость	Время впитывания, с
			по теории Дарси	при hпад=0 м	при hпад=1м	при hпад=4 м	при hпад=8 м	при hпад=60 м
Гранитный щебень 40×70 мм	0,01	0,46	6,27	6,27	5,79	5,31	4,90	2,57
Гранитный щебень 20×40 мм	0,004	0,452	15,74	15,74	15,27	14,79	14,38	11,99
Гранитный щебень 5×20 мм	1,80E-03	0,448	35,06	35,06	34,59	34,11	33,71	31,31
Кварцевый песок 2–3 мм	1,00E-03	0,3	69,15	69,14	68,66	68,15	67,72	65,13
Речной песок 1 мм	5,10E-04	0,15	153,45	153,45	152,90	152,30	152,01	151,00

 

Тем не менее можно констатировать, что в любом случае учет инерционности жидкости не меняет принципиально результаты теории Дарси.

В табл. 2 приведены данные по времени впитывания слоя жидкости с различной исходной толщиной (1, 10 или 100 см) в гранитный щебень 5×20 мм (коэффициент фильтрации 1,80E-03, пористость 0,448) при падении с разной высоты. Приведенные в табл. 2 данные позволяют проверить, выполняется ли для инерционной жидкости отмеченная в [9] прямо пропорциональная зависимость между толщиной слоя жидкости и временем ее впитывания. Действительно, в приближении Дарси при переходе от первой строчки таблицы ко второй и от второй к третьей толщина слоя жидкости увеличивается в 10 раз – и так же должно увеличиваться время впитывания. Эта зависимость практически точно выполняется в приближении Дарси (первый столбец) при падении жидкости с нулевой высоты (второй столбец), приближенно выполняется при падении жидкости с высоты 1 м (третий столбец) и не выполняется при падении с высоты 4 м и более (четвертый ‒ шестой столбцы).

 

Таблица 2. Время впитывания в гранитный щебень 5×20 мм слоя воды разной толщины при падении с разной высоты

Table 2. Time of water layer absorption into granite crushed stone 5×20 mm of different thickness when falling from different heights

Толщина слоя жидкости, см	Время впитывания, с
	по теории Дарси	при hпад = 0 м	при hпад = 1м	при hпад = 4 м	при hпад = 8 м	при hпад = 60 м
1	3,51	3,51	3,02	2,54	2,14	1,51Е-3
10	35,056	35,06	34,59	34,11	33,71	31,31
100	350,56	350,56	350,10	349,65	349,26	346,96

 

Обращает на себя внимание аномально быстрое (полторы миллисекунды) впитывание сантиметрового слоя жидкости при падении с высоты 60 м. Очевидно, в данном случае имеет место не постепенное впитывание, а почти мгновенное «впрыскивание» быстро двигающейся жидкости в пористую среду.

Для иллюстрации этого явления на рисунке приведены графики зависимости толщины слоя жидкости на грунте от времени для толщины слоя жидкости 1, 10 и 100 см при падении жидкости с 60 м. На рисунке показано: t₀ = h₀ / C при падении соля жидкости с толщиной h₀ = 1 м (сплошная линия), h₀ = 10 см (штриховая линия) и h₀ = 1 см (пунктир) при падении слоя жидкости с высоты 60 м. Рисунок «а» отличается от рисунка «б» только масштабом по горизонтальной оси.

 

Зависимость обезразмеренной толщины слоя жидкости на грунте (гранитный щебень 5×20 мм) x(τ) = h(τ) / h_0в от обезразмеренного времени τ = t / t₀

Dependence of the dimensionless thickness x(τ) = h(τ) / h_0в of the liquid layer on the ground (granite crushed stone 5×20 mm) on the dimensionless time τ = t / t₀

 

Видно, что в случае столкновения достаточно быстро двигающейся жидкости с грунтом процесс впитывания четко разделяется на две стадии – сначала некоторая часть жидкости практически мгновенно (τ ≈ 10^-4) «впрыскивается» в грунт, а затем жидкость тормозится, практически останавливается и достаточно медленно τ ≈ 1 впитывается в грунт примерно в соответствии с теорией Дарси. При этом уменьшение (в сравнении с теорией Дарси) времени впитывания при падении с высоты 60 м практически не зависит от толщины слоя жидкости и составляет примерно 3,5 с. Поэтому нет ничего удивительного в том, что в случае толщины слоя жидкости 1 см все «время впитывания Дарси» (3,5 с) «съедается» стадией впрыскивания и жидкость исчезает с поверхности почвы практически мгновенно.

Вывод

При столкновении быстро двигающегося слоя жидкости с пористой средой процесс внедрения жидкости в среду протекает в две стадии. Сначала некоторая часть жидкости практически мгновенно «впрыскивается» в среду, при этом быстро тормозясь. Затем почти остановившаяся жидкость относительно медленно впитывается по «безынерционному» механизму. Безусловно, «стадия впрыскивания» представляет определенный интерес и заслуживает дальнейшего изучения.

Об авторах

Николай Сергеевич Бухман

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: nik3141rambler@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-2225-2308

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры физики, профессор кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100, г. Самара, Молодогвардейская, 244

Любовь Михайловна Бухман

Самарский государственный технический университет

Email: liubov1967@list.ru
ORCID iD: 0000-0002-0724-1865

старший преподаватель кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100, г. Самара, Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы