Dynamics of absorption of liquid falling into a porous soil

Full Text

Одним из источников загрязнения окружающей среды являются пребывающие в жидкой фазе загрязнения, основной компонентой которых является вода [1‒5]. При изучении фильтрации таких загрязнений обычно используется уравнение Дарси [6, 7].

В работах [8, 10] изучена временная зависимость впитывания слоя жидкости с первоначальной глубиной h_в0 (лужи) в пористый грунт. Ясно, что с ходом времени глубина лужи h_в(t) постепенно уменьшается от начального значения h_в0 до нуля (полное впитывание), а глубина насыщенного влагой слоя грунта h_г(t) постепенно увеличивается от нуля до максимального значения h_г0 = h_в0 / m, где m ‒ пористость грунта. В [8, 10] эта задача решена в квазистационарном приближении, т. е. в предположении, что в каждый момент времени жидкость находится в состоянии равновесия, медленно изменяющегося с изменением глубины лужи h_в(t) и глубины насыщенного влагой слоя грунта h_г(t). В данной работе предпринята попытка выйти за рамки приближения квазистационарности, а именно учесть игнорируемые в квазистационарном приближении динамические эффекты, такие, например, как инерционность жидкости, которая не может ни мгновенно ускориться, ни мгновенно остановиться.

Так, в частности, в квазистационарном приближении предполагается, что на границе свободной жидкости и пористой среды скорость фильтрации $\overrightarrow{u}$ [6, 7] не изменяется (это является прямым следствием уравнения непрерывности, каковое уравнение в свою очередь является следствием закона сохранения массы). Но скорость реального движения жидкости в среде $\overrightarrow{v}$ связана со скоростью фильтрации соотношением $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}/m$, где m < 1 ‒ пористость среды. Поэтому возникает парадокс – в слое свободной жидкости над пористой средой v = u, а в среде v > u, т. е. вместо торможения жидкость в среде разгоняется. Кроме того, в квазистационарном приближении сопротивление среды фильтрации жидкости полностью контролируется вязкостью жидкости и для невязкой жидкости полностью отсутствует, что явно неверно, как показано в работе [10], в которой изучено сопротивление пористого грунта впитыванию совершенно невязкой жидкости. Следует отметить, что в квазистационарном приближении в начальный момент фильтрации скорость фильтрации оказывается бесконечной (см. [8]), что также бессмысленно.

Поэтому выход за рамки приближения квазистационарности необходим хотя бы для того, чтобы убедиться в несущественности возникающих при этом выходе поправок.

Для вывода исходного одномерного дифференциального уравнения впитывания жидкости в грунт можно использовать закон сохранения энергии в виде

$\frac{dE}{dt}=-F_{тр}v$,

где E ‒ энергия столба жидкости площади S над и под границей грунта; F_тр ‒ сила трения, действующая на столб жидкости, двигающийся в грунте со скоростью v.

Энергия столба жидкости распадается на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия связана с движением слоя жидкости толщины h_в с некоторой скоростью $u=-\frac{d{h}_{в}}{dt}$ над грунтом и слоя жидкости толщины $\frac{h_{в}-h_{в0}}{m}$ (h_в0 ‒ толщина слоя жидкости в момент соприкосновения с грунтом, т ‒ пористость грунта) со скоростью v = u / m в грунте. Потенциальная энергия жидкости состоит из энергии жидкости на грунте (центр тяжести h_в / 2) и в грунте (центр тяжести – $-\frac{h_{в}-h_{в0}}{2m}$). Очевидно, для столба жидкости с плотностью ρ и площадью сечения S имеем

$E=\frac{\rho S}{2}\left\{g\left[h_{в}^2-\frac{{\left(h_{в0}-h_{в}\right)}^2}{m}\right]+{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2\left[h_{в}+\frac{h_{в0}-h_{в}}{m^2}\right]\right\}$. (2)

Для силы трения, учтя, что коэффициент фильтрации $C=\frac{k\rho g}{\mu }$ имеет физический смысл постоянной скорости безнапорной фильтрации жидкости в грунте под действием гравитации [8, 9] и что при этой «гравитационной» фильтрации происходит взаимная компенсация силы трения и силы тяжести, имеем

$F_{тр}=\frac{\rho Smg\left(h_{в0}-h_{в}\right)u}{C}=-\frac{\rho Smg\left(h_{в0}-h_{в}\right)}{C}\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)$. (3)

Продифференцировав (2) по времени и учтя, что $u=-\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)$, окончательно имеем задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка

$\frac{d^2{h}_{в}}{d{t}^2}=\frac{{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2(1-m^2)-\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)\left(h_{в0}-h_{в}\right)\frac{2gm}{C}+2gm\left[h_{в}(1-m)-h_{в0}\right]}{2\left[h_{в0}-h_{в}(1-m^2)\right]}$, (4)

$h_{в}\left(0\right)=h_{в0}$,

$\frac{d{h}_{в}}{dt}\left(0\right)=-\sqrt{2g{h}_{пад}}$.

В (4) h_в0 ‒ толщина слоя жидкости на грунте в начальный момент ее контакта с грунтом, h_пад ‒ высота, с которой жидкость упала на грунт (на самом деле $\sqrt{2g{h}_{пад}}$ ‒ это просто скорость слоя жидкости в момент контакта с грунтом).

Представляется странным, что плотность жидкости (являющаяся мерой ее инертности) не входит в (4). На самом деле ничего странного в этом нет – плотность входит в уравнение (4) одновременно с ее вязкостью через коэффициент фильтрации $C=\frac{k\rho g}{\mu }$.

Уравнение (4) одновременно учитывает и вязкость жидкости, и ее инертность и в этом смысле является обобщением как уравнения для впитывания невязкой инертной жидкости [12], так и основанного на законе Дарси уравнения для впитывания вязкой безынерционной жидкости [10, 11].

В случае невязкой (вязкость µ = 0) инерционной жидкости в уравнении (4) следует положить $C=\frac{k\rho g}{\mu }=\infty$, что приводит нас к более простому уравнению

$\frac{d^2{h}_{в}}{d{t}^2}=\frac{{\left(\frac{d{h}_{в}}{dt}\right)}^2(1-m^2)+2gm\left[h_{в}(1-m)-h_{в0}\right]}{2\left[h_{в0}-h_{в}(1-m^2)\right]}$, (5)

порядок которого легко понижается, что приводит нас к уравнению (4) из [10].

В противоположном предельном случае вязкой безынерционной жидкости $C=\frac{k\rho g}{\mu }\to 0$ следует учесть, что скорость впитывания при этом также стремится к нулю, и обнулить в (4) все производные толщины слоя жидкости, кроме являющихся коэффициентами при С^-1, что немедленно приводит нас к уравнению (6) из [8].

Решение уравнения (4) удается провести только численно. Некоторые результаты численного счета показаны в таблицах.

В табл. 1 приведены данные по времени впитывания слоя жидкости с исходной толщиной 10 см в различные типы грунтов при падении с разной высоты. Видно, что в случае нулевой скорости падения жидкости (h_пад = 0) учет инерционности жидкости практически не изменяет результаты теории Дарси. С ростом высоты падения жидкости (а соответственно и динамического напора) время впитывания уменьшается в сравнении с результатами теории Дарси несмотря на то, что в рамках приближения Дарси время впитывания не зависит от скорости падения жидкости. Уменьшение времени впитывания достигает примерно 0,5 с при высоте падения 1м, примерно 1 с при высоте падения 4 м и примерно 3‒4 с при высоте падения 60 м. Ясно, что это уменьшение времени впитывания следует сравнивать с полным временем впитывания и для техногенных грунтов (щебень) оно играет относительно более значительную роль, чем для природных (песок).

 

Таблица 1. Время впитывания в грунт слоя воды толщиной 10 см

Table 1. Time for water layer 10 cm thick to be absorbed into the ground

Тип грунта	Коэффициент фильтрации, м/с	Пористость	Время впитывания, с
			по теории Дарси	при hпад=0 м	при hпад=1м	при hпад=4 м	при hпад=8 м	при hпад=60 м
Гранитный щебень 40×70 мм	0,01	0,46	6,27	6,27	5,79	5,31	4,90	2,57
Гранитный щебень 20×40 мм	0,004	0,452	15,74	15,74	15,27	14,79	14,38	11,99
Гранитный щебень 5×20 мм	1,80E-03	0,448	35,06	35,06	34,59	34,11	33,71	31,31
Кварцевый песок 2–3 мм	1,00E-03	0,3	69,15	69,14	68,66	68,15	67,72	65,13
Речной песок 1 мм	5,10E-04	0,15	153,45	153,45	152,90	152,30	152,01	151,00

 

Тем не менее можно констатировать, что в любом случае учет инерционности жидкости не меняет принципиально результаты теории Дарси.

В табл. 2 приведены данные по времени впитывания слоя жидкости с различной исходной толщиной (1, 10 или 100 см) в гранитный щебень 5×20 мм (коэффициент фильтрации 1,80E-03, пористость 0,448) при падении с разной высоты. Приведенные в табл. 2 данные позволяют проверить, выполняется ли для инерционной жидкости отмеченная в [9] прямо пропорциональная зависимость между толщиной слоя жидкости и временем ее впитывания. Действительно, в приближении Дарси при переходе от первой строчки таблицы ко второй и от второй к третьей толщина слоя жидкости увеличивается в 10 раз – и так же должно увеличиваться время впитывания. Эта зависимость практически точно выполняется в приближении Дарси (первый столбец) при падении жидкости с нулевой высоты (второй столбец), приближенно выполняется при падении жидкости с высоты 1 м (третий столбец) и не выполняется при падении с высоты 4 м и более (четвертый ‒ шестой столбцы).

 

Таблица 2. Время впитывания в гранитный щебень 5×20 мм слоя воды разной толщины при падении с разной высоты

Table 2. Time of water layer absorption into granite crushed stone 5×20 mm of different thickness when falling from different heights

Толщина слоя жидкости, см	Время впитывания, с
	по теории Дарси	при hпад = 0 м	при hпад = 1м	при hпад = 4 м	при hпад = 8 м	при hпад = 60 м
1	3,51	3,51	3,02	2,54	2,14	1,51Е-3
10	35,056	35,06	34,59	34,11	33,71	31,31
100	350,56	350,56	350,10	349,65	349,26	346,96

 

Обращает на себя внимание аномально быстрое (полторы миллисекунды) впитывание сантиметрового слоя жидкости при падении с высоты 60 м. Очевидно, в данном случае имеет место не постепенное впитывание, а почти мгновенное «впрыскивание» быстро двигающейся жидкости в пористую среду.

Для иллюстрации этого явления на рисунке приведены графики зависимости толщины слоя жидкости на грунте от времени для толщины слоя жидкости 1, 10 и 100 см при падении жидкости с 60 м. На рисунке показано: t₀ = h₀ / C при падении соля жидкости с толщиной h₀ = 1 м (сплошная линия), h₀ = 10 см (штриховая линия) и h₀ = 1 см (пунктир) при падении слоя жидкости с высоты 60 м. Рисунок «а» отличается от рисунка «б» только масштабом по горизонтальной оси.

 

Зависимость обезразмеренной толщины слоя жидкости на грунте (гранитный щебень 5×20 мм) x(τ) = h(τ) / h_0в от обезразмеренного времени τ = t / t₀

Dependence of the dimensionless thickness x(τ) = h(τ) / h_0в of the liquid layer on the ground (granite crushed stone 5×20 mm) on the dimensionless time τ = t / t₀

 

Видно, что в случае столкновения достаточно быстро двигающейся жидкости с грунтом процесс впитывания четко разделяется на две стадии – сначала некоторая часть жидкости практически мгновенно (τ ≈ 10^-4) «впрыскивается» в грунт, а затем жидкость тормозится, практически останавливается и достаточно медленно τ ≈ 1 впитывается в грунт примерно в соответствии с теорией Дарси. При этом уменьшение (в сравнении с теорией Дарси) времени впитывания при падении с высоты 60 м практически не зависит от толщины слоя жидкости и составляет примерно 3,5 с. Поэтому нет ничего удивительного в том, что в случае толщины слоя жидкости 1 см все «время впитывания Дарси» (3,5 с) «съедается» стадией впрыскивания и жидкость исчезает с поверхности почвы практически мгновенно.

Вывод

При столкновении быстро двигающегося слоя жидкости с пористой средой процесс внедрения жидкости в среду протекает в две стадии. Сначала некоторая часть жидкости практически мгновенно «впрыскивается» в среду, при этом быстро тормозясь. Затем почти остановившаяся жидкость относительно медленно впитывается по «безынерционному» механизму. Безусловно, «стадия впрыскивания» представляет определенный интерес и заслуживает дальнейшего изучения.

About the authors

Nikolay S. Bukhman

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: nik3141rambler@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-2225-2308

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of the Physics Chair, Professor of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

Lyubov M. Bukhman

Samara State Technical University

Email: liubov1967@list.ru
ORCID iD: 0000-0002-0724-1865

Senior Lecturer of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

References

Supplementary files