МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО КОНТАКТА В ПОДШИПНИКЕ КАЧЕНИЯ
- Авторы: Иванов В.А.1, Еркаев N.V.2
-
Учреждения:
- Сибирский федеральный университет, Политехнический институт
- Институт вычислительного моделирования CО РАН
- Выпуск: Том 16, № 3 (2015)
- Страницы: 580-586
- Раздел: Статьи
- Статья опубликована: 15.09.2015
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/503047
- ID: 503047
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассмотрена задача нестационарного гидродинамического контакта ролика с упругим слоем с учетом прогиба поверхности, а также влияния давления на коэффициент вязкости. Зависимость вязкости от давления задана экспоненциальной функцией. В работе использовался итерационный метод численного решения уравнения Рейнольдса совместно с интегральным уравнением связи прогиба поверхности с давлением в смазочном слое. Показано, что вертикальное перемещение ролика вызывает дополнительное существенное возрастание давления в смазочном слое, пропорциональное вертикальной скорости. Коэффициент линейной зависимости несущей способности от вертикальной скорости назван коэффициентом демпфирования. В результате расчетов получены зависимости несущей способности и коэффициента демпфирования смазочного слоя от величины минимального зазора между роликом и пластиной. С использованием найденных функций изучен переходный процесс установления стационарного режима при резком изменении внешней нагрузки. Найдено характерное время установления и определены временные вариации пиковых значений давления. Исследовано влияние пьезокоэффициента вязкости на максимальные значения давления, достигаемые в процессе установления. Найдено критическое значение пьезокоэффициента, при котором эффект возрастания давления, обусловленный увеличением вязкости, компенсируется влиянием деформации упругой поверхности.
Ключевые слова
Полный текст
Введение. Расчет упруго-гидродинамического контакта ролика с деформируемой поверхностью является довольно сложной задачей, так как требует совместного решения уравнений гидродинамики в смазочном слое и уравнений упругости в деформируемом теле [1-10]. Эта задача связана с проблемой моделирования подшипников качения, которые широко используются в авиационных и ракетных двигателях. При работе подшипниковых узлов часто возникают вибрации, связанные с резкими изменениями нагрузки. Это особенно заметно в моменты запуска и остановки механизма, а также при воздействии переменной внешней силы. Эти вибрации существенно влияют на работу подшипника, увеличивая его износ и сокращая срок службы. Поэтому моделирование нестационарного режима работы подшипникового узла является важной задачей. Целью данной работы является анализ нестационарных режимов работы роликового подшипника качения в случае переменной внешней нагрузки. Описание метода расчета. Рассмотрим контактное взаимодействие цилиндрического ролика с движущейся пластиной, покрытой слоем смазочного материала (рис. 1). Так как радиус ролика очень мал по сравнению с радиусом кольца, по которому он катится, то можно приближенно принять внешнее кольцо подшипника плоской пластиной [7]. рис 1 визио Рис. 1. Схема расположения ролика, пластины и слоя жидкого смазочного материала Распределение давления в смазочном слое определяется из решения уравнения Рейнольдса: , (1) где - давление в смазочном слое; - скорость движения пластины; m0 - динамическая вязкость масла при нормальном давлении; - вертикальная скорость ролика; a - пьезокоэффициент давления [11-13]. Ось x ориентирована в направлении движения пластины. Данное решение было подробно рассмотрено ранее в [14], поэтому для сравнения рассмотрим случай контакта бесконечно жесткого ролика с упругой пластиной без учета изменения вязкости в смазочном слое. В этом случае уравнение Рейнольдса имеет вид . (2) В предположении, что площадка контакта цилиндра и плоскости мала по сравнению с радиусом кривизны , имеем следующее выражение для толщины слоя смазочного материала [2]: , (3) где hm - минимальная толщина смазочного слоя; xm - координата точки минимального зазора. Граничные условия в рассматриваемом случае имеют следующий вид [1; 2]: , (4) где x1 и x2 - входная и выходная границы смазочного слоя. Для удобства решения задачи вводим безразмерные переменные: (5) преобразуем исходное уравнение Рейнольдса (2) к более простому виду: , (6) где Положения входной и выходной границ будем характеризовать безразмерными параметрами a и c. Значение параметра a зависит от количества смазки. В случае обильной смазки полагаем [2-4]. Интегрируя уравнение (6) и используя нулевое граничное условие (5) для производной функции давления при , получаем дифференциальное уравнение первого порядка: (7) Решение уравнения (7) зависит от безразмерного параметра e, который связан с нормальной скоростью перемещения ролика. Интегрируя уравнение (7) для различных значений ε, находим распределение давления в смазочном слое, соответствующее различным нормальным скоростям ролика. По найденному распределению давления определяем безразмерную несущую способность, являющуюся функцией параметра ε: (8) Расчеты показывают, что зависимость несущей способности от ε очень близка к линейной (рис. 2), и ее можно записать в следующем виде: (9) где постоянные коэффициенты и A равны 0,401 и 1,125 соответственно. График зависимости несущей способности от нормальной скорости ε в безразмерных единицах представлен на рис. 2. С учетом соотношений (5) преобразуем выражение (8) к размерному виду: . (10) Здесь первое слагаемое выражает зависимость стационарной несущей способности от зазора при нулевой нормальной скорости , (11) а второе слагаемое учитывает влияние нормальной скорости. Коэффициент перед скоростью будем называть коэффициентом демпфирования l: (12) Движение ролика по нормали определяется уравнением динамики (13) где m - масса ролика; F - внешняя нагрузка. С учетом зависимостей (11), (12) уравнение (13) принимает следующий вид: (14) Полагая равными нулю производные по времени, определяем равновесное значение зазора: Принимая h0 в качестве базового зазора, вводим безразмерные переменные: , , (15) Используя нормировки (15), приводим уравнение динамики к безразмерному виду: (16) Уравнение (16) определяет зависимость зазора от времени в процессе установления стационарного режима. Характерное время переходного процесса характеризуется параметром t. Анализ влияния деформаций и зависимости вязкости от давления. Далее переходим к более реалистичной задаче с учетом прогиба поверхности и переменности вязкости, зависящей от давления в смазочном слое. Для расчетов используем следующие числовые параметры: hm = 0,00000035 м, m = 0,024 Па∙с, α = 0,75∙10-8 1/Па - пьезокоэффициент вязкости, V = 7 м/с, R = 0,005 м (за основу взят подшипник 32114 серии [15]). Для моделирования примем, что материал пластины имеет следующие механические свойства: E = 2,1∙1011 Па - модуль упругости (сталь), m = 0,3 - коэффициент Пуассона. Решая уравнение (7) при ε = 0, получаем распределение давления в смазочном слое (рис. 3), которое далее используем для определения прогиба упругой поверхности. При проведении итерационного расчета прогиба поверхности применяем найденную ранее функцию податливости пластины [14]. График этой функции показан на рис. 4. Значения функции нормированы к её максимальному значению: Kmax = 3,267·10-15 Па-1. R6 Рис. 2. Зависимость несущей способности от вертикальной скорости в безразмерных единицах рис 2 Рис. 3. Распределение давления в смазочном слое R5 Рис. 4. График функции податливости Исследуем влияние прогиба поверхности и пьезокоэффициента вязкости на максимум давления в смазочном слое. Данные расчетов, в которых пьезокоэффициент был фиксирован и изменялась лишь величина зазора, приведены в табл. 1. Данные показывают, что пьезокоэффициент вязкости начинает значительно влиять на пик давления только при очень малых зазорах (h < 3∙10-7). Влияние деформации упругой поверхности также становится выраженным лишь при малых зазорах. Также рассмотрим влияние пьезоэффекта на пик давления в смазочном слое при фиксированном зазоре. Для этого выполним серию расчетов с разными значениями пьезокоэффициента. Согласно результатам расчетов, представленным в табл. 2, при значении α = 1,1∙10-8 1/Па влияние пьезокоэффициента на рост пика давления полностью компенсируется прогибом поверхности. Далее проводим еще одну серию вычислительных экспериментов для нахождения коэффициента демпфирования λ с учетом влияния прогиба поверхности. Для этого рассчитаем величину несущей способности W для различных значений минимального зазора с учетом как положительных, так и отрицательных значений вертикальной скорости. При этом в каждом расчете используем итерационный метод. Зависимость несущей способности W от вертикальной скорости Vy показана на рис. 5. Зависимость контактной нагрузки от минимально зазора при нулевой вертикальной скорости показана на рис. 6. Коэффициент демпфирования λ для различных значений минимального зазора определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой, выражающей зависимость несущей способности W от нормальной скорости (рис. 5). Используя рассчитанный для различных значений hm массив значений λ и применяя сплайновую интерполяцию, определяем функцию λ(hm), показанную на рис. 7. Также на рис. 7 показано изменение коэффициента демпфирования для аналитического решения (без учета деформаций и пьезоэффекта). Найденные функции демпфирования и несущей способности подставляем в уравнение (13), выполняем численное интегрирование и получаем зависимость зазора от времени, а также из уравнения (7) находим соответствующие распределения давления в смазочном слое в различные моменты времени. На рис. 8 показан график изменения максимума давления с учетом коэффициента демпфирования и прогиба поверхности. На этом же рисунке для сравнения представлен аналогичный график максимума давления, полученный без учета пьезокоэффициента давления и прогиба поверхности. Расчет был выполнен для базового зазора 0,00000035 м. Таблица 1 Максимальные давления в разных вариантах расчета (α = 0,75∙10-8 1/Па, Vy = 0) Минимальный зазор в смазочном слое hm, м Максимальные P давление в смазочном слое Без учета пьезоэффекта и прогиба, 107 Па Только с учетом пьезоэффекта, 107 Па С учетом прогиба и пьезоэффекта, 107 Па 0,000001 1,26 1,33 1,23 0,0000005 3,59 4,18 3,48 0,00000035 6,13 8,2 5,6 0,00000025 10,02 19,1 8,37 Таблица 2 Влияние пьезокоэффициента на давление в смазочном слое (h = 0,00000035 м, Vy = 0) Пьезокоэффициент α, 10-8 1/Па Максимальные P давление в смазочном слое Без учета пьезоэффекта и прогиба, 107 Па Только с учетом пьезоэффекта, 107 Па С учетом прогиба и пьезоэффекта, 107 Па 2,3 6,13 Нет решения 10,2 1,6 24,5 7,54 1,4 13,24 6,89 1,1 10,6 6,18 0,75 8,2 5,6 0,35 6,89 5,08 R1 Рис. 5. Зависимость контактной нагрузки W от вертикальной скорости Vy: 1 - h = 0,000001 м; 2 - h = 0,0000005 м; 3 - h = 0,00000035 м; 4 - h = 0,00000025 м R2 Рис. 6. Зависимость контактной нагрузки W от минимального зазора в смазочном слое hm: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта R3 Рис. 7. Зависимость коэффициента демпфирования λ от минимального зазора hm: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта R4 Рис. 8. Изменение пика давления в течение времени: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта Заключение. Решена задача нестационарного упруго-гидродинамического контакта ролика с пластиной с учетом прогиба поверхности, а также влияния давления на коэффициент вязкости. Для этого использовался разработанный ранее итерационный метод численного решения уравнения Рейнольдса совместно с интегральным уравнением связи прогиба поверхности с давлением в смазочном слое. В результате расчетов получены зависимости несущей способности и коэффициента демпфирования смазочного слоя от величины минимального зазора между роликом и пластиной. С использованием найденных функций изучен переходный процесс установления стационарного режима. Исследовано влияние пьезокоэффициента вязкости на пик давления, достигаемый в процессе установления. Найдено критическое значение пьезокоэффициента, при котором эффект возрастания давления, обусловленный увеличением вязкости, компенсируется влиянием деформации упругой поверхности.×
Об авторах
В. А. Иванов
Сибирский федеральный университет, Политехнический институтРоссийская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, 26
N. V. Еркаев
Институт вычислительного моделирования CО РАН
Email: nerkaev@gmail.com
Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
Список литературы
- Kodnir D. S. Kontaktnaya gidrodinamika smazki detaley mashin [Contact hydrodynamics of lubrication of machine parts]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1976, 304 p.
- Galakhov M. A., Usov P. P. Differentsial’nye i integral’nye uravneniya matematicheskoy modeli teorii treniya [Differential and integral equations of the mathematical model of the friction theory]. Moscow, Nauka. Fiz.-Mat. Lit. Publ., 1990, 280 p.
- Galakhov M. A., Gusaytnikov P. B., Novikov A. P. Matematicheskie modeli kontaktnoy gidrodinamiki [Mathematical models of contact hydrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 294 p.
- Terent’ev V. F., Erkaev N. V., Dokshanin S. G. Tribonadezhnost’ podshipnikovykh uzlov v prisutstvii modifitsirovannykh smazochnykh kompozitsiy [Tribo-durability of bearing units in a presence of modified lubricant compositions]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2003, 142 p.
- Venner C. H., Lubrecht A. A. MultiLevel methods in lubrication. Amsterdam, Elsevier Publ., 2000, 400 p.
- Venner C. H. Multilevel solution of the EHL line and point contact problems. PhD thesis, University of Twente. Endschende. 1991, 318 p.
- Venner C. H., Lubrecht A. A. Numerical simulation of a transverse ridge in a circular EHL contact under rolling sliding. Trans. ASME J. Tribol 1994, P. 751-761.
- Anuradha P., Kumar P. EHL line contact central and minimum film thickness equations for lubricants with linear piezoviscous behavior. Tribol, 2011, Int. 44,P. 1257-1260.
- Besportochnyy A. I. [Asymptotic regimes of hydrodynamic contact of an elastic cylinder and a rigid half-space]. Trudy MFTI. 2013, Vol. 5, No. 2, P. 4-12 (In Russ.).
- Besportochnyy A. I. [Regimes of lubrication of the cylinder covered by an elastic layer with a rigid half-space]. Nauchnyy vestnik MGTU GA. 2011, No. 163,
- P. 138-143 (In Russ.).
- D’AgostinoV., Petrone V., Senatore A. Effects of the lubricant piezo-viscous properties on EHL line and point contact problems, Tribol Lett 2013, Int 49, P. 385-396. doi: 10.1007/s11249-012-0079-5.
- Moes H., Lubrication and beyond. Twentte Universiti Press. Enschede. The Netherlands. 2000, 366 p.
- Lubrecht A. A. The numerical solution of the elasto-hydrodynamicallylubricated line- and point contact problem, using multigrid techniques. PhD Dissertation. Twente University. Netherlands. 1987, 219 p.
- Ivanov V. A., Erkaev N. V. [Iterative calculation of trubo-contact between a roller and plate]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 4(56), P. 48-54 (In Russ.).
- Naryshkin V. N., Korostashevskiy R. V. Podshipniki Podshipniki kacheniya. Spravochnik-katalog. [Rolling bearings. Reference book catalog]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1984, 280 p.
Дополнительные файлы
