SHUNKOV GROUPS, SATURATED BY GROUPS L 2( pn), U 3(2 n)

全文:

1. Введение В [1] поставлен вопрос 14.101: Группа насыщена группами из класса , если любая конечная подгруппа содержится в подгруппе , изоморфной некоторой группе из . Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиевского типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиевского типа конечного ранга? В данной статье эта задача решается частично. Исследованы группы Шункова, насыщенные группами , . Произвольная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [2]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях её элементов конечных порядков, в частности, составляют ли они характеристическую подгруппу - периодическую часть. Под периодической частью группы понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков из , при условии, что она периодическая. Получен следующий результат. Теорема. Группа Шункова, насыщенная множеством групп вида , , обладает периодической частью , изоморфной либо , либо , где и - подходящие локально конечные поля. 2. Известные факты и определения Определение 1. Под символом в данной работе будем понимать единицу группы . Определение 2. Группа насыщена группами из множества групп , если любая конечная подгруппа из содержится в подгруппе, изоморфной некоторой группе из . Множество будем называть насыщающим множеством для . - это множество всех подгрупп группы , содержащих подгруппу и изоморфных группам из множества . - это множество всех подгрупп группы , изоморфных группам из множества (1 - единичная подгруппа группы ) [3]. Предложение 1. Пусть , где - нечетное число. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) силовская -подгруппа группы - элементарная абелева, и - группа Фробениуса с ядром и циклическим неинвариантным множителем порядка; 2) силовская 2-подгруппа группы является группой диэдра; 3) если - инволюция из , то - группа диэдра; 4) группа порождается любыми двумя различными централизаторами инволюций; 5) все инволюции из сопряжены [4]. Предложение 2. Пусть , где , - силовская 2-подгруппа группы . Тогда: 1) - элементарная абелева группа, и любые две силовские 2-подгруппы группы пересекаются тривиальным образом, в частности, для любой инволюции; 2) - группа Фробениуса с ядром и циклическим неинвариантным множителем порядка, действующим транзитивно на множестве ; 3) - группа диэдра; 4) если - подгруппа в и обладает нормальной подгруппой нечетного порядка, то - группа диэдра; 5) порождается любыми двумя силовскими 2-подгруппами; 6) все инволюции из сопряжены [4]. Предложение 3. Расширением локально конечной группы при помощи локально конечной группы есть локально конечная группа [5]. Предложение 4. Пусть - конечная подгруппа бесконечной 2-группы . Тогда [6]. Предложение 5. Если некоторая силовская 2-подгруппа группы Шункова конечна, то любая силовская 2-подгруппа группы сопряжена с [6]. Предложение 6. Произвольная группа, порядки элементов которой не превосходят 4, локально конечна [7; 8]. Предложение 7. Бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву подгруппу [5]. Предложение 8. Пусть локально конечная группа является объединением цепочки конечных простых групп Шевалле, лиев ранг которых ограничен в совокупности. Тогда - простая группа Шевалле конечного лиева ранга над локально конечным полем [9-12]. Предложение 9. Пусть G = U3(2n), - силовская 2-подгруппа группы и. Тогда: 1) , где - инволюция и B Bv = H - подгруппа Картана; 2) P - группа периода 4, ступени нильпотентности 2, и; 3) любые две силовские 2-подгруппы группы имеют тривиальное пересечение; 4) если - инволюция из , то, где - циклическая группа, причем и ; 5) , где - циклическая группа порядка, где , если 3 делит число, и в противном случае; 6) , где - подгруппа из утверждения 4, и, причем инвертирует и централизует; 7) - группа Фробениуса с неинвариантным множителем, действующим транзитивно на множестве инволюций группы ; 8) , где и - силовская 2-подгруппа в ; 9) - группа Фробениуса с ядром и дополнением, при этом фактор-группа либо транзитивна на множестве неединичных элементов фактор-группы , либо имеет ровно 3 орбиты; 10) порождается любой парой своих силовских 2-подгрупп; 11) для любого простого-элемента подгруппа имеет четный порядок; 12) [13]. Предложение 10. Группы Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка содержит бесконечную локально конечную подгруппу [14]. Предложение 11. Пусть содержит лишь конечное число элементов конечного порядка, тогда все они составляют в конечную вполне характеристическую подгруппу [15]. Предложение 12. Группа Шункова насыщенна группами из множества , обладающая периодической частью , которая изоморфна для подходящего локально конечного поля характеристики 2 [16]. 3. Доказательство теоремы Предположим обратное, пусть - контрпример, а - насыщающее множество групп для . Лемма 1. содержит бесконечно много элементов конечного порядка. Доказательство. Предположим обратное. Тогда по лемме Дицмана (предложение 11) обладает периодической частью , которая по условию насыщенности изоморфна либо , либо для подходящих и . Противоречие с выбором . Лемма доказана. Лемма 2. Пусть - инволюция из . Тогда содержит бесконечно много элементов конечного порядка. Доказательство. Предположим обратное. Тогда порядки групп из ограничены в совокупности (предложение 2, пункт 3; предложение 3, пункт 2; предложение 9, пункт 6). Следовательно, и порядки конечных подгрупп из также ограничены в совокупности. По лемме 1 группа содержит бесконечную локально конечную подгруппу, следовательно, содержит конечную подгруппу сколько угодно большого порядка, что невозможно. Лемма доказана. Лемма 3. Если группа удовлетворяет условию теоремы, то все инволюции в сопряжены. Доказательство. Пусть - произвольные инволюции из . Тогда - конечная группа, и по условию теоремы , где или . По предложению 1 (пункт 5), предложению 2 (пункт 2) и предложению 9 (пункт 7) инволюции и сопряжены в . Лемма доказана. Лемма 4. В найдутся такие конечные группы и , что , , но ни для какого . Доказательство. Предположим обратное. Тогда множество для может иметь одну из следующих двух взаимоисключающих структур: , (1) . (2) Но в случае (1) обладает периодической частью для подходящего локально конечного поля [17], а в случае (2) обладает периодической частью для подходящего локально конечного поля [6]. Противоречие с выбором . Лемма доказана. Пусть и из леммы 4. Обозначим через силовскую 2-подгруппу из , а через силовскую 2-подгруппу из , где и - подгруппы группы . Пусть далее , а - ее силовская 2-подгруппа. Мы будем говорить, что типа (соответственно), если (соответственно . Мы будем говорить также, что типа (соответственно типа ), если изоморфна силовской 2-подгруппе из , и (соответственно изоморфна силовской 2-подгруппе из , и . Обозначим через некоторую силовскую 2-подгруппу группы . Доказательство теоремы для случая, когда S - конечная группа. По предложению 5 можно считать, что и . Следовательно, типа, а - элементарная абелева, и либо , либо , (предложения 1, 2). Так как - конечная группа, то порядок групп типа ограничен в совокупности, и множество содержит лишь конечное число неизоморфных подгрупп типа , их порядки ограничены в совокупности. Из таких же соображений неизоморфных групп типа также конечное подмножество в , и их порядки ограничены в совокупности. Рассмотрим в конечную подгруппу типа , . В этом случае силовская 2-подгруппа группы - - элементарная абелева группа порядка 4. Здесь . По предложению 1 , где - циклическая группа порядка и - нечетное. По предложению 9 (пункты 3, 4) . В этом случае , что невозможно, так как - элемент нечетного порядка. Противоречие. Следовательно, порядок всех групп из ограничен в совокупности некоторым числом . Однако, - группа Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка и, следовательно, содержит бесконечную локально конечную подгруппу (предложение 10). Следовательно, содержит конечную подгруппу со свойством . По условию насыщенности, т. е. . Противоречие. Теорема для случая, когда - конечная группа, доказана. Доказательство теоремы для случая, когда S - бесконечная группа. Докажем следующую лемму. Лемма 5. - локально конечная группа, и для любого. Доказательство. Предположим, что для некоторого. Обозначим через инволюцию из. По лемме 3 все инволюции в сопряжены, и, следовательно, можем считать, что, где - конечная 2-подгруппа из типа . Обозначим через элемент из порядка четыре со свойством и . Рассматривая конечную группу , заключаем, что она лежит в а так как она содержит две различные подгруппы порядка 4, то она лежит в некоторой подгруппе типа . не может быть типа, так как в последней централизатор инволюции является группой диэдра, а в группе диэдра централизатор инволюции содержит только одну циклическую порядка четыре, если она есть (предложение 1). Это означает, что в найдется инволюция такая, что . Конечная группа . Поскольку содержит элемент порядка 8, то , где . Тогда - группа диэдра. Но тогда и, хотя, с другой стороны,. Противоречие. Итак, для любого , и по предложению 6 - локально конечна. Лемма доказана. Лемма 6. Все инволюции из лежат в Доказательство. По лемме 5 - бесконечная локально конечная группа экспоненты 4. Так как содержит бесконечную абелеву группу (предложение 7), то содержит элементарную абелеву подгруппу порядка 8. Предположим, что - инволюция из и Тогда в найдется такой элемент , что . Рассмотрим конечную подгруппу . По условию насыщенности она лежит в некоторой конечной 2-подгруппе типа и лежит в . Значит . Противоречие. Лемма доказана. Лемма 7. Для любого со свойством следует, что. Доказательство. Предположим обратное. Пусть - инволюция из , и . Предположим, что. Пусть - другая, отличная от , инволюция из . Конечная группа. Если - группа диэдра, то и . Обозначим через силовскую 2-подгруппу из , содержащую . Как было показано в лемме 7, все инволюции из лежат в. Но . Противоречие. Следовательно, лежит в некоторой конечной группе типа, т. е. Так как в этом случае - 2-группа и - силовская 2-подгруппа из , то и. Противоречие с выбором . Лемма доказана. Лемма 8. Пусть - силовская 2-подгруппа из и . Тогда . Доказательство. Пусть и . Возьмем такой элемент, что. По лемме 7 . Выберем инволюции и . По лемме 6 . Следовательно, группа - конечна, является 2-группой и вложима, по условию насыщенности, в некоторую конечную 2-подгруппу и - типа. Следовательно, инволюции перестановочны. В силу произвольности выбора получаем, что - элементарная абелева 2-группа, которая лежит в некоторой силовской 2-подгруппе группы . По лемме 7 и лежат в . Следовательно . Лемма доказана. Лемма 9. Все силовские 2-подгруппы из сопряжены. Доказательство. Пусть - другая, отличная от , силовская 2-подгруппа группы . Так как все инволюции из сопряжены, то для некоторого. Но тогда по лемме 8 . Лемма доказана. Лемма 10. Пусть и. Тогда . Доказательство. Предположим обратное, что, и пусть - силовская 2-подгруппа из . Как известно, - группа диэдра (предложение 1). Так как - силовская 2-подгруппа, то по лемме 6 и. Но это возможно (см. доказательство теоремы для случая, когда - конечная группа) только для случая , и , . Во втором случае , и мы попадаем под утверждение леммы. В первом случае , где и . Пусть - инволюция из и . Так как - группа Шункова, то - конечная группа, которая по условию насыщенности лежит в некоторой группе . Очевидно, и . Следовательно, или для подходящих и . Поэтому группу мы можем выбросить из насыщающего множества. Лемма доказана. Лемма 11. Подгруппа обладает периодической частью, где - локально циклическая периодическая группа без инволюций, , , - группа Фробениуса с ядром и неинвариантным множителем , , SH / Z(S) = = - группа Фробениуса с ядром , неинвариантным множителем . Доказательство. По леммам 4, 8 - группа Шункова без инволюций, содержащая бесконечно много элементов конечного порядка. Возьмем элемент и - простое число, не равное 2. Тогда для любого - конечная группа. По теореме Шмидта (предложение 3), ее полный прообраз в , группа локально конечна. Пусть и для некоторых. Тогда . Выберем в конечную подгруппу типа. В силу замечания, сделанного выше, группа конечна и вложима в некоторую конечную простую неабелеву подгруппу группы типа . Обозначим ее через . Из способа выбора вытекает, что где . Теперь из предложения 9 (пункты 5-7) заключаем, что и для некоторого. Так как, то в . В силу произвольности выбора из получим, что. Пусть - другая, отличная от, подгруппа простого порядка из . Точно так же, как и для , показывается, что . Следовательно, - конечная элементарная абелева подгруппа порядка из . Её полный прообраз в группа - локально конечная по теореме Шмидта (предложение 3) (здесь такой элемент из , что Теперь выбираем в конечную подгруппу типа , а конечную подгруппу вкладываем по условию насыщенности в конечную подгруппу типа , которую обозначим через . Из предложения 9 (пункты 5-7) получаем, что, где. Но тогда, (лемма 8). Противоречие с выбором . Итак, для любого содержит единственную подгруппу порядка . Так как - группа Шункова, то, используя приведенную выше технику, получаем, что обладает периодической частью которая локально циклическая, а ее полный прообраз в есть , где - локально циклическая подгруппа. Кроме того, что все инволюции из сопряжены в действует транзитивно на множестве инволюций из , и - группа Фробениуса. Лемма доказана. Лемма 12. Для любого нетривиального элемента выполняется . В частности, . Доказательство. Группа абелева, и действует на без неподвижных точек. Поэтому . Действительно, если , то , где , а . Тогда , , . Противоречие с выбором . Предположим, что существует элемент в и - конечного порядка. Тогда. Пусть - инволюция из . Тогда - конечная группа диэдра порядка для некоторого . Если чётно, то и централизуют инволюцию из . По лемме 8 , и, и, противоречие. Таким образом, нечётно, и значит существует инволюция группы такая, что . Следовательно, , где . В частности, . Так как , инволюция нормализует единственную силовскую 2-подгруппу группы , и если, то согласно лемме 8, и, противоречие. Отсюда , и поскольку только в случае , то . Значит централизует . Все инволюции группы сопряжены, поэтому является -элементом и одновременно элементом. Это невозможно в силу леммы 11. Лемма доказана. Лемма 13. насыщена . Доказательство. Предположим обратное. Тогда в найдется такая конечная подгруппа , что и ни для какой подгруппы из , такой что (лемма 10). Положим , где и из леммы 11. Пусть - подгруппа Бореля из . По лемме 9, 11 . Следовательно , где - подгруппа Бореля в . Возьмем в элемент нечетного простого порядка такой, что (предложение 2). В существует инволюция такая, что и для любого . В существует инволюция такая, что для любого . Рассмотрим группу , по условию насыщенности или . По лемме 12 - конечная группа из . Следовательно, . Так как - π(Н1)-элемент, то (лемма 11). Пусть . Тогда , и можно рассмотреть группу , которая по условию насыщенности лежит в некоторой , но в такая ситуация невозможна ( - одновременно π(Н1)-элемент и π(Н0)-элемент). Остается . Тогда и по предложению 9 и . Поскольку - инволюция, то либо , либо . Последнее, как показывалось выше, невозможно. Следовательно , и . Противоречие с выбором . Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы. По лемме 13 насыщена группами из множества . Следовательно, G обладает периодической частью T(G), которая изоморфна U3(Q) для подходящего локально конечного поля Q характеристики 2 (предложение 12). 4. Заключение Доказано, что группа Шункова, насыщенная множеством групп вида L2(pn), U3(2n), обладает периодической частью T(G), изоморфной либо , либо U3(Q), где P и Q - подходящие локально конечные поля.

作者简介

E. Pronina

Krasnoyarsk state Аgrarian University

44 I, Stasova St., Krasnoyarsk, 660130, Russian Federation

A. Shlepkin

Siberian Federal University

Email: ak_kgau@mail.ru
79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

参考

补充文件