SHUNKOV GROUPS

全文:

Введение. Под условием конечности в теории групп понимается любое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа, которая этим свойством не обладает [1]. Примерами свойств такого рода являются локальная конечность, локальная нормальность, конечность всех классов сопряженных элементов, конечность всех убывающих цепей подгрупп (условие минимальности для подгрупп) и многие другие свойства. Систематическое изучение групп с теми или иными условиями конечности началось в конце 30-х гг. ХХ в. и в значительной степени было связано с исследованием специальных групп и близких к ним локально разрешимых групп с условием минимальности для подгрупп С. Н. Черниковым [2; 3] в 1939, 1940 гг. Владимир Петрович Шунков уже десять лет назад указал на связь теории групп с космической отраслью. Как будто предчувствуя заказ на эту связь его теории с космосом, в 2005 г. он написал работу «Теория групп и космос» [4]. В работе 1970 г. [5] В. П. Шунков использует термин «бипримитивно конечные группы» для класса групп, ставших в настоящее время классом групп Шункова, но только для периодических групп, и сечения берутся по экстремальным (черниковским) подгруппам. Определение. Пусть - периодическая группа, p - некоторое простое число, удовлетворяющее условию: если H подгруппа из , N - инвариантная экстремальная подгруппа в H, то в фактор-группе H/N любые два элемента порядка p порождают конечную подгруппу. Тогда назовем бипримитивно конечной относительно p. Если бипримитивно конечна относительно любого p, то группа в 1970 г. называлась бипримитивно конечной. В дальнейшем понятие совершенствовалось, и в окончательном виде, который используется и теперь, закрепилось следующее определение. Определение. Группа называется сопряженно q-бипримитивно конечной, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе любая пара сопряженных элементов порядка q порождает конечную подгруппу. В частности, любая периодическая группа сопряженно 2-бипримитивно конечна. Если группа является сопряженно q-бипримитивно конечной относительно любого простого числа q, то называется сопряженно бипримитивно конечной группой. В это же время были введены условия. Определение. Группа называется слабо q-бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. Определение. Группа называется слабо бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. Определение. Группа называется слабо q-сопряженно бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка q, сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу. Определение. Группа называется слабо сопряженно бипримитивно конечной, если ее два любых элемента простого порядка, сопряженных между собой, порождают конечную подгруппу. Понятие сопряженно бипримитивно конечной группы в последнем варианте введено Владимиром Петровичем Шунковым в 1975 г. в тезисах доклада на Всесоюзном алгебраическом симпозиуме. Ссылка на этот факт имеется в работе А. Н. Остыловского [6]. Намек на появление нового термина для класса сопряженно бипримитивно конечных групп сделал сам В. П. Шунков. Когда в 1975 г. Д. И. Зайцев высказал мысль о громоздком названии этого класса групп, Владимир Петрович ответил в шутку: «Так назовите их группами Шункова». Но тогда этот класс еще не получил достаточного применения и использовался только в работах автора и трех его учеников. В 80-е годы ХХ в. ситуация сильно изменилась: класс сопряженно бипримитивно конечных групп упоминался уже во многих докладах на международных конференциях, десятки ученых посвящали этому классу групп свои статьи, защищались диссертации. И уже на заседании диссертационного совета официально отметили, что пора бы подумать о более приемлемом названии для широко используемых групп. В самом начале ХХI в. В. Д. Мазуров предложил назвать сопряженно бипримитивно конечные группы группами Шункова. И постепенно, то в одной статье, то в другой термин заменялся на новый. И теперь уже трудно встретить старый термин, а термин «группы Шункова» стал таким же естественным, как термин «группы Черникова». Определение. Группа называется группой Шункова, если для любой ее конечной подгруппы H в фактор-группе любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу. В настоящее время группы Шункова встречаются в работах А. А. Дуж, Л. Гамуди, В. О. Гомера, М. Н. Ивко, А. Н. Измайлова, Ал. Н. Остыловского, А. Н. Остыловского, И. И. Павлюка, А. М. Попова, А. В. Рожкова, А. Г. Рубашкина, Е. И. Седовой, В. И. Сенашова, А. И. Созутова, Н. Г. Сучковой, А. В. Тимофеенко, Г. А. Трояковой, К. А. Филиппова, А. А. Черепа, Н. С. Черникова, А. А. Шафиро, А. К. Шлепкина, В. П. Шункова. Результаты по группам Шункова. Первым результатом В. П. Шункова, касающимся класса бипримитивно конечных групп, является следующая теорема. Теорема 1 (В. П. Шунков [5]). Если в бипримитивно конечной р-группе централизатор некоторого элемента простого порядка - экстремальная группа, то сама группа экстремальна. Напомним, что экстремальным называлась во время написания статьи В. П. Шункова конечное расширение абелевой группы с условием минимальности для подгрупп (в дальнейшем эти группы получили название черниковских или групп Черникова). Теорема 2 (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная р-группа (а при p = 2 произвольная 2-группа) обладает конечной максимальной элементарной абелевой подгруппой, то группа экстремальна. Следствие (В. П. Шунков [5]). Если бипримитивно конечная р-группа (а при р = 2 произвольная 2-группа) удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп, то она экстремальна. Теорема 3 (В. П. Шунков [7]). Бесконечная бипримитивно конечная группа содержит собственную бесконечную абелеву подгруппу. Теорема 4 (А. И. Созутов, В. П. Шунков [8]). Бипримитивно конечная группа, у которой все собственные бесконечные подгруппы абелевы, локально конечна. Отметим один результат М. В. Носкова, обобщающий предыдущую теорему А. И. Созутова и В. П. Шункова. Теорема 5 (М. В. Носков [9]). Бипримитивно конечная группа с собственными бесконечными подгруппами нильпотентности класса 2 локально конечна. Чтобы множество групп считалось классом групп, необходима замкнутость его относительно взятия подгрупп и фактор-групп. Докажем две теоремы в этом направлении: Теорема 6. Класс групп Шункова замкнут относительно взятия подгрупп. Доказательство. Пусть H - подгруппа группы Шункова G. В группе H подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы G, поэтому они конечны. В фактор-группепо конечной подгруппе K подгруппы, порожденные двумя сопряженными элементами простого порядка, являются подгруппами группы , поэтому также конечны по определению группы Шункова. Следовательно, группа H является группой Шункова. Теорема доказана. Теорема 7. Класс групп Шункова замкнут относительно взятия фактор-групп по конечным группам. Доказательство. Пусть K - конечная нормальная подгруппа группы Шункова G. В фактор-группе = G/K подгруппы, порожденные сопряженными элементами простого порядка, конечны по определению группы Шункова. В фактор-группе по конечной подгруппе группы рассмотрим два сопряженных элемента простого порядка a, ag. Поскольку они нормализуют подгруппу K, то их образы b, bg в фактор-группе , очевидно, имеют простой порядок и сопряжены по теореме 4.2.1 из [10]. Группа конечна по определению группы Шункова, тогда и группа также конечна, поскольку ее полный прообраз содержится в конечном полном прообразе группы в группе G. Теорема доказана. Теорема 8 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11]). Пусть - q-бипримитивно конечная группа со слабым условием минимальности для абелевых q-подгрупп. Если в централизаторе любого нецентрального q-элемента силовские q-подгруппы сопряжены, то и в силовские q-подгруппы сопряжены. В работе [11] А. Н. Остыловский и В П. Шунков доказали, что в q-бипримитивно конечной группе со слабым условием минимальности силовские q-подгруппы сопряжены. В этой же работе ими для периодической бипримитивно конечной группы доказана эквивалентность слабого условия минимальности и условия минимальности. В следующей теореме группа Шункова и группа Черникова связываются в классе групп без элементов второго порядка через условие минимальности для абелевых подгрупп. Теорема 9 (А. Н. Остыловский, В. П. Шунков [11; 12]). Сопряженно бипримитивно конечная группа, не содержащая инволюций и удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп, является разрешимой черниковской. А. И. Созутов доказал существование m-порождённых бесконечных слабо бипримитивно конечных групп Фробениуса для четного периода nq такого, что n/2 , q - простое число, взаимно простое с n [13]. Приведем ряд результатов А. И. Созутова, характеризующих группы Шункова и близкий к ним класс групп слабо сопряжено бипримитивно конечных групп и бипримитивно конечных групп (включающих в себя группы Шункова). Теорема 10 (А. И. Созутов [13; 14]). Слабо сопряженно бипримитивно конечная группа тогда и только тогда изоморфно вложима в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы, когда все ее элементы простых порядков порождают локально конечную подгруппу T одного из типов: 1) T - локально циклическая группа; 2) T = C S, где S SL2(3), C - локально циклическая {2,3}'-группа; 3) T = C S, S SL2(5), C - локально циклическая {2,3,5}'-группа. Теорема 11 (А. И. Созутов [13; 14]). В неинвариантном множителе H слабо бипримитивно конечной группы Фробениуса элементы простых порядков порождают подгруппу типов 1-3 предыдущей теоремы. Теорема 12 (А. И. Созутов [13; 14]). Пусть G - группа Шункова, H - ее собственная подгруппа, содержащая неединичный элемент конечного порядка, и (G,H) - пара Фробениуса. Тогда G обладает периодической частью T, являющейся группой Фробениуса с локально конечным неинвариантным множителем H T. Теорема 13 (А. И. Созутов [13; 14]). Неинвариантный множитель бипримитивно конечной группы Фробениуса обладает локально конечной периодической частью, изоморфно вложимой в группу регулярных автоморфизмов абелевой группы. В. П. Шунков в 2003 г. охарактеризовал почти слойно конечные группы в классе локально конечных групп. Теорема 14 (В. П. Шунков [15]). Локально конечная группа G тогда и только тогда почти слойно конечна, когда в G выполняется условие: нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы из G - почти слойно конечная группа. Из этой теоремы В. П. Шункова берут начало характеризации почти слойно конечных групп в классе групп Шункова. Приведем одну из таких характеризаций. Теорема 15 (В. И. Сенашов [16; 17]). Пусть группа Шункова G содержит сильно вложенную подгруппу, обладающую почти слойно конечной периодической частью. Если в G нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью, то и сама группа G обладает почти слойно конечной периодической частью. Следующая теорема устанавливает строение бесконечной силовской 2-подгруппы в группах Шункова, не обладающих почти слойно конечной периодической частью, при условии, что нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Теорема 16 (В. И. Сенашов [18]). Пусть в группе Шункова G, не обладающей почти слойно конечной периодической частью, нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью. Если некоторая силовская 2-подгруппа группы G бесконечна, то она является расширением квазициклической 2-группы при помощи обращающего автоморфизма. Взаимоотношения класса почти слойно конечных групп с близкими классами групп установлены автором в [19]. Приведем результат Н. С. Черникова, устанавливающий связь между классами групп Шункова и Черникова. Теорема 17 (Н. С. Черников [20]). Периодическая группа Шункова с условием минимальности для неабелевых подгрупп - черниковская. А. К. Шлёпкин получил свойства групп Шункова с условием примарной минимальности. Теорема 18 (А. К. Шлепкин [21]). Группа Шункова с условием примарной минимальности обладает локально конечной периодической частью. Теорема 19 (А. К. Шлепкин [21]). Периодическая группа Шункова с условием примарной минимальности локально конечна и почти локально разрешима. Н. Г. Сучкова совместно с В. П. Шунковым описывала группы Шункова с условием минимальности для абелевых подгрупп. Теорема 20 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [22]). Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа, удовлетворяющая условию минимальности для абелевых подгрупп, является черниковской. Теорема 21 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [23]). Пусть - сопряженно бипримитивно конечная группа, содержащая инволюции, и - периодическая подгруппа для любой инволюции i. Если в группе любая локально конечная подгруппа с инволюциями удовлетворяет минимальности для абелевых подгрупп, то - черниковская группа. Теорема 22 (Н. Г. Сучкова, В. П. Шунков [24]). Пусть i - автоморфизм порядка 2 периодической сопряженно бипримитивно конечной группы T без инволюций. Если в T все i-допустимые локально конечные подгруппы удовлетворяют условию минимальности для абелевых подгрупп, то T - черниковская группа. Г. А. Троякова изучала строение периодических групп Шункова с черниковскими силовскими 2-подгруппами. Теорема 23 (Г. А. Троякова [25]). Пусть G - бесконечная периодическая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием: любая локально конечная подгруппа из G либо черниковская, либо локально нильпотентна. Если силовские 2-подгруппы из G - черниковские, то группа G либо черниковская, либо G/Z(G) разлагается в прямое произведение силовских подгрупп. М. Ю. Бахова в [26] установила существование бипримитивно конечной, но не бинарно конечной группы. А. А. Череп в [27] доказал, что существует бипримитивно конечная группа, не обладающая периодической частью, и в [28] он доказал, что для любого простого числа p существует бипримитивно конечная группа G такая, что = {p} и множество периодических элементов группы G не составляет подгруппу - ее периодическую часть. Отметим, что А. А. Череп в [28] установил существование бипримитивно конечной группы G, обладающей нормальной элементарной абелевой подгруппой B такой, что фактор-группа G/B не является даже слабо сопряженно бипримитивно конечной. В то же время в этой же работе показано, что разрешимая сопряженно бипримитивно конечная группа бипримитивно конечна. То, что некоторые группы Алёшина не являются группами Шункова, установил А. В. Тимофеенко. Теорема 24 (А. В. Тимофеенко [29]). Для любого простого числа и каждого существует несопряженно бипримитивно конечная финитно аппроксимируемая r-порожденная p-группа. Недавно им совместно К. Гуптой удалось установить, какие из групп Голода являются группами Шункова, а какие нет. Напомним, что группа называется сопряженно n-конечной, если любые ее n сопряженных элементов порождают конечную подгруппу. В следуюшей теореме устанавливается связь между классами сопряжено k-конечных групп и n-конечных групп для натуральных чисел n и k. Теорема 25 (А. В. Рожков [30]). Пусть p - простое число, 1 n k - натуральные числа. Тогда существует конечно порожденная финитно аппроксимируемая сопряжено k-конечная, n-конечная, но не (n + 1)-конечная p-группа. В частности, p-группа может быть не бинарно конечной, но сопряженно k-конечной, где k сколь угодно велико. Группы Шункова с условием насыщенности в последнее время интенсивно изучаются в работах А. А. Дуж, А. А. Кузнецова, А. Г. Рубашкина, К. А. Филиппова, А. К. Шлепкина. С результатами этих авторов в данном направлении можно познакомиться в обзоре [31]. Заключение. Класс групп Шункова уже достаточно давно получил признание у специалистов по теории групп. Эта работа является первой работой, посвященной обзору результатов, касающихся групп Шункова. Показана связь класса групп Шункова с классами групп Черникова, групп Алёшина, почти слойно конечных групп, периодических групп. Результаты статьи найдут применение при изучении бесконечных групп с условиями конечности.

作者简介

V. Senashov

Institute of Computational Modelling SB RAS; Siberian Federal University

Email: sen1112home@mail.ru
50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation; 79, Svobodny Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

参考

补充文件