ABOUT ANALYTICAL CONTINUATION OF THE MULTIPLE POWER SERIES WITH THE m-HOMOGENEOUS POLYNOMIAL MATRIX METHOD TO THE GENERALIZED STAR MITTAG-LEFFLER

Full Text

В одномерном случае продолжение степенного ряда в максимальную звездную область впервые было построено Миттаг-Леффлером, поэтому такая область называется звездой Миттаг-Леффлера или главной звездой данного степенного ряда. Известны обобщения этого факта на случай нескольких переменных для класса звездных областей. В связи с новой волной интереса к суммированию расходящихся рядов, являющихся формальными решениями дифференциальных уравнений (например, [1-3]), в настоящей работе предлагается матричный метод, суммирующий ряд из полиномов в параболической звезде Миттаг-Леффлера или х-звезде Миттаг-Леффлера. Параболическая звезда Миттаг-Леффлера является естественным обобщением обычной звезды, но не всегда с ней совпадает. В работе приводится пример функции, у которой (1, 2)-звезда не совпадает с главной звездой. Пусть X є Rn ; x1 > 0, ..., xn > 0. Множество G в C n назовем х-параболическим, если вместе с каждой точкой z0 = (zj0, ..., z0) в множестве G содержится х-отрезок {z є Cn : z1 = z014, ..., zn = z 0ntxn : Vt є [0, 1]} c G . Область D из C n с центром в точке а назовем обобщенно m-круговой m = (m1, ..., mn ) mj є N и m1, ..., mn взаимно просты), если вместе с каждой точкой z0 є D область D содержит точки {z є Cn : z1 = a1 + (z^ - al)e'miQ, ..., zn = an +(z° - an )e'mne ; v^ [0,2π]^ т. е. образ окружности, проходящей через точку z0 . Если область D содержит образ всего круга, то область называется полной, т. е. вместе с точкой z0 содержит множество {z є Cn : z1 = a1 + (z^ - a^m1, ..., zn = an + (z0 - an^mn ; νλ :|λ|< 1}. Если функция f(z) голоморфна в некоторой окрестности начала координат в C n , то максимальную х-параболическую область G xf , в которую голоморфно можно продолжить функцию f, назовем х-параболической звездой Миттаг-Леффлера функции f или просто х-звездой. В случае одного переменного всякая х-звезда Мит-таг-Леффлера совпадает с обычной звездой Миттаг-Леффлера или главной звездой данного степенного ряда. В случае многих переменных это не так. Пример. Функция f(z1, z2) = (1 - z2 + z^)-1 имеет главную звезду, отличную от (1,2)-звезды Миттаг-Леффлера. Это вытекает из того, звезда функции f в вещественном подпространстве C 2 не совпадает с (1,2)-звездой в силу особенностей функции f. Таким образом, можно указать функцию, у которой (1, 2)-звезда несет больше информации, чем главная звезда или (1,1)-звезда. Известно, что область сходимости n-кратного степенного ряда f (z1 ...zn ) = Σ ak1...knz1k1...znkn (1) l|k||>0 является полной логарифмически выпуклой n-круговой областью, содержащей нуль. Если члены ряда (1) переставить, то его область сходимости может измениться. Классическая теорема о переразложении ряда (1) по однородным полиномам приводит к круговым областям и имеется, например, в [4; 5]. 88 Математика, механика, информатика Фиксируем m = (m^...,mn), mj є Nn и ml, ..., mn взаимно просты. Все члены ряда (1), у которых мультииндексы удовлетворяют уравнению < k,m >= k1m1 +... + knmn = ν , сгруппируем в полиномы Pv (z) = Σ %...knzÎl ...zn" <k ,m>=v Полиномы Pv ( z ) удовлетворяют равенству Pv(tmz) = Pv(tmjz1, ..., tmnzn) = tvPv(z) для произвольных Vt є C; Vz є Cn. Такие полиномы Pv (z) обычно называют (m, v)-однородными или (m, v)-взве-шенными. Они являются естественным обобщением однородных полиномов. Тогда функцию f заданную рядом (1), можно представить в виде ад f ( z ) = Σ Pv ( z). (2) v=0 Область сходимости ряда (2) - это максимальная m-круговая область, которую можно поместить в область голоморфности функции f. Область сходимости ряда (2) - полная обобщенно m-круговая область D в Cn . Верно и обратное утверждение, т. е. по аналогии с теоремой 3 из [4, с. 53], справедлива Теорема 1. Теорема 1. Любую функцию f, голоморфную в полной обобщенно m-круговой области D в Cn с центром в нуле, можно разложить в ряд (2) по m-однородным полиномам, который будет сходиться равномерно на любом компакте из D. Доказательство. Ряд (1) абсолютно сходится с достаточно малой окрестности U начала координат в D, следовательно, в этой окрестности будет сходиться и ряд (2). Возьмем произвольную точку z0 из области D, так как область D, является полной обобщенно m-круговой, существует λ 0 є C : W0 = λ0^0 є U . Ряд (2) сходится в точке w0 и задает при достаточно малых λ голоморфную функцию φ : ад f ( W) = f (λ mz ) = Σ Pv (λ^) =φ(λ) v=0 Разложение функции φ в ряд Тейлора в начале координат имеет вид ад ад φ(λ) = Σ Pv (λ mz ) =Σ Pv ( z^v (3) v=0 v=0 Функция f голоморфна в некоторой окрестности точки z, поэтому функция φ, как суперпозиция голо-морных функций, голоморфна при | λ |< 1 + ε для некоторого ε > 0, следовательно ряд (3) будет сходиться при λ = 1, что, в свою очередь, означает сходимость ряда (2) в точке z. Точка z принадлежит D с некоторой окрестностью U (z), для всех точек U (z) можно повторить рассуждения, приведенные выше, поэтому ряд (2) сходится в некоторой окрестности точки z, лежащей в D. Пусть K компактно лежит в D . Каждому z є K соответствует некоторая достаточно малая окрестность U (z) с D , в которой ряд (2) будет сходиться абсолютно и равномерно для точек U (z). Совокупность U (z) является открытым покрытием K ; выбирая из этого покрытия конечное подпокрытие, получим равномерную сходимость ряда (2) во всех точках K. Теорема 1 доказана. Зная разложение функции f по m-однородным полиномам с помощью матричного метода можно восстановить значения функции f всюду в m-звезде GiJ Миттаг-Леффлера функции f Теорема 2. Пусть функция f задана рядом (2) в некоторой непустой окрестности начала координат, m є Nn и G = GJ - ее m-звезда Миттаг-Леффлера. Тогда существует такая бесконечная матрица комплексных чисел B := {Ь01,...,bkl г}г"0, что справедлива формула: f (z) = Σ b0,ZP0(z) + ... + bk,,lPl (z). (4) l=0 Причем сходимость - равномерная на любом компакте в G, и матрица B не зависит от функции f, а зависит лишь от области G. В случае одного переменного формула (4) имеется в двухтомнике Маркушевича [6, с. 495] и называется разложением Миттаг-Леффлера. В случае многих переменных для класса звездных областей теорема 2 доказана М. Довнарович по схеме, предложенной Си-чаком [7] . Доказательство. Для произвольной точки z0 из области G найдется окрестность этой точки V(z0), компактно лежащая в G, и жорданов путь Sz0 в C , охватывающий точки 0 и 1, такие, что K := ^ ζ є Cn : ζ = ^mz) = (λ”4 z1, ..., I^zn), [λ є Sz0 ;z є V ( z0) и K компактно лежит в G. Тогда по формуле Коши имеем: f ( z) =J-J f (λ^) dL 2%ι ; λ-1 Sz0 -hJ w*ί1 - IУ1 λ I T. (5) Так как множество Sz := {λ 1 : λ є Sz } компактно z0 ^ ζ0 ) лежит в {C \[1, ад]}, то в силу известной теоремы Рун-ге функцию fi - — I можно равномерно аппрокси- λ мировать полиномами M1 от — на S. λ z0 0 89 Вестник СибГАУ. № 4(50). 2013 1-1H M (Î J (6) Подставляя (6) в (5) заметим, что из равномерной сходимости ряда (6) на любом компакте из области {C \[1, ад]}, допустимо почленное интегрирование. Полиномы из ряда (2) можно найти по формуле P1 ( z ) =-М f (λ mz) 2rciSic d λ l+1 Возьмем в качестве матрицы B коэффициенты полинома Ml . Полиномы Ml построены конструктивно в [6, с. 497] по методу П. Пенлеве и могут быть использованы вне зависимости от функции f Теорема 2 доказана.

About the authors

Eugenij Iosiphovich Yakovlev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev

Email: yei@nm.ru
Candidate of Phisical and Mathematical Sciences, associate professor, associate professor of the department of higher mathematics 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation

References

Supplementary files