Goldshtik’s problem of pasting of vortical currents of an ideal liquid in the axially symmetric case

Full Text

Постановка задачи. Стационарное вихревое течение идеальной несжимаемой жидкости в плоском случае описывается уравнением д 2y( x, y ) + 5-^(£Ly) = F (^) dx2 dy - (1) где завихренность ю = F (y); F - произвольная функция от y; y(x, y) - функция тока; dy dy Vx = -^ Vy = -- - компоненты скорости, и в dy dx осесимметрическом случае при rV^ = const -уравнением d-y(z, r) + d2y(z, r) _ 1 dy(z, r) = F(y)r- (2) dz 2 dr 2 r dr где завихренность ю = F (y)r ; r = ■Jx- + y-; 1 dy Tr 1 dy Vr =----; Vz =--- [1]. В случае ю = 0 имеем r dz r dr потенциальное течение. В работе изучаются вихревые потоки с зонами, имеющими различные завихренности, у которых общая граница - «нулевая» линия тока. Здесь не исключается возможность завихренности равняться нулю. В этом случае имеем задачу о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости, впервые предложенной М.А. Лаврентьевым применительно к отрывным течениям [2]. Если стационарное течение идеальной жидкости считать как предельное течение вязкой жидкости при вязкости, стремящейся к нулю, то в области течения, ограниченной замкнутой линией тока, F (y) = const [1]. Пусть D - ограниченная область с границей Г, ю1 > 0, > 0 . Следуя [2-4], рассмотрим задачи: - в области D требуется найти непрерывно дифференцируемое решение уравнения Ду( x, y) = ю1, если y < 0, -ю2, если y > 0, (3) в плоском и осесимметрическом случае d-y( z, r) + d-y( z, r) 1 dy( z, r) dzdrr dr I ю1г , если y < 0, J-ra2r-, если y > 0, при краевом условии y| Г =ф( s )> 0. (4) (5) уравнения (3). Это решение назовем тривиальным. Оно соответствует потенциальности течения во всей области. В [1; 6] доказано существование нетривиального (с областью отрицательности) решения задачи (3), (5) при достаточно большом значении величины ю1. В [4; 5] получено условие 4Ce_ R2 '' (6) при котором существует нетривиальное решение задачи, где R - радиус наибольшего по площади круга, который можно вписать в область D; C = maxф(s). Если D - круг радиуса R и ф(s) = C, то при выполнении (6) задача (3), (5) имеет два нетривиальных решения [4]. Существование второго нетривиального решения задачи (3), (5) при = 0 доказано в [7; 8]. В работах [9-18] рассмотрены различные задачи о склейке вихревых и потенциальных течений, например, для неограниченной области или когда завихренность является произвольной функцией от функции тока. Задача (3), (5) при ю1 = 0, < 0 описывает течение идеальной жидкости в поле кориолисовых сил [1; 9; 14]. В общем случае задачи (3), (5) функция У ( x, y ) = y 0( x, y ) + Ю- jj G ( x, y, x, y )dx1 dy1 Рассмотрим задачу (3), (5) при ю2 = 0. Имеем задачу Гольдштика о склейке вихревых и потенциальных течений [1; 6]. Гармоническая функция y0(x,y), удовлетворяющая условию (5), положительна в области D и является решением где G(x, y, x1, y1) - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа больше нуля во всей области D и тем самым является тривиальным решением задачи (3), (5). Это решение дает вихревое течение с постоянной завихренностью -w2 во всей области течения. Пусть B1 - круг наибольшего радиуса R1 такой, что B1 ç D (без ограничения общности можно считать, что его центр совпадает с началом координат), B2 - круг наименьшего радиуса R2 с центром в начале координат такой, что В2 з D . В [5] доказано, что при выполнении неравенства w2 R2- 4Ce w1--eJ-T R12 R12 задача (3), (5) имеет отличное от тривиального решение, что соответствует плоскому вихревому течению с разрывной кусочно-постоянной завихренностью. Целью работы является исследование задачи (4), (5), описывающей вихревые осесимметрические течения идеальной жидкости с разрывной завихренностью. Задача (4), (5). Тривиальное решение. Существование нетривиального решения. Пусть область D ограничена гладкой кривой а, лежащей D 49 Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55) в верхней полуплоскости r > 0, и отрезком [а, ß] оси z. Краевое условие (5) запишем в виде = r ф(s) > 0. Lr2y = r2L y, (8) - + - u(p) = - -\ ^ -L(p - a ), если p< a, 10 VF ю- - C1 -2p + -1 + C2, если a <p<R. 10 p3 - (13) Удовлетворяя дополнительным условиям (12), получаем уравнение для нахождения величины a: (7) Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости равенства: (ю1 +ro2)a2(a3-R3) + 151 C-^j(a--R-) |R3 =0. Обозначим x = -, 0 < x < 1 и введем функцию R y(x) = x-(x3 -1) +15 ( n \ -ü(x- -1) ую 2R2 10 Ю = t (y)=d!y(£Lrl+dfyCfir) -1 дy(z, r ) dz2 dr2 r dr ’ * d2y (z, r ) d2y(z, r ) 3 dy (z, r ) L (y) =-^-- +-^-- +---- . dz2 dr2 r dr Будем искать решение задачи (4), (5) в виде y = r2u(z,r). В соответствии с (8) задача (4), (5) переформулируется в следующем виде: требуется найти непрерывно дифференцируемое в области D решение уравнения d-u(z,r) + d-u(z, r) + 3 du(z,r) =| ю1, если u < 0, (9) dz- dr- r dr [-ю2, если u > 0, ограниченное при r ^ 0, при краевом условии u|а=ф(s) > 0. (10) Пример. Пусть область D - полукруг r2 + z2 < R2 (r > 0), и условие (10) имеет вид ul = C > 0. la Это соответствует течению в шаре радиуса R. Перейдем в уравнении (9) к полярным координатам и будем искать решение, зависящее только от p, p2 = z2 + r2. Имеем d-u(p) 4 du(p) = [ю1, если 0 <p< a, Исследуем функцию y( x). Имеем y (0) = 15 ( Сю ю ^ kù^R2 10 > 0, y(1) = 15^ > 0. (14) ю-R Далее yr(x) = 5x - 2x - 3юx = 0. 2 + 3w , Отсюда x* = 3-5- <1 - корень полученного уравнения. Требуем y(x*) < 0. Это приводит к выполнению неравенства 2ю1 + 5ю2 f ( 10С , 2 1-2 1 > I ---+ ю2 | (ю1 +ю2) . (15) 2 R Тогда с учетом (14) кривая y(x) будет пересекать ось Ox на интервале (0,1) в двух точках x1, x2. Беря в (13) a = Rx1 и a = Rx2, получаем два нетривиальных решения. Полагая в (15) ю2 = 0 , получаем неравенство ю1 > 25 2 ) R (16) (11) dp- p dp [-ю2, если a <p <R, и дополнительные условия u(R) = C, u(a) = 0, u'(a - 0) = u'(a + 0), u(p) ограничена при 0 . (12) Функция u(p) = w-(R- - r-) + C 10 является тривиальным решением задачи. Ищем нетривиальные решения в виде выполнение которого дает условие существования двух нетривиальных решений, когда в одной из зон течение потенциально [4]. Целью дальнейшего исследования является нахождение условий, при которых задача (4), (5) имеет нетривиальное решение. Существование нетривиального решения. Для оператора L* известно фундаментальное решение [19] . П E ( r, zl, r1 ) = - j|"(z - z1 )- + r1- + n 0 [ + r- - 2r1r cosß] sin- ßdß, (17) которое как относительно z, r, так и z1, r1 при z Ф z1, r Ф r1 является решением уравнения а_ LE = 0. После замены 1+cos ß = t E = -j [(z - z1) + (r + r1) - 2rr1t] 312 ф(2 -1)dt - 50 Математика, механика, информатика л/л R13F| -,3,3;1 -а 2 2 где F (a, b, у; c ) - гипергеометрическая функция [20], h=4. R? где R2 = (z - z1)2 + (z - z1)2, R12 = (z - z1)2 + (z + z1)2. Принимая во внимание формулу [21] F(a, b, a + b;1 - h) = = r(a + b)r-1 (a)r-1 (b)F (a, b, 1, h) ln h + f(a + b) x r-(a)r-(b) xZ^r(a + k)r(b + k) [2 Г (k + 1) r'(a +k) r'(b +k)]/k X^^ /7|\- [^^ .1 N 7N Tl/Г . 7N]h k=0 (k !) получаем r(k +1) r(a + k ) r(b + k ) 3 уравнения Lu (z,r) = 0 максимальное и минимальное значение принимает только на а . Отсюда следует, что u0 > 0 в D. Функция u*(z, r) = u0(z, r) +-^^ jj r3 G(r, z, r1, z1)dr1dz1 (19) 8 D 1 в области D положительна, удовлетворяет уравнению L*u*(z, r) = -ю2 и тем самым является тривиальным решением рассматриваемой задачи (9), (10). Это соответствует вихревому течению во всей области с одной постоянной завихренностью -ю2. Для нахождения нетривиального решения рассмотрим последовательность вспомогательных задач J «>1,(r^z)^Ba, Lu„ = і ю ю - (20) J-?L(1 - th(un ■ n)) -??(1+th(un ■ n)), (r, z) є D \ Ba 2 - ? E(z, r, z1, r1) =--(rr1)2ln[(z - z1) + + r12 + r2] + R ( z, r, z1, r1), где R - регулярная в области D функция. Будем предполагать, что кривая с подходит к точкам a и ß под углами, отличными от нуля и п соответственно. В [4; 20] для уравнения L*u = 0, с использованием фундаментального решения (17), введена функция Грина G(r, z, r1, z1) ( G > 0 в области D) и доказано, что функция V(z, r) = -1 jj f (z r )r13G(r, z, r, z1 )dzd (18) 8 D внутри области D обладает свойствами аналогичными свойствам ньютоновского потенциала с логарифмитической особенностью на плоскости, на границе равняется нулю и непрерывна при r1 -■ 0. Причем, если f ( z, r ) ограничена и измерима в области D, то в любой подобласти В с D функция V ( z, r ) имеет первые производные, удовлетворяющие условию Гельдера с константой Гельдера, зависящей только от max | f | и расстояния области В до границы области D. Если функция f (z, r) удовлетворяет в области D условию Гельдера, то в D TV = f (z, r). Пусть функция u0(z,r) непрерывна в D, в области D удовлетворяет уравнению * Lu0 = 0 и u0|а =ф(s) >0. Существование такой функции доказано в [22]. Там же доказано, что отличное от константы непрерывное в рассматриваемой области D решение при краевом условии = ф( s), (21) где Ba - полукруг r2 + z2 < a2 (r > 0), Ba с D. Задача (19), (20) эквивалентна интегральному уравнению г(z,r) = u0(z,r) -ю jjr3G(z,r,z,r )dzd1 8 Ba - 1 Я Г13(^?і(1 - th(yn • n)) - (22) D\Ba - --?• (1 + th(yn • n)))G(z, r, z1, r1 )dz1dr1. Исходя из указанных свойств интеграла (18), следуя [1; 3], заключаем (используя теорему Шаудера), что интегральное уравнение (22) в области D \ Ba при каждом я имеет решение. Подставляя это решение в правую часть уравнения (22), определяем функцию un (z, r) во всей области D . Полученная функция - решение задачи (20), (21). Учитывая еще раз свойства интеграла (18) и применяя теорему Арцелла, устанавливаем компактность последовательности un (z, r) в пространстве непрерывно дифференцируемых в области D функций. Пусть подпоследовательность unk (z, r) сходится к непрерывно дифференцируемой функции u* . Учитывая lim i(1 - th(u ■ nk)) = nk - 2 1, если u(z,r) < 0, 0, если u(z, r) > 0, получаем, что правая часть уравнения (21) в пределе совпадает с правой частью уравнения (9). Далее, аналогично [1; 4; 9], устанавливаем, что предельная функция является непрерывно дифференцируемым решением задачи 51 Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55) du ( z, r ) + d u ( z, r ) + 3 du ( z, r ) dz2 dr2 dr (23) ю1, если (r, z) є Ba, -ю2, если (r, z) є D \ Ba , * I u = ф^). la Подберем полукруг Ba в (23) так, чтобы полученная функция u* была в нем отрицательна. Тогда она будет искомым нетривиальным решением рассматриваемой задачи. Пусть B1 - полукруг r2 + z2 < R12, r > 0, наибольшего радиуса R1 такой, что B1 ç D (без ограничения общности можно считать, что его центр совпадает с началом координат), B2 - полукруг r2 + z2 < R?2, r > 0, наименьшего радиуса R? с центром в начале координат такой, что B2 з D и Gb1, Gb? - функции Грина для областей В1, В2 соответственно. Рассмотрим функции V1 ( z, r) = jj r3G( z, r, z1, r1 )dz1dr1 - Ba - jj ^ (^ r, z1, r1 )dz1dr1, (z, r) Є BL Ba V2 ( z, r) = jj r3G( z, r, z1, r )dz1dr1 - D - jj r3GB? ( z, r, z1, r )d?1dr1, ( z, r) є D. b- Пусть Ba - полукруг z2 + r2 < a2, 0 < a < R1. Тогда LV1 = 0, (z, r) є B1, LV? = 0, (z, r) є D, V J > 0, V ?| < 0. 1 la 1 2 la Отсюда и из принципа экстремума для уравнения * LV(z,r) = 0 следует - jj r3G(z, r, z1, r )dz1dr1 < Ba < - jj ^ (^ r, z1, r1 )dz1dr1, (r, z) є BL Ba jj rj3G( z, r, z1, r1 )dz1dr1 < D < jj r13GB- (z, r, z1, r1 )dz1dr1, (r, z) є D. B- Применяя полученные неравенства в (22) ((z, r) є B1), получаем г(z,r) < u0(z,r) -ю jjr13GB1 (z,r,^,r)dz1dr1 + Ba +!? jj r13G(z, r, z1, ^d^ < < C^ jj rl’Gвl(z, r, zL r1)dz1dr1 + Ba +1Г jj r13GB?( z, r, z1, r1 )dz1dr1 - (24) < C + ю2 R2 '- ^T jj r3GB1 (z, ^ z1, r1 )dz1dr1. Обозначим v(z, r) = C + - -Г- jj r13GB1 (z, r, z1, r1 )dz1dr1. (25) Ba Подберем полукруг Ba в (25) так, чтобы функция v(z, r) на его границе равнялась нулю. Тогда она будет в Ba меньше нуля, а в B1 \ Ba - больше нуля. В этом случае она является решением частного случая задачи, рассмотренной в примере, если положить ю2 = 0 , а граничное условие взять v| = C +ю?^2 la1 5 2 Для этого случая условие (16) существования требуемого полукруга Ba принимает вид ю1 > 25 2/3 Ґ С ю? 25 (26) Пусть выполнено неравенство (26). Учитывая, что u* <v при (z, r) є В1, заключаем, что полученное решение u* меньше нуля в полукруге Ba , а это значит, что оно является отличным от тривиального решением рассматриваемой задачи. Таким образом, установлено, что при выполнении неравенства (26) существуют осесимметрические вихревые течения с разрывными завихренностями, и такие течения обладают эффектом неединственности. Замечание. Если в плоском случае вихревое течение идеальной жидкости описывается уравнением (1), то осесимметрическое течение в общем случае - уравнением Ly = r2 F (y) -Г(у)Г'(у), где F (y) и Г(у) - произвольные функции от y , т г 1dy 1 dy Vr = -т", v = , V = Г(У). r dz r dr Вопрос об определении функций F (y) и Г(у) рассмотрен в [1]. Как указывалось выше, одним из подходов их определения является рассмотрение течения идеальной жидкости как предельного B - 52 Математика, механика, информатика значения вязкой, при стремлении вязкости к нулю. В этом случае F (y) и Г(у) являются константами. В общем случае функции F (y) и Г(у) должны быть заданы исходя из граничных условий. Задача, рассматриваемая в настоящей работе, соответствует случаю, когда F (y) и Г(у) равны константам.

About the authors

Isaak Iosifovich Vainshtein

Siberian Federal University

Email: isvain@mail.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Professor of Applied Mathematics and Computer Security Department, Institute of Space and Information Technologies

Irina Michailovna Fedotova

Siberian Federal University

Email: firim@mail.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Applied Mathematics and Computer Security Department, Institute of Space and Information Technologies

References

Supplementary files