The estimation of the motion model errors influence on precision of the building of confidence region for near-earth asteroids

Texto integral

Введение. Современный мир подвержен многим опасностям различного характера, и даже такой, как столкновения малых тел Солнечной системы с Землей или космическими аппаратами [1; 2]. Для приближенной оценки этой угрозы используется вероятностный метод определения орбит небесных тел. Так как наблюдения астероидов отягощены неизбежными ошибками, мы можем получить из них только некоторую оценку их возможных параметров. Эта оценка определяет номинальную орбиту малого небесного тела. Чем больший интервал будет охвачен наблюдениями, тем точнее и ближе она будет к истинной траектории объекта. Поэтому для достоверности расчетного движения астероида целесообразно описывать его плотным пучком траекторий, выходящих из начальной доверительной области. И далее, для исследования движения небесного тела, производить отображение этой области на любой другой момент времени. Известно также, что систематические ошибки наблюдений и модели движения астероидов могут оказывать существенное влияние на точность построения доверительных областей. В случае, если эти ошибки достаточно большие, может оказаться, что реальное движение изучаемого объекта будет вне расчетной области возможных движений. Это особенно неприемлемо при исследовании возможных столкновений астероидов с Землей или космическими аппаратами. Исключение систематических ошибок из наблюдений представляет собой сложную и часто неразрешимую задачу, и этой проблеме посвящено достаточно много работ [3-6]. В настоящей работе приводится полный алгоритм способа, позволяющего анализировать модели движения астероидов при построении доверительных областей. Выбор же модели возмущающих сил в традиционно применяемых методах связан только с анализом их влияния на точность определения номинальной орбиты объекта. Размеры доверительных областей в этих оценках не учитываются. Рассматриваемый нами способ этот недостаток устраняет, и выбор модели возмущающих сил этим способом тесно связан с размерами доверительных областей и смещениями оценок параметров орбит, определяемых для альтернативных моделей движения исследуемого объекта. Задача построения доверительной области. При построении начальной доверительной области движения астероида нужно указать вероятность попадания истинного значения определяемых параметров в область их оценок P {qtє Q ( /d* ) ^ (1) где qt - истинная (неизвестная нам) точка в m-мерном пространстве определяемых параметров q = (q1, q2, ..., qm) ; q - оценка этих параметров, определяемая по n-мерной выборке измерений d* =(d*,d*,...,d*n) ; Q(^) - доверительная область; число у - коэффициент доверия, показывающий, с какой вероятностью область Q(^) накрывает m-мерную истинную точку qt. Оценка q находится из решения задачи наименьших квадратов (НК): Ф^) = [d(q) - d* ] W [d(q) - d* ] = min, (2) где Ф^) - целевая функция задачи наименьших квадратов; d(q) - расчетная n-мерная вектор-функция измеряемых параметров; W - весовая матрица; символ T означает операцию транспонирования. Линейные методы построения доверительных областей. В линейном случае наименьшие по размерам начальные доверительные области представляют собой 6-мерные эллипсоиды, определяемые выражением (q - q)T [rt (q)WR(q)] (q - q) = g. (3) Здесь є s cl(ky)2, (4) где c0 = ^(q)/(n - m)]12 - среднеквадратическая ошибка единицы веса; R(q) = dd(q) / dq - матрица частных производных размером n*m; величина kY оценивается с помощью статистик F(m; n - m)-распре-деления Фишера в виде (ky )2 s mF(m; n - m; у*). (5) Величина F (m; n - m; y ) = F есть верхняя квантиль для F(m; n - m)-распределения. Доверительные эллипсоидальные области представляют собой области возможных значений параметров орбит с граничной поверхностью, накрывающей с заданной в линейном приближении вероятностью истинные значения параметров орбиты объекта. При построении области по ее граничной поверхности точки, заполняющие эллипсоид, можно находить при помощи алгоритма [7-9] * ~ kY T q j = q+Г7 AnT. (6) Kl 112 Математика, механика, информатика Здесь вектор Пі = (Пі, П2, ..., nm ), компоненты которого n є N(0;1) - независимые нормально распределенные случайные числа с единичной дисперсией; j = 1,2, ..., s, где s - количество точек q j , определяемое длиной моделируемой датчиками случайных чисел выборки вектора qj A - нижняя треугольная матрица, такая, что AAT = D ; D - НК-оценка ковариационной матрицы, определяемая выражением D = о0 [RT (q)WR(q) J1. (7) Моделирование случайных точек q ' при помощи алгоритма (6) должно удовлетворять условию є j < є , (8) где (q/ - q)T [RT (q)WR(q)](q j - q) = 8j . (9) Построение доверительной области в нелинейном случае. Если нелинейность связи между вероятностными вариациями ошибок наблюдений и начальных параметров значительна, то формальное определение ковариационной матрицы и задание по ней эллипсоидальной доверительной области становится неправомерным. В этом случае приходится применять трудоемкие многократные решения задачи НК вида [10] Ф^) = [d (q) - d * - Sd J W [d (q) - d * - Sd ] = min (10) или O(q) = [d (q) - d (q) - Sd ]T W ]d (q) - d (q) - Sd ] = min. (11) Здесь Sd є N(0, o0) - независимые нормально распределенные случайные числа с дисперсией, определяемой из решения исходной задачи НК (2). Найденная таким образом доверительная область представляет собой множество оценок q j и имеет, как правило, неправильную бананообразную форму. Ее граничную поверхность мы предлагаем определять уравнением [8; 9] Ф(ї) = C, (12) где O(q) - целевая функция задачи НК (2). В качестве постоянной C можно выбрать C = ФF , а также любое из близких друг к другу значений целевой функции в нескольких различных вершинах доверительного эллипсоида или их среднеарифметическое значение, так как близкие значения целевой функции однозначно указывают на то, что эти вершины лежат в окрестности граничной поверхности. Целевая функция Фл определяющая граничную поверхность доверительной области, находится при помощи соотношения ФF = Ф(<7)(1 + k„2 / (n - m)). Алгоритм сравнения моделей движения. Сравнение моделей возмущающих сил и выбор лучшей модели в задаче построения областей возможных движений астероида осуществляется нами при помощи следующего показателя [3; 7; 11]: Ad Iq* - q| (13) где q* и q - оценки параметров орбиты объекта, определяемые задачей наименьших квадратов по данной (одной и той же) n-мерной выборке измерений d* с использованием двух моделей сил F* и F ; q - точка, лежащая в параметрическом пространстве вдоль направления q - q на уровенной поверхности дове рительной области Ф F = Ф(^ ) n - m Очевидно, что значения єотн > 1 (т. е. Ad > d) определенно указывают на большие смещения относительно друг друга НК-оценок параметров q* и q (следовательно, и доверительных областей, построенных на основе этих оценок). Если же єотн < 1 (т. е. Ad < d), эти смещения можно считать малыми по сравнению с размерами доверительных областей только при выборе более жесткого критерия, такого как, например, єотн < 0,1. Наглядное представление такого способа оценивания влияния возмущающих сил на точность построения областей возможных движений астероидов с использованием показателя єотн дает рис. 1. Ad > d Ad < d Рис. 1. Геометрическое изображение оценивания смещения доверительных областей по показателю єотн В случаях, когда имеют место сближения астероидов с Землей или другими планетами, этот критерий необходимо уменьшить еще на несколько порядков. Следует также отметить, что рассматриваемый способ анализа модели движения астероидов может быть применен как для построения начальных областей возможных значений параметров орбит, так и при отображении этих областей во времени. В зависимости от степени нелинейности задачи для определения в параметрическом пространстве точки q, можно применять линейный либо нелинейный метод нахождения точек граничных поверхностей доверительных областей [3; 11; 12]. При слабой нелинейности линейный метод может быть реализован следующим алгоритмом: q л = q +І rA(q‘ - q)T. (14) d -q| В случае, если доверительную область нельзя аппроксимировать эллипсоидом, то находим точку qH, решая нелинейное уравнение 113 Вестник СибГАУ. 2014. N 4(56) F (q) = Ф(ф -ФF =0, (15) где q = q +1(q* - q) ; l - параметр растяжения (сжатия) н вектора q - q до граничной поверхности. Схема решения уравнения (15) методом Ньютона может быть записана в виде следующего алгоритма: [F (q)];=t ln+1 ln дФ (q) dl (16) дФ^) где частная производная --- определяется выражеdl dФ(q) = dФ(q) dq ; dФ(q) dl dq dl ’ dq = 2 [RT (q)Ad(q)]T ; dq ~öl = q* - q ; R(q) = dd(q) / dq - матрица частных производных от измеряемых параметров d(q) по определяемым параметрам q ; [Ad(q) = d(q) - d* (q)]вектор невязок «О-С». Численные эксперименты. В качестве объектов исследования мы выбрали астероиды 2011MD и 1998QE2. Первый объект - это астероид группы Аполлона, который 27 июня 2011 г. прошел относительно близко к поверхности Земли - на расстоянии около 20000 км от ее центра. Полная выборка его наблюдений включала в себя 1539 наблюдений в одной оппозиции с 21.06.2011 г. по 3.07.2011 г. [13-15]. Второй объект - астероид группы Амура, прошедший 1 июня 2013 г. на расстоянии в 5,8 млн км от нашей планеты. Полная выборка наблюдений астероида 1998QE2 включает 111 наблюдений в 6 оппозициях и охватывает период с 19.08.1998 г. по 19.02.2009 г. На их примере нами было исследовано влияние ошибок модели и представления наблюдений на точность построения начальных доверительных областей с использованием реальных наблюдений. В проведенном исследовании модель движения включала в себя гравитационные возмущения от больших планет, Луны, Плутона, сжатия Земли и релятивистские эффекты от Солнца. Полученные результаты сравнения моделей движения астероидов представлены в таблице и на рис. 2, 3. Как видно из таблицы, для объекта 2011MD явное влияние на смещение НК-оценки оказывает исключение из модели движения сжатия Земли и возмущений от Луны. А для астероида 1998QE2 исключение воздействующих факторов имеет незначительное влияние. Более наглядное подтверждение численных результатов и представление о точности определения областей возможных движений объектов на основе рассматриваемых моделей дает рис. 2. Здесь области представлены в виде проекций доверительных эллипсоидов на плоскость XY. Как видно из рис. 2, для астероида 1998QE2 области совпадают из-за плохого влияния рассматриваемых факторов. Так как нелинейные отображения на граничную поверхность доверительной области точки q осуществляются при помощи численных итерационных схем, представляет определенный интерес исследование их свойств применительно к решаемой задаче. Мы выполнили с этой целью ряд численных экспериментов по исследованию свойств алгоритма (16) метода Ньютона. Существующие теоретические оценки сходимости итерационных методов являются сложными и требуют вычисления производных высоких порядков. Поэтому нами было проведено численное исследование непосредственно самих целевых функций. С этой целью в направлении вдоль вектора q - q на точку q была получена зависимость функции F (q) = Ф (q)- ФF и соответствующей этой функции c - cF от значения параметра l. Результаты расчетов показаны на рис. 3. Для каждого из рассмотренных объектов в скобках после имени астероида приведены количество его наблюдений, мерный интервал, на котором эти наблюдения были получены, и альтернативная модель, с которой проводилось исследование. Приведены также показатели нелинейности x [6], среднеквадратические ошибки единицы веса с0 и значения параметра растяжения (сжатия) l, при которых точка q отображается на уровенную поверхность доверительной области движения исследуемого астероида. Значения показателей точности моделей, полученных на основе линейных и нелинейных методов определения значения параметра l для точки q ниями Объект е" отн е" =1 ОТ" l ел от" 2011MD без учета сжатия Земли 5,8958 5,8962 5,8872 2011MD без учета возмущений от Луны 63,3706 63,2911 63,0561 1998QE2 без учета сжатия Земли 1,1042-10-8 1,1042 10-8 1,1043-10-8 1998QE2 без учета возмущений от Плутона 1,3986-10-4 1,3986-10-4 1,3986-10-4 114 Доверительные области движения астероида 2011MD: модель полная (черный цвет), модель без учета сжатия Земли (серый цвет) модель полная (черный цвет), модель без учета возмущений от Луны (серый цвет) Доверительные области движения астероида 1998QE2: модель полная (черный цвет), модель без учета сжатия Земли (серый цвет) модель полная (черный цвет), модель без учета возмущений от Плутона (серый цвет) Рис. 2. Доверительные области движения исследуемых астероидов 2011MD (1539 наблюдений - 11 дней) Модель без учета сжатия Земли X = 4,249 -10-7, а0 = 4",006 , Т = 0,169 2011MD (1539 наблюдений - 11 дней) Модель без учета возмущений от Луны X = 3,682 -10-6, а0 = 34" ,66, Т = 0,0158 1998QE2 (111 наблюдений - 30 дней) Модель без учета сжатия Земли X = 2,03344 -10'5, а0 = 0",6644 , Т = 9,0556 -107 1998QE2 (111 наблюдений - 30 дней) Модель без учета возмущений от Плутона X = 2,28276 -10'5, а0 = 0",6644 , Т = 7149,7 Рис. 3. Графики зависимостей целевых функций и среднеквадратических невязок от параметра l Математика, механика, информатика Заключение. Влияние систематических ошибок, обусловленных выбором моделей движения и представлением наблюдений, на точность определения начальных областей возможных движений объекта может быть разным в зависимости от интервала наблюдаемости. Рассматриваемый способ оценивания модели возмущающих факторов имеет геометрически ясный, простой вид и позволяет в ряде случаев при определении вероятностных областей не учитывать влияние отдельных малых возмущающих сил. В целом, картина влияния малых возмущающих сил на точность построения вероятностных областей может быть сложной и полностью видна по значениям показателя єотн. Так из рис. 2, 3 и таблицы видно, что при исследовании движения астероида 2011 MD необходимо учитывать возмущающие ускорения, обусловленные сжатием Земли и влиянием Луны, так как значение єотн значительно больше порогового значения 0,1. Для объекта 1998QE2 численная характеристика показателя точности єотн меньше порогового значения, что говорит о несущественном влиянии Плутона и сжатия Земли, следовательно, на данном мерном интервале их можно не учитывать. Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 12-02-00220-а. Acknowledgements. This work was financially supported by RFBR (grant № 12-02-00220-а.)

Sobre autores

Georgy Sambarov

National research Tomsk State University

Email: detovelli@vtomske.ru
postgraduate of Astronomy and cosmic geodesy department

Olga Syusina

Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Tomsk State University

Email: kleo77@sibmail.com
Cand. Sc., research assistant, Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics

Bibliografia

Arquivos suplementares