Solvability of a difference cauchy problem for multi-layer implicit difference schemes

Full Text

Введение. Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений - дискретизация дифференциальных. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям [1]. В монографии [2] исследована устойчивость однородной двухслойной линейной разностной схемы 126 Математика, механика, информатика с постоянными коэффициентами. В работе [3] к исследованию устойчивости многослойных однородных разностных схем применяется теория амеб алгебраических гиперповерхностей и получена формула для решения задачи Коши через ее фундаментальное решение. В [4] для двумерного случая исследован разностный аналог краевой задачи Хермандера для полиномиального дифференциального оператора. В данной работе исследуется разрешимость разностных уравнений с начально-краевыми условиями типа Рикье. С точки зрения теории разностных схем это многослойные неявные разностные схемы. Дан критерий (теорема 2) разрешимости и простое достаточное условие (теорема 1). В теореме 3 отражена связь полученных результатов с известным методом исследования разностных схем - методом прогонки для систем линейных уравнений с ленточными матрицами (см., например, [5]). Введем необходимые обозначения и определения. Z2 - целочисленная решетка и Z + - подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными координатами. Пусть 51 - оператор сдвига по переменной x, т. е. 5fx,y) = f(x+1,y), а S2 - оператор сдвига по переменной y, т. е. SfXy) = fXy+1). Зададим «полосу» П = {(x, y) є Z +, 0 < x < B, y > 0} в положительном октанте целочисленной решетки, число B+1 будем называть шириной «полосы» П. Рассмотрим разностный полиномиальный оператор с постоянными коэффициентами вида m b m P(S1,82) = EEc0.5j 5 2 = (§1)82, (1) j=0i=0 j=0 где p. (81) = ]Tcî75;, j = 0, 1, ..., m. i=0 m b Многочлен P(z,w) = Hcijz’wJ называется хаj=0i=0 рактеристическим. Степень m многочлена P(z,w) будем называть порядком разностного оператора P(51,52) и предполагать, что b < B. Зафиксируем ß такое, что cßm ф 0, и рассмотрим множество П = {(x,y) є Z+: 0 < x - ß < B-b, y > m - 1}. Обозначим Lß = П'Пз и сформулируем следующую задачу: найти решение разностного уравнения P^^ßxy) = g(x,y), (x,y) є П, (2) удовлетворяющее условию fx,y) = 9(x,y), (x,y) є Lß, (3) где g(x, y) и 9(x, y) - заданные функции целочисленных аргументов. Задачу (2)-(3) назовем задачей Коши для полиномиального разностного оператора (1) и приведем легко проверяемое условие ее разрешимости. Теорема 1. Если для коэффициентов полиномиального разностного оператора Р(5Ь52) выполнено условие b ^ßm J - |com ^ (4) Н=0, a^ß то задача (2)-(3) имеет единственное решение. Система уравнений (2)-(3) представляет собой бесконечную систему уравнений относительно переменных fxy), (x,y) є П. Важной особенностью этой системы является то, что каждое уравнение в ней зависит от конечного числа неизвестных. Известно (см. [6, лемма 6.3.7]), что такая система совместна тогда и только тогда, когда любая система из конечного числа этих уравнений совместна. Для исследования вопроса об условиях на оператор Р(5Ь52), при выполнении которых задача (2)-(3) разрешима, прежде всего упорядочим уравнения этой системы так, чтобы число неизвестных в каждом следующем уравнении было больше или равно числу неизвестных в предыдущем. Зафиксируем p такое, что p > m, и будем рассматривать прямоугольник П = {(x,y):0 < x < B, 0 <y <p}. Неизвестные будем нумеровать элементами множества № и упорядочим это множество лексикографически. Уравнения будем нумеровать элементами двух множеств ffß = {(x,y): 0 < x < B - b, 0 < y < p - m} и Lpß = №\{(ß,m) + №ß}. Так как Lpß u {ф^+Щз} = = №, то элементам множества Lpß присвоим те же «номера», с которыми они входят в множество №, а элементам (x,y) множества №ß - те «номера», с которыми (ß,m) + (x,y) входят в №. Получим систему уравнений относительно неиз-вестныхf(x,y), (x,y) є П вида P^b^Axy) = g(x,y), (x,y) є ffß, (5) fxy) = 9(x,y), (x,y) є Lpß. (6) Число уравнений #(Lpß U №ß) этой системы равно числу неизвестных Mlp. Символ « U » означает дизъюнктное объединение. Пример 1. Рассмотрим разностный оператор Р(§1,52) = c^^ + c11 Ô1Ô2 + ^§2 + c20§12 + ^§1 + c00, где m = 1, ß = 1, b = 2. Пусть B = 3, p = 2, тогда система уравнений (5)-(6) примет вид c2fx+2,y+1) + CJJ/(x+1,y+1) + c0fx,y+1) + c20f(x+2,y) + +c10f(x+1,y) + c/x^) = g(x,y), (x,y) є П21, (5а) f(x,y) = 9(x,y), (x,y) є L21, (6а) относительно неизвестных /УьУ2), (y1,y2) є П2 = {(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (0,2), (1,2), (2,2), (3,2)}. Уравнения (5а) нумеруются элементами множества П21= {(0,0), (1,0), (0,T), (1,1), а уравнения (6а) - элементами множества L21={(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,1) (3,1), (0,2), (3,2)}. Так как объединение Lpß U ffß дизъюнктное, то точки с координатами (x,y) и (x, y) считаются различными. 127 Вестник СибГАУ. 2014. N 3(55) Возвращаясь к общему случаю, обозначим Ap,ß определитель системы уравнений (5)-(6). Его порядок равен N = (B+1)^(p+1) и состоит он из строк двух видов. В строках, соответствующих уравнениям (6), все элементы, кроме одного (равного 1), равны 0. Строки, соответствующие уравнениям (5), состоят из нулей и коэффициентов Су разностного оператора P(5b52). Пример 2. Для разностного оператора P(5b52), рассмотренного в примере 1, имеем 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 С00 С10 С20 0 С01 С11 С21 0 0 0 0 0 0 С00 С10 С20 0 С01 С11 С21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 С00 С10 С20 0 С01 С11 С21 0 0 0 0 0 0 С00 С10 С20 0 С01 С11 С21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Теорема 2. Задача (2)-(3) для всех ф(х,у) и g(x,y) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда для всех p > m определители Ap,ß ф 0. В определителях Ap,ß, отвечающих за разрешимость задачи Коши, присутствуют все коэффициенты Су характеристического многочлена P(z,w). Оказалось, что разрешимость задачи (2)-(3) зависит в действительности только от коэффициентов много-b члена Pm (z) = V с-z1. m v J im i = 0 Обозначим П = {(xy): 0 < x < B, y = q}, nq = {(x,y): 0 < x-ß < B-b, y = q}, Lp = Пq \ Пр. Нетрудно видеть, что #Пр + #L ß = #П . Для q = 0, 1, ..., p обозначим Dq,ß миноры определителя Ap,ß, составленные из его строк, соответствующих уравнениям P(Ô1, Ô2)/(x, y) = g(x, y), (x, y) єП q , (7) fx, y) = ф(^ y), (x, y) є Lq , (8) и столбцов, соответствующих неизвестным f(x,y), где q (x,y) є П . Отметим, что в определителях Dq,ß присутствуют b только коэффициенты многочлена Pm (z) = V cimzl, i =0 и порядок всех определителей Dq,ß равен B+1, т. е. ширине полосы. Пример 3. Для разностного оператора P(51,52), рассмотренного в примерах 1, 2, для q = 0, 1, 2 имеем 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 С01 0 С11 С01 С21 С11 0 D0,1 = 0 0 1 0 , D1,1 = D2,1 = С21 0 0 0 1 0 0 0 1 Связь между определителями Ap,ß и Dp,ß дается следующей леммой. Лемма. Для всякого p справедливо равенство Л - nP - m+1 AP,ß = Dm, ß . Доказательство. Будем последовательно преобразовывать определитель Ap,ß, пользуясь теоремой Лапласа (см., например, [7]). На первом шаге (q = 0) разложим определитель по строкам с «номерами» (x,y) єП р и (x,y) є L °. Таких строк будет B+1, и в них ненулевым (равным 1) является один элемент, который стоит на главной диагонали D0,ß = 1. Определитель, полученный из Ap,ß вычеркиванием этих строк и столбцов, соответствующих неизвестным /(0,0), /(1,0), /(2,0), ..., /(B,0), обозначим A1P,ß. Очевидно, что Ap,ß = D0,ß-A1p,ß. На втором шаге (q = 1) разложим определитель 1 ~ 1 ~ 1 A p,ß по строкам с «номерами» из множеств Пр и Le. Среди миноров порядка B+1 не содержит нулевой строки только определитель, составленный из столб- ~ 1 цов с «номерами» (x,y) є П , т. е. минор D1,ß, поэтому A1P,ß = D1,ßA2p,ß, где определитель A2p,ß получен из определителя Aap,ß вычеркиванием строк с «номерами» (x,y) є Пр и (x,y) є Lß и столбцов с «номерами» (xy) є П1. Продолжая процедуру, на (q+^-м шаге среди миноров порядка B+1 определителя Aq-1p,ß, соответстq вующих строкам с «номерами» из множеств Пр 7 q и L р , не содержит нулевой строки только определитель, составленный из столбцов с «номерами» ~ q (x, y)єП , т. е. Dqß. Таким образом, Aqp,ß = Dq,ß-A(q+1)p,ß. Так как на последнем p-м шаге App,ß = Dp,ß, то Ap,ß = D0,ßD1,ß ••• Dp,ß. Поскольку D0ß = ... = Dm-1,ß = 1, а Dm,ß = Dm+1,ß = ... = Dp ß, то Ap,ß = Dm-pm+1. Пример 4. Для разностного оператора P(51,52), рассмотренного в примерах 1-3, в соответствии с леммой имеем A21 = D01D11D21 = D211 = = (c11 с11 С01 С21)2. Доказательство теоремы 2. Пусть для всех p > m определитель Ap,ß ф 0. Докажем, что при любом выборе ф^у) и g(x,y) задача (5)-(6) имеет единственное решение. Доказательство состоит в последовательном решении систем линейных уравнений относительно неизвестных /(x,y). Определителем этой системы является Ap,ß ф 0. На первом шаге берем p = m. Точки с координатами (0,0), (1,0), ..., (B-b,0) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами (x,y) є Lmß - в уравнение (6). 128 Математика, механика, информатика Получим систему уравнений с ленточной матрицей, определитель (порядка (m+1)-(5+1)) которой имеет вид m,ß " 1 0 . 0 0 . 0 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 1 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 1 0 0 0 0 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 0 . 0 0 . - cß-1m m ß c 0 0 0 0 . 0 0 . 0 0 m c 1m + ß c 0 0 . 0 0 . 0 0 0 1 Очевидным условием разрешимости этой системы является Am,ß Ф 0. На втором шаге берем p = m + 1. Точки с координатами (0,0), (1,0), ..., (B-b,0), (0,1), (1,1), ..., (B-b,1) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами (x,y) є Lm+lß - в уравнение (6). Получим систему уравнений с определителем Am+i,ß порядка (m+2)-(B+1). Очевидным условием разрешимости системы является Am+1,ß ф °. Продолжая процесс, на (р+1)-м шаге подставим в уравнение (5) точки с координатами (0,0), (1,0), ..., (B-b,0), ..., (0,p-m), (1,p-m), ..., (B-b,p-m), а точки с координатами (x,y) є Lpß - в уравнение (6). Получим систему уравнений с определителем Ap,ß порядка (p+1)-(B+1). Очевидным условием разрешимости системы является Ap,ß Ф 0. Таким образом, условие «для всех p < m определители Ap,ß Ф 0» обеспечивает существование и единственность решения задачи (2)-(3) при произвольном выборе правой части g(x,y) и начальных данных ф(х,у). Покажем справедливость обратного утверждения. Возьмем g(x,y) = 0, ф(х,у) = 0. По условию единственным решением может быть только тождественный нуль: f(x,y) = 0 для (x,y) є П^ Далее действуем по схеме доказательства первой части. На первом шаге (p = m) точки с координатами (0,0), (1,0), ..., (B-b,0) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами (x,y) є Lmß - в уравнение (6). Получим однородную систему линейных уравнений. Так как эта система имеет только тривиальное решение f(x,y) = 0, то определитель этой системы Am,ß не равен нулю. Продолжая процесс и подставляя в уравнения (5), (6) все точки (x,y) є Пг, на p-м шаге получим однородную систему линейных уравнений с определителем Ap,ß. Эта система имеет по условию только тривиальное решение, поэтому Ap,ß Ф 0. Из теоремы 2 и леммы 1 сразу следует теорема 3. Теорема 3. Задача (2)-(3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда Dp,ß Ф 0 для всех p = 0, 1, ... Доказательство теоремы 1. У определителя Ap,ß на главной диагонали стоят единицы и выделенный коэффициент cßm. Согласно лемме 1 имеем Ap,ß = = D0,ß-Di,ß ••• Dp,ß, где Dj,ß - главные миноры определителя Ap,ß порядка B+1. Определители Dj,ß зависят только от коэффициентов многочлена Pm (z) = S cimz' . Если выполнено условие (4), то D} j,ß являются определителями матриц с диагональным преобладанием (говорят, что квадратная матрица A = \aj\ обладает свойством диагонального преобладания, если \aü \ > SI aj| , i = 1, 2, .., причем хотя бы j*i одно неравенство является строгим), поэтому Dj,ß Ф 0 (см., например, [8]). По теореме 3 задача (6)-(7) имеет единственное решение. В качестве примера применения полученных результатов рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности [9] : , t > 0,0 < x < l, du du dt ~ dx2 u(0, t ) = u1 (t ), u(l, t ) = u2 (t ), u( x,0) = u0( x ) и ее аппроксимацию разностной шеститочечной параметрической схемой вида m+1 m ui ui = CT ui+1 u”!1 - 2um+1 + u”-+1 +(1 -a) u" -2um +uf, , „ ЛГ , -i+-i-i-1,i = 1, 2, ..., N -1, (9) um0 = ux(tm), umN = u2(tm), u i = u(x,), m = 0,1 _, (10) где 0 < c < 1 - произвольный вещественный параметр схемы. Рассмотрим чисто неявную схему, т. е. c = 1. Тогда (9) запишется в виде m+1 m m+1 ^ m+1 . m+1 _ u - u _u+1 - 2ui + u-1 T тогда . Обозначим y = , h um+1 - 1 um--y- um++1--y- um-+1 = 0 . 1 + 2y ‘ 1 + 2y !+1 1 + 2y i 1 Если обозначить a = - Y 1 + 2y то в обозначениях данной работы разностный оператор будет иметь вид P(5i,52) = aS2 + 5i52 + a5i252 + (2a-1)5i, где c0i = c2i = a, c11 = 1. Если переобозначить umi = f(i,m), то задача (9)-(10) для этой схемы примет вид P(5b52)fx,y) = 0, 0 < x < N-1, y = 0, 1, .., f (0, y ), y = 0, 1, .., ф( x, y) = - f ( N, y), y = 0, 1, .., ^ f( x,0), x = 1, 2, .., N -1. i=0 2 h X h 2 h 129 Вестник СибГАУ. 2014. N 3(55) Так как 2\а\ < 1, то выполнено условие диагонального преобладания (4) теоремы 1, следовательно, задача (10)-(11) имеет единственное решение.

About the authors

Marina Stepanovna Rogozina

Siberian Federal University

Email: rogozina.marina@mail.ru
postgraduate student

References

Supplementary files