Математическое моделирование предельных деформаций плоских конструкций, армированных вдоль криволинейных траекторий

Полный текст

В современной промышленности широко использу- ления изделий, основанные на том, что материал и изде-ются тонкостенные элементы из волокнистых компо- лие создаются одновременно в рамках единого техноло-зитных материалов. Волокнистое армирование устанав- гического процесса. В результате получается изделие с ливает анизотропию свойств материала [1] и позволяет новыми уникальными эксплуатационными качествами. применять новые принципы проектирования и изготов- До недавнего времени армирование осуществлялось 91 Математика, механика, информатика преимущественно прямолинейными волокнами. Такие структуры армирования не могут быть эффективны для конструкций с большими градиентами полей напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов. В этом случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными структурами армирования. Работы [2-6] и настоящая статья посвящены методам поиска таких структур армирования. Предлагается армирование конструкции по криволинейным траекториям проводить на основе трех подходов: по сетке координатных линий ортогональной системы координат, определяемой заданным конформным отображением [2; 3]; по изогональным траекториям, построенным к данным кривым [4]; по спиралевидным траекториям в осесимметрической постановке задачи [5]. В настоящей работе в качестве примера армированной конструкции рассматривается растяжение трехслойного диска под действием центробежной силы в полярной системе координат (r, 9). В диске учитываются усилия Nr, N9, Nr9 как сумма усилий в изотропном слое (Nr1, N91, Nr91) и армированном слое (Nr 2, N92, Nr92), рассматриваются окружные и радиальные перемещения. Пусть диск насажен на вал радиуса r0 , внешний контур диска r1 . С диском жестко соединены лопатки, наружный контур лопаток r2 . Диск и лопатки вращаются внутри кожуха турбинного аппарата радиуса r3, r3 > r2 > r1 > r0. Сформулируем уравнения равновесия конструкции в усилиях Nr, N9, Nr9 : dNr Nr - N9 -Ф, dNr9 2Nr = Ф 2. (1) Исходя из введенных выше предположений, связь между усилиями и напряжениями , а^ в рас сматриваемых слоях примет вид N - а h N - а h N =а h N iVr1 r 2 r2"2?i 91 U91/Vi 92 - а92h2 , Nr91 - аr91h1 , Nr92 - ar92h2. . (3) B (3) h1(r),h2(r) - заданные толщины защитного слоя и армированного слоя как функции радиуса. Ввиду жесткого соединения слоев деформирование в слоях диска происходит совместно: Ur - ил - Ur2; U9- U9! - U92. Соотношения Коши имеют вид U dU _r_ dr dU9 U9 sr0 - sr01 - Sr02 r92 dr r dr r В (1) усилия записываются как суммы усилий в слоях: Nr - Nr1 + Nr2; N9 - N91 + N92; Nr9 - Nr91 + Nr92. Массовые силы Ф1, Ф 2 вычисляются по формулам , 2 ^ v d ю Ф1 - Фгю г, Ф2 - m -r, где ю - угловая скорость. dt В настоящей работе считаем, что угловая скорость ю не зависит от времени, Ф2 - 0 (установившийся режим). Находим Фr -Фr1 +Фr2, где Фr1 - m'Vh1, ®v, V V . V V V r2 - m2 h2, m - m1 + m2, m1, m2 - удельные массы V изотропного и армированного слоев, m1 совпадает с плотностью материала Р01. Для армированного m семействами волокон слоя имеем m2 - Р02(1 -Zrak) + ZrakPk, k - J, ...,m> (2) k k где Р02 - плотность материала связующего армированного слоя; pk - плотность материала k-го семейства армирующих волокон; rok - интенсивность армирования k-м семейством волокон. dr r Сформулированная задача (1) является статически неопределенной, необходимо привлечь связь напряжений с деформациями. Для армированного слоя диска связь между напряжениями и деформациями с криволинейными траекториями армирования установлена на основе структурной модели в виде аr2 - a11Sr + a12S9 + a13Sr9, а92 - a21Sr + a22S9 + a23Sr9, аr92 - a31Sr + a32S9 + a33Sr9. Полученные в работах [5; 6] коэффициенты aij (r) - aji (r) учитывают все структурные характеристики материалов связующего и армирующих волокон: число семейств армирующих волокон, механические характеристики материалов связующего и волокон, интенсивность и тригонометрические функции углов армирования, входные данные технологического процесса. Здесь они не приводятся ввиду громоздкости математических выражений. Для построения замкнутой системы разрешающих уравнений сформулируем задачу в перемещениях Ur, U9. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенную относительно производных от радиального и окружного перемещений, моделирующую растяжение трехслойного диска под действием центробежной силы: A dr +D1 dU9 + EE1Ur + Z1U9 - Ф r dr 2 ^+B2 ^+C2 U + 2 dr2 2 J”2 2 (4) A dr2 dr +D2 + EE2Ur + Z2U9 - Ф9. dr К системе (4) присоединим краевые условия: 92 Вестник СибГАУ. № 1(53). 2014 а) на внутреннем контуре r = r0 предполагаем, что диск жестко закреплен, смещения отсутствуют, Ur Oo) = U 0 (Го) = 0; б) на внешнем контуре заданы усилия Nr(rj) = Kj®2, Nr0(r) = Kla>2, где K1, K2- экспериментально определяемые значения. При проектировании диска необходимо установить предельную угловую скорость вращения. Введем понятие предельного упругого состояния в некоторой точке рассматриваемой конструкции, по достижении которого хотя бы в одной точке либо в связующем, либо в волокне происходит выход за пределы упругости (напряжение превышает предел текучести). Будем рассматривать диски различных структур: спиралевидные, радиально-окружные, «спицы велоколеса» и их комбинации. Выполним обезразмерива-ние системы (4) и краевых условий: линейный размер отнесем к величине внутреннего радиуса r0 , напряжение отнесем к модулю Юнга материала одного из семейств волокон Em (m = 1, 2). Для численного решения обезразмеренная система сводится к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка, затем строится разностная схема, аппроксимирующая систему дифференциальных уравнений и краевые условия со вторым порядком точности. Полученная при этом система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей решается методом ортогональной прогонки. В работе численные результаты получены для дисков постоянной толщины. Наиболее важной рабочей характеристикой турбинного диска, определяющей его несущую способность, является максимальная допустимая угловая скорость вращения. Исследуем влияние структуры армирования на данный параметр. Рис. 1 Для диска газовой турбины касательные усилия в осесимметрической постановке не существенны, поэтому примем Nr0 = 0. Предельные скорости вращения дисков газовых турбин рассмотрены на примере титанового диска массой 9,8 кг, ограниченного контурами с радиусами г1 = 0,05 м, r2 = 0,1 м с защитными керамическими покрытиями толщиной 0,03 мм. Г I \ S 4 ч \ \ N \ \ \ SW \ й / / /у Wf А V ( ! 0 V' 44* \ \ ч X ч *>4 ч N А Рис. 2 В таблице приведены предельные скорости вращения армированного диска для трех типов структур армирования керамическими волокнами. Для первой структуры траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и логарифмических спиралей. Обозначим эту структуру как (A+L), ее иллюстрация приведена на рис. 1. Вторая структура - семейство спиралей Архимеда и «спицы велоколеса», обозначим структуру как (A+V). Третья структура -семейство логарифмических спиралей и «спицы велоколеса». Обозначим эту структуру (L+V), иллюстрация на рис. 2. Зависимость предельных значений числа оборотов в минуту n от структуры армирования Структура армирования n Однородный титановый диск 10000 Армированный титановый диск, структура (A+L) 18500 Армированный титановый диск, структура (A+V) 19000 Армированный титановый диск, структура (L+V) 18500 Из таблицы видно, что может быть достигнуто существенное увеличение предельной скорости вращения армированного диска газовой турбины за счет выбора способа армирования вдоль криволинейных траекторий.

Об авторах

Наталья Александровна Федорова

Сибирский федеральный университет

Email: ran@akadem.ru
кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и компьютерной безопасности, Институт космических и информационных технологий

Список литературы

Дополнительные файлы