About analytical resuming multiple power series by using one-dimensional matrix methods of summation

Full Text

Задача аналитического продолжения степенного ряда является одной из классических и восходит еще к К. Вейерштрассу, соответствующая библиография имеется в [1]. Однако метод аналитического продолжения степенного ряда путем его переразложения достаточно трудоемок и нерационален. В дальнейшем более эффективные методы суммирования степенного ряда (аналитического продолжения с помощью матричных методов) были предложены Миттаг-Леффлером, Линделефом, Ле Руа и другими математиками (см., например, [2-5]). Для n = 1 в случае звездных областей достаточно подробная библиография имеется, например, в [6; 7], для случая спиральных областей - в [8; 9]. Одно из первых продолжений степенного ряда в спиральную область принадлежит, наверное, Линделефу [3]. Спустя более полувека, Аракеляну [8] удалось показать, что аналитическое продолжение однократного степенного ряда с помощью матричных методов суммирования возможно только в спиральные области. В случае многих переменных в работах [10-14] имеются различные методы суммирования кратного степенного ряда для звездных областей. В [15] предложен метод, позволяющий суммировать кратный степенной ряд в случае параболически звездных областей (см. ниже определение 1, при а = (0, ...,0)). В настоящей работе предлагаются методы суммирования кратного степенного ряда, позволяющего суммировать этот ряд в классе областей в C n , естественным образом обобщающих как спиральные, так и звездные. Обозначим z = (Zj, ...,zn) точки n-мерного комплексного пространства Cn , k = (k1, ...,kn)-мультииндексы, || k ||= k1 +... + kn , k ! = k1!...kn !, zk = z1k1 ■■■ znkn , R> :={xЄRn;X1 >0, ...,Xn >0}; Q> :={x є Qn: X1 > ° ..., xn > 0}. Пусть (1) f ^..., zn ) = S ak1...knz1kl... ||k||>0 k1 z kn n-кратный степенной ряд, который сходится в некоторой окрестности U начала координат в Cn. Максимальная звездная область G, в которую голоморфно продолжается ряд (1), называется звездой Миттаг-Леффлера (или главной звездой) ряда (1) или функции f(z). Цель настоящей работы - получение аналитического продолжения ряда (1) в класс областей, обобщающих одновременно звездные и спиральные. Поэтому для дальнейшего изложения нам потребуется следующее. Определение 1. Пусть x є R>, ає Rn . Множество G в Cn назовем (х,а)-спиральным относительно начала координат, если вместе с каждой точкой z0 = (z0, ...,z°n) в множестве G содержится (х,а)-отрезок L(x,а) := {z є Cn: z = z0tx1(1+z = z0 txn(1+ian z0 ' *■ ' 1 1 ’ n n ’ t є [0, 1]} <z G. Если функция f(z) голоморфна в некоторой окрестности начала координат в Cn , то максимальную (х,а)-спиральную область G^x , в которую голоморфно можно продолжить функцию f назовем (х,а)-спиральной звездой Миттаг-Леффлера функции f или просто (х,а)-звездой. Понятие (х,а)-спиральной звезды Миттаг- Леффлера, естественно, шире понятия звезды Миттаг-Леффлера. Особенно наглядно это видно при n = 1 и а Ф 0. Пример 1. Главная звезда функции f (z) = (1 - z)-1 совпадает с комплексной плоскостью без луча [1, œ), а ее а-спиральная звезда Миттаг-Леффлера совпадает с множеством Ма := C\ {z є C: z = t(1+!a },t є [1,œ)}. В случае а Ф 0 эти множества различны. Если а = 0, (х,а)-спиральные множества переходят в х-звездные. В случае одного переменного всякая (х,0)-звезда Миттаг-Леффлера совпадает с обычной звездой Миттаг-Леффлера или главной звездой данного степенного ряда, т. е. в случае одного переменного классы х-звездных и звездных множеств совпадают. В случае многих переменных это не так. В [8] приводится пример функции, у которой (1,2)-звезда не совпадает с главной звездой или (1,1)-звездой. Понятие матричного метода суммирования для одномерного случая и соответствующий обзор литературы приведен в монографиях [6; 7; 12] и работах [8; 9], а для многомерного - в [10; 11]. Пусть P = {т} - множество на вещественной оси, имеющее предельную точку т0 такую, что т0 г P , и пусть Тт (z) = S ck (т)zk = S %...kn (т)z1k1...znkn (2) ||k||>0 ||k||>0 это степенной ряд, коэффициенты которого зависят от произвольного т є P , сходящийся в Cn . 173 Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55) Определение 2. Будем говорить, что матрица T = {ck (x)} = {ck1 kn (т)} или матричный метод Т суммирует ряд (1) в области Q( f є H (Q)), если: 1. Композиция Адамара рядов (1) и (2) Тт f (z) = S ck (T)akzk = ||k||>0 (3) = S ckb.kn (T)ak1...knz1k1...znkn ||k||>0 при фиксированном тє P абсолютно сходится в некоторой полной, логарифмически выпуклой области, содержащей Q. 2. Локально равномерно в Q (равномерно на любом компакте из Q ) выполняется равенство f (z) = lim Тт * f (z), Vz є Q. (4) т^т0 Замечание. Можно рассматривать класс матричных методов Т, которые при тєP не задают целую функцию, но выполняется условие 1. Это существенно расширит класс рассматриваемых методов, но вызовет определенные трудности при проверке условия 1. Если ряд (1) сходится в непустой окрестности 0 и матричный метод Т при тє P задает целую функцию, тогда условие 1 не требует проверки, оно выполняется автоматически. Что и предполагается в настоящей работе. В одномерном случае известны следующие матричные методы: 1. Спиральный вариант метода Миттаг-Леффлера U М := {% (x) = r(k (т(1+,а) +1)) • т є P := <0,11-= «f 2. Метод Ле Руа Цт) := {Lk (т) = т є P := [0,1), т0 = 1}. 3. Метод Линделефа Л ( т) := {Л k ( т) = k ~k т; k > 0, т є P := [0,1), т0 = 0}. Более подробно о вышеприведенных методах суммирования можно узнать в [1, с. 247]. Для одномерного случая теорема Окада [6] позволяет апробировать каждый из матричных методов лишь на геометрической прогрессии. Если матричный метод суммирует геометрическую прогрессию в ее а-спиральной звезде Миттаг-Леффлера, то этот метод суммирует любую функцию в ее а-спиральной звезде Миттаг-Леффлера. Таким образом методы Ле Руа и Линделефа суммируют произвольную функцию в ее главной звезде, а спиральное обобщение метода Мит-таг-Леффлера суммирует функцию в ее а-спиральной звезде Миттаг-Леффлера [8]. Для многомерного случая вариант теоремы Окада для случая звездных областей предложен в [13]. Там вместо функции g (X ) = (1 -X) 1 в многомерном случае рассматривалась функция ф(z) = (1 - z -... - zn )-n = = 1 S (||k\ + n - 1)! z1k1...znk” , (n - 1)!||k||>0 k1 !...kn ! которая при n = 1 совпадает с g. Использовать функцию ф для тестирования матричного метода не всегда удобно. Хотелось бы получить вариант теоремы Окада, который проверял бы матричный метод на геометрической прогрессии (одномерной), а позволял бы суммировать многомерные степенные ряды. Ниже предлагается теорема, которая частично решает эту проблему. Опишем класс одномерных методов суммирования, необходимых нам для построения многомерных методов. Определение 3. Обозначим через S класс одномерных методов суммирования (полунепрерывных матричных методов) Ta={T“ ( т), тє P} со следующими свойствами: 1. Функция ад фх (X)=s та (т)хk k=0 является целой для произвольного тє P, X є С . 2. Матричный метод Ta суммирует геометрическую прогрессию ад g (X ) = (1 -X)-1 =SXk k=0 всюду в ее а-спиральной звезде Миттаг-Леффлера G“ X)-1. То есть локально равномерно выполняется равенство (1 -X)-1 = lim Т *(1 -X)-1, VX є G“ ,. І^І0 (1 X) Произвольному матричному методу из класса S и Vx є Q> можно поставить в соответствие многомерный матричный метод по правилу Т( x;a):={T“k,m> ( *), тє P}, (5) где m = (m1, ..., mn ) - первая целочисленная точка с положительными координатами, лежащая на луче, выходящем из нуля и проходящем через точку X. Справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть функция f задана кратным степенным рядом (1), сходящимся в окрестности нуля в С n; x є Q>; G('fx’a> - ее (x1, ..., xn; a1, ...,an)-спиральная звезда Миттаг-Леффлера, и многомерный метод T( x.a) 174 Математика, механика, информатика построен по одномерному методу Ta из класса S по формуле (5). Тогда всюду в G('f!’a'> метод Т(х.а) локально равномерно суммирует функцию f То есть справедлива формула f (z) = lim F? > (z), Vz є G (x,a>, x^xo где F(X;a>(z) = S T<k,m> (t)% ||k||>0 .kn* 1 kn ..z ,T i p это композиция Адамара ряда (1) и ряда Т( '(x;a) (z) = £ Т<к,m> ||k||>0 ( t) z1kl... znkn, T є P. Таким образом теорема справедлива для рациональных звезд Миттаг-Леффлера. Построить продолжение в случае произвольных звезд помогает следующее предложение. Предложение. Для произвольного компакта K из ее (x; a) - спиральной звезды Миттаг-Леффлера G ( x,a) f существует рациональная звезда Gfy,a), содержащая компакт K. С помощью теоремы удобно конструировать многомерные матричные методы по одномерным. Приведем пример матричного метода суммирования, который строится с помощью одномерного метода и суммирует кратные ряды в звезде Миттаг-Леффлера. Пример 2. Спиральный аналог метода Миттаг-Леф-флера. P = (0,1]; т0 = 0, T a (t) = {ca (t) = ^...k, (t), тє P} = = |(Г(<k,m >т(1 + ia)) 1}, где Г - гамма-функция Эйлера; m є Nn. Опираясь на теорему, достаточно заметить, что метод Ta(т) суммирует геометрическую прогрессию в ее а-спиральной звезде. К сожалению, суммировать такие методы могут кратные степенные ряды в спиральных звездах только с «когерентной» мнимой частью, т. е. при a1 = ... = an = a . С другой стороны, теорема позволяет восстанавливать функцию по ее значениям на достаточно «тонких» и даже дискретных множествах во всей спиральной звезде Миттаг-Леффлера. Доказательство теоремы. Покажем регулярность метода. Так как одномерный метод регулярен и любой компакт из единичного круга лежит в а-спиральной звезде Миттаг-Леффлера функции g(X) = (1 - X)-1, то для любых 5> 0; r0 є (0,1) найдется окрестность U(т0) точки т0 такая, что VтєU(т0) имеем £ (T“ ( т) - 1)X k=0 <8; V | X |< r < 1. Отсюда, воспользовавшись неравенствами Коши, получим |(Ta ( т) -1)| < А; VI = 0,1,2... Выберем произвольную точку z = (z1, ..., zn ) из области сходимости ряда (1). В силу свойств области сходимости ряда (1) найдется такое r0 є (0,1), что точка z r0-m = (z1 r0-m1, ..., znr0-m1) все еще будет лежать в области абсолютной сходимости ряда (1). Тогда Vt є U(т0) имеем | f ( z ) - Pima^z Ж £ | T<k ,m> (т) - 1| k^.kn^.^nH ^ ||k ||>0 ад c i ^£ £ -K...knz1k1...znkn| = l=0 |<k,m>=l r0 = 8£ £ ? l=0 |<k,m>=l 'O >=lT k1 l |ak1...kn 1 z1 zn rm1 r0 rmn 0 Последний ряд сходится, так как точка z r0-m = (z1 r0-m1,..., znr0-m1) лежит в области абсолютной сходимости ряда (1). В силу произвольности 5 убеждаемся в регулярности метода. Для завершения доказательства теоремы, в силу теоремы Витали, достаточно показать равномерную ограниченность последовательности функций F(m a)(z) на произвольном компакте K из G. Обозначим через D8 := U B(z, 8), ієВ где B(z, 8) := {ç є Cn :| ç - z |< 8} - 5-раздутие области D. Пусть Aa := {Хє C: X = t(1+ю°; Vt є [0, 1]}, 8 > 0 и Aa - 5-раздутие Aa в объединении с U38 (0) -кругом, с центром в 0, радиуса 38 : Bj := {ztm = (ztm1, ...,ztmn ): z є U0 (z(л), t є A^à j. Так как K компактно лежит в G и G открыто и (x;a)-спирально, то найдется d точек z(1), ..., z(d): 8 > 0 и Ur такие, что K U B8 j=1 : G. Теперь достаточно показать ограниченность F(m ;a) на B j . Справедлива интегральная формула k n ад 175 Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55) F(m;a)(zXm ) = -1- j f(z1Um1, ..., znUmn )ФХМ ^ (6) 2n % I u J u a K J при Xє Aa , U єдAa , z єU,î)(z(■/)). Действительно, так как - жорданов путь, а у подынтегральной функции особенности только в нуле, то стягивая его к нулю, разлагая функции в ряды и интегрируя, убеждаемся в истинности (6). При XєAa 8 X и u є dAa точка - компактно лежит в а-спиральной U звезде Миттаг-Леффлера (1 -X)-1. Поэтому учитывая ограниченность функции f на B8 , равномерная ограниченность F(m.a) вытекает из стандартной оценки интеграла. Теорема доказана.

About the authors

Eugeny Iosiphovich Yakovlev

Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev

Email: yei@nm.ru
Candidate of Phisical and Mathematical Sciences, associate professor, associate professor of Higher Mathematics Department

References

Supplementary files