BREAKING STRAINS OF PLANAR THERMOELASTIC CONSTRUCTIONS REINFORCED BY CURVILINEAR STRUCTURES
- Authors: Nemirovsky Y.V.1, Feodorova N.A.2
-
Affiliations:
- Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS
- Siberian Federal University
- Issue: Vol 17, No 1 (2016)
- Pages: 73-78
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/504715
- ID: 504715
Cite item
Full Text
Abstract
This paper describes a new methodological approach to development of planar aeronautical constructions reinforced by curvilinear fibers sets. The structural model of composite in terms of the planar non-homogeneous thermoelasticity problem in the case of curvilinear coordinates is used to simulate the problem. The resolving system of differential equations is obtained. The direct problem and the inverse problem of a material reinforcement are stated on the basis of this system. The boundary conditions are defined for curvilinear coordinates. The resolving system of differential equations with radial and circular movement’s variables is obtained for an axisymmetric problem. This system is a second-order differential equations system, highest derivatives of which are not isolated. The effective numerical method which takes into account the factors of the resolving system for a reinforced material is designed. Different mixed configurations of two sets of curvilinear trajectories are considered for the direct problem when a planar construction is under conditions of axisymmetric strain. The following examples are described: the logarithmic spiral trajectories set and the set of trajectories isogonal to it (to logarithmic spiral), the Archimedean spiral trajectories set and the “wheel spokes” trajectories set, the logarithmic spiral trajectories set and the “wheel spokes” trajectories set. Effective reinforcement structures and reasonable reinforcement structures are studied. The reinforcement power is considered with subject to additional conditions of fibers cross-sections constancy. It corresponds to the industrial process conditions. The reinforcement effectiveness integral characteristic is defined. It is called an “armature spending”. Its properties are studied for different initial states of an industrial process and for different curvilinear trajectories of reinforcement by two curvilinear fibers sets. The inverse problem for a plate which is symmetric with respect to its median surface is stated. A plate consists of a binding material layer and an armature layer. Layers are thin. A plate has a plain stress condition. The temperature is constant across a plate cross-section. A binding material layer is isotropic and equal cracking resistant.
Full Text
Введение. Современные волокнистые композиты являются неоднородными анизотропными материалами. Упругость и неупругость волокнистых композитов определяется типом арматуры (стекло-, боро-, угле- и органоволокна) и матриц (полимерных, углеродных, металлических, керамических), степенью их взаимодействия в композите, а также углом нагружения относительно направлений армирования. Композиты обладают двумя уровнями неоднородности - микронеоднородностью (монослой, составленный из волокон и связующего) и макронеоднородностью (слоистая структура, составленная из монослоев, с произвольной укладкой по толщине пакета). Отсюда два направления в механике композитов: микрои макромеханика. Сочетанию микро- и макроструктур композита в задаче оптимизации посвящена недавняя работа коллектива зарубежных авторов [1]. Для зарубежной литературы характерно наличие большого количества работ по композитам, описывающих гиперупругость при условии конечных деформаций, например [2; 3]. Структурно-неоднородная среда по своему физико-механическому поведению значительно богаче однородного материала. Разнообразие возможных ситуаций в процессе деформирования и разрушения композитов делает изучение этих материалов привлекательным для специалистов из разных областей механики твердого тела. Например, в волокнистых композитах на уровне армирующих элементов всегда имеются микродефекты - трещины, обусловленные не только несовершенством технологии, но и отступлением от идеализированной модели материала. Центральным моментом в механике волокнистых композитов является существенный учет структуры материала на уровне армирующих элементов - обстоятельство, не характерное для классической механики твердого тела. На уровне армирующих элементов создаются механические свойства материала; управляя укладкой волокон, можно в определенных пределах управлять полями сопротивления материала, «подстраивая» их под действующие усилия. Общий подход построения механики волокнистых композитов представлен в монографии [4]. В настоящее время возможности существенного прироста прочностных характеристик сталей, алюминиевых, титановых и магниевых сплавов практически исчерпаны, и поэтому для значительного улучшения технических параметров в объектах ответственного назначения необходимо использовать разнообразный спектр современных композитных материалов, сочетающих высокую удельную прочность и жесткость с другими ценными качествами: высокой технологичностью изготовления конструкций из них, повышенной стойкостью к агрессивным средам. В современной аэрокосмической промышленности широко используются тонкостенные элементы из волокнистых композитных материалов. Волокнистое армирование позволяет применять новые принципы проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и изделие создаются одновременно в рамках единого технологического процесса. В результате получается изделие с новыми уникальными эксплуатационными качествами. До недавнего времени армирование осуществлялось преимущественно прямолинейными волокнами. Такие структуры армирования не могут быть эффективны для конструкций с большими градиентами полей напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов, часто встречающихся при создании реальных объектов. В этом случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными структурами армирования, согласованными с реальными требованиями эксплуатации соответствующих изделий. Постановка задачи. В работах [5; 6] сформулирована плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах (), которая включает уравнения равновесия, обобщенный закон Дюамеля-Неймана в условиях термоупругого анизотропного деформирования [7-9], соотношения для напряжений в волокне на основе структурной модели [10]. Пусть армирование выполнено семействами волокон, φm - углы армирования m-м семейством волокон (), являются непрерывными функциями координат, εm -деформация в волокне, ωm - интенсивность армирования m-м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [10] (1) где коэффициент линейного температурного расширения материала m-го семейства волокон; Т - заданная постоянная температура. Напряжение в волокне σm находим по формуле (2) где Еm - модуль Юнга материала m-го семейства волокон; . Связь напряжений σij и деформаций εij для неоднородного армированного материала запишем в виде где напряжения в связующем определим по формулам с учетом поля температур [7]: где соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного температурного расширения связующего материала; удельная интенсивность прослоек связующего между армирующими слоями. Напряжения с учетом структурных характеристик имеют вид [5; 6] (3) Приведем коэффициенты в (3) учитывающие все структурные характеристики и влияние поля температур: (4) При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон, что соответствует условиям технологического процесса, интенсивность армирования удовлетворяет следующим соотношениям [11] (5) Интенсивность определяется из (5) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе [12] построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий. В рамках прямой задачи (известна структура армирования) замкнутая разрешающая система формулируется относительно компонент тензора деформации, поставлена краевая задача в криволинейных координатах [5; 6]. Коэффициенты системы и краевых условий содержат все структурные характеристики композита: заданные углы армирования, интенсивность армирования, механические характеристики материалов связующего и арматуры. В случае осесимметрической задачи (концентрическое кольцо) армирование проводится одним, двумя и тремя семействами волокон, представляющих собой алгебраические спирали и им изогональные траектории [12]. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Особенность полученной системы состоит в том, что она является системой, неразрешенной относительно старшей производной. На основе монографии [13] для такой системы разработан новый эффективный численный метод, учитывающий особенности армированной среды и уменьшающий ошибки численного счета [14]. Такой подход позволяет решать задачи о криволинейно армированных вращающихся дисках, являющихся элементами конструкций ответственного назначения [15]. Анализ признака «расход арматуры». Для анализа эффективности конструкции вводится характеристика армирования - расход арматуры [11]. Обозначим ее символом В. Для армирования кольцевой пластины двумя семействами волокон в полярной системе координат расход арматуры определяется по формуле где R - линейный размер пластины, ; ω1 - интенсивность армирования первым семейством волокон; ω2 - интенсивность армирования вторым семейством волокон. Проводится анализ зависимости от начальных стадий технологического процесса - начальных интенсивностей армирования двумя семействами армирующих волокон для различных структур армирования. Интенсивности армирования для данных структур найдены в аналитическом виде как решение задачи Коши дифференциальных уравнений, представляющих условия постоянства сечений волокон (5). Они определяются по следующим формулам для армирования семейством логарифмических спиралей и семейством «спицы велоколеса»: Для армирования вдоль траекторий семейства спирали Архимеда интенсивность имеет вид для траекторий, изогональных к семейству логарифмических спиралей, интенсивность армирования задается формулой где начальные интенсивности армирования семействами волокон; начальные углы выхода арматуры. На рисунке в осях интенсивностей армирования , показано влияние выбранных начальных условий технологического процесса (в соответствии с таблицей) на признак В «расход арматуры» для различных криволинейных структур армирования. Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения. Сформулированная плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах позволяет решать и обратную задачу по определению эффективной рациональной структуры, если к ней добавить требования равнодеформируемости волокон или равнотрещиностойкости в связующем по критерию Баландина [16]. Постановка задачи об армированной пластине с равной трещиностойкостью связующего. Рассматривается пластина, полученная из набора прослоек связующего и прослоек арматуры, симметричных относительно срединной поверхности. Прослойки тонкие, поэтому реализуется плоское напряженное состояние. Пусть температура постоянная по толщине пластины. Запишем полные деформации в декартовой системе координат как сумму механических и тепловых деформаций: Параметры технологического процесса начальная интенсивность армирования первого семейства волокон начальная интенсивность армирования второго семейства волокон начальный угол выхода семейства «спицы велоколеса» 0,3 0,3 0,05 0,376 0,1 0,318 0,51 0,18 123 а б в Расход арматуры В (ось аппликат) для: а - структуры армирования «семейство логарифмических спиралей» и «спицы велоколеса»; б - структуры «семейство спиралей Архимеда» и «спицы велоколеса»; в - семейства логарифмических спиралей и им изогональных траекторий Потенциальная энергия в прослойках изотропного связующего равна где напряжения в связующем заданы соотношениями (6) С учетом (6) потенциальная энергия запишется как (7) Коэффициенты в (7) для изотропного связующего имеют вид Условие совместности деформаций в декартовой системе координат имеет вид (8) Пусть 2h - толщина пластины, δ1 - толщина армирующего слоя первого направления φ1 с интенсивностью армирования ω1, δ2 - толщина армирующего слоя второго направления φ2 с интенсивностью армирования ω2. Тогда усилия запишем в виде где - напряжения в волокнах арматуры первого и второго семейства соответственно. Их зависимость от температуры задается в виде где деформации в волокнах определяются по формуле (1). Уравнения равновесия в усилиях запишутся как (9) Вводится условие постоянства сечений волокон (5) в декартовой системе координат, а именно: (10) Совокупность уравнений (7)-(10) позволяет решить задачу о нахождении направлений армирующих слоев рассматриваемой пластины в условиях термоупругого деформирования, т. е. решить обратную задачу с дополнительным условием равной трещиностойкости связующего. При введении начальных условий на интенсивности армирования и краевых условий на внешнем контуре получаем замкнутую систему по определению траекторий армирования. Заключение. Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения.×
About the authors
Y. V. Nemirovsky
Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS4/1, Institutskaya Str., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
N. A. Feodorova
Siberian Federal University
Email: feodorova.natalia@mail.ru
26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation
References
- Multi-scale design of composite materials and structures for maximum natural frequencies / Zhi Hao Zuoa [et al.] // Materials & Design. 2013. Vol. 51. P. 1023-1034.
- Azimuthal shear of a transversely isotpic elastic solid / F. Kassianides [et al.] // Math. Mech. Solids. 2008. Vol. 13. P. 690-724.
- Jog C. S. The equation of equilibrium in orthogonal curvilinear reference Coordinates // Journal of Elasticity. 2011. Vol. 104. P. 385-395.
- Vasiliev V. V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Elsevier, Oxford, 2007. 505 p.
- Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов : монография / СФУ. Красноярск, 2010. 136 с.
- Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 2013. № 1(30). С. 233-244.
- Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. Киев : Наук. думка, 1965. 204 с.
- Modeling of thermomechanical behavior of layered plates at technological thermal radiation / A. Gachkevich [et al.] // Manufacturing processes. Actual problems. Vol. 2. Modelling and optimization of manufacturing processes / Ed. by: M. Gajek, O. Hachkevych, A. Stanik-Besler. Opole : OWPO, 2013. С. 221-234.
- Немировский Ю. В., Терлецкий Р., Федорова Н. А. Предельные деформации термоупругих плоских конструкций с криволинейным армированием // Решетневские чтения : материалы XIX Междунар. науч.-прак. конф. (10-14 нояб. 2015, г. Красноярск). В 2 ч. Ч. 2. / под. общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. С. 130-131.
- Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer // Int. J. Mech. Sci. 1970. Vol. 12. P. 898-903.
- Бушманов С. Б., Немировский Ю. В. Оптимальное армирование пластин при плоском напряженном состоянии // Прикл. механика и техн. физика. 1983. № 5. С. 158-165.
- Федорова Н. А. Моделирование изогонально армированных кольцевых пластин в полярной системе координат // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. «Математика и физика». 2011. № 4(3). С. 400-405.
- Бабенко К. И. Основы численного анализа. М. : Наука, 1986. 740 с.
- Федорова Н. А. Построение эффективного численного метода решения осесимметрической задачи армированной среды // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности : тезисы докладов XXIV Всерос. конф. (2-4 июня 2015, г. Омск) / под ред. ак. В. М. Фомина. Новосибирск, 2015. С. 200-204.
- Немировский Ю. В., Федорова Н. А. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин при различных структурах армирования // Известия высших учебных заведений. Физика. 2013. Т. 56, № 7/3. С. 191-196.
- Немировский Ю. В., Резников Б. С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск : Наука, 1986. 165 с.
- Zhi Hao Zuoa, Xiaodong Huanga, Jian Hua Rongb, Yi Min Xie. Multi-scale design of composite materials and structures for maximum natural frequencies. Materials & Design, 2013, Vol. 51, P. 1023-1034.
- Kassianides F., Ogden R. W., Merodio J., Pence T. J. Azimuthal shear of a transversely isotpic elastic solid. Math. Mech. Solids, 2008, Vol. 13, P. 690-724.
- Jog C. S. The equation of equilibrium in orthogonal curvilinear reference Coordinates. Journal of Elasticity, 2011, Vol. 104, P. 385-395.
- Vasiliev V. V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Elsevier, Oxford, Great Britain, 2007, 505 p.
- Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A. Matematicheskoe modelirovanie ploskikh konstruktsii iz armirovann’ykh voloknist’ykh materialov. [Mathematical modeling of the plane constructions from reinforced fibrous materials]. Krasnoyarsk, Sib. Fed. Univ. Publ., 2010, 136 p. (in Russ.).
- Nemirovsiy Yu. V., Feodorova N. A. [Study of curvilinear reinforcement rational structures in polar coordinate system]. Vestn. Samar. Gos. Techn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 2013, No 1 (30), P. 233-244 (In Russ.).
- Kovalenko A. D. Vvedenie v termouprugost. [Introduction to thermoelasticity]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1965, 204 p. (in Russ.).
- Gachkevich A., Kushnir R., Nemirovsky Yu., Terletsky R., Tury O. Modeling of thermomechanical behavior of layered plates at technological thermal radiation. Manufacturing processes. Actual problems - 2013, vol. 2. Modeling and optimization of manufacturing processes Ed. by: M. Gajek, O. Hachkevych, A. Stanik-Besler / Studia i monografie, z. 365. Glava 17. Opole : OWPO, 2013, P. 221-234.
- Nemirovsky Yu. V., Terletsky R., Feodorova N. A. [Breaking strains of planar thermoelastic constructions reinforced by curvilinear structures] Reshetnevskie chteniya : materialy XIX Mezhdunar. nauch.-prak. Konf. (10-14 noyab. 2015, g. Krasnoyarsk) [Reshetnev Readings: proceedings of VII Intern. scientific-practical. Conf. (Nov 10-14, 2015, Krasnoyarsk.)]. 2015, Krasnoyarsk, SibSAU Publ. Ch. 2. P. 130-131 (In Russ.).
- Nemirovsky Yu. V. On the elastic behavior of the reinforced layer. Int. J. Mech. Sci., Vol. 12, 1970, P. 898-903.
- Bushmanov S. B., Nemirovskij Ju. V. [Optimum reinforcing of plates at a flat tension]. Prikl. mekhanika i tekhn. fizika. 1983, No. 5, P. 158-165 (In Russ.).
- Feodorova N. A. [Modeling for Reinforced with Isogonal Trajectories Ring-Shaped Lames in Polar Coordinate System]. Journal of Siberian Federal University. Mathematics&Phisics, 2011, 4(3), P. 400-405 (In Russ.).
- Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza. [Bases of the numerical analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1986, 740 p.
- Feodorova N. A. [Creation of an effective numerical method of the solution of an osesimmetrichesky problem of the reinforced environment]. Chislennye metody resheniya zadach teorii uprugosti i plastichnosti : Tezisy dokladov XXIV Vserossiyskoy konferentsii. Omsk, 2-4 iyunya, 2015. Pod redaktsiey akademika V. M. Fomina. [Numerical methods for solving problems of the theory of elasticity and plasticity: Abstracts of XXIV All-Russian Conference. Omsk, June 2-4, 2015]. Novosibirsk, 2015, P. 200-204 (In Russ.).
- Nemirovsiky Yu. V., Feodorova N. A. [The limit deformation disks of gas and water turbines at various reinforcement structures]. Izvestia vuzov. Phisics, 2013, Vol. 56, No 7/3, P. 191-196 (In Russ.).
- Nemirovskiy Yu. V., Reznikov B. S. Prochnost’ elementov konstruktsiy iz kompozitnykh materialov [Strength of elements of designs from composite materials]. 1986, Novosibirsk, Nauka Publ., 165 p. (In Russ.).
Supplementary files
![](/img/style/loading.gif)