ПРЕДЕЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ТЕРМОУПРУГИХ ПЛОСКИХ КОНСТРУКЦИЙ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ АРМИРОВАНИЕМ

Полный текст

Введение. Современные волокнистые композиты являются неоднородными анизотропными материалами. Упругость и неупругость волокнистых композитов определяется типом арматуры (стекло-, боро-, угле- и органоволокна) и матриц (полимерных, углеродных, металлических, керамических), степенью их взаимодействия в композите, а также углом нагружения относительно направлений армирования. Композиты обладают двумя уровнями неоднородности - микронеоднородностью (монослой, составленный из волокон и связующего) и макронеоднородностью (слоистая структура, составленная из монослоев, с произвольной укладкой по толщине пакета). Отсюда два направления в механике композитов: микрои макромеханика. Сочетанию микро- и макроструктур композита в задаче оптимизации посвящена недавняя работа коллектива зарубежных авторов [1]. Для зарубежной литературы характерно наличие большого количества работ по композитам, описывающих гиперупругость при условии конечных деформаций, например [2; 3]. Структурно-неоднородная среда по своему физико-механическому поведению значительно богаче однородного материала. Разнообразие возможных ситуаций в процессе деформирования и разрушения композитов делает изучение этих материалов привлекательным для специалистов из разных областей механики твердого тела. Например, в волокнистых композитах на уровне армирующих элементов всегда имеются микродефекты - трещины, обусловленные не только несовершенством технологии, но и отступлением от идеализированной модели материала. Центральным моментом в механике волокнистых композитов является существенный учет структуры материала на уровне армирующих элементов - обстоятельство, не характерное для классической механики твердого тела. На уровне армирующих элементов создаются механические свойства материала; управляя укладкой волокон, можно в определенных пределах управлять полями сопротивления материала, «подстраивая» их под действующие усилия. Общий подход построения механики волокнистых композитов представлен в монографии [4]. В настоящее время возможности существенного прироста прочностных характеристик сталей, алюминиевых, титановых и магниевых сплавов практически исчерпаны, и поэтому для значительного улучшения технических параметров в объектах ответственного назначения необходимо использовать разнообразный спектр современных композитных материалов, сочетающих высокую удельную прочность и жесткость с другими ценными качествами: высокой технологичностью изготовления конструкций из них, повышенной стойкостью к агрессивным средам. В современной аэрокосмической промышленности широко используются тонкостенные элементы из волокнистых композитных материалов. Волокнистое армирование позволяет применять новые принципы проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и изделие создаются одновременно в рамках единого технологического процесса. В результате получается изделие с новыми уникальными эксплуатационными качествами. До недавнего времени армирование осуществлялось преимущественно прямолинейными волокнами. Такие структуры армирования не могут быть эффективны для конструкций с большими градиентами полей напряжений и деформаций в зоне отверстий и переходных элементов, часто встречающихся при создании реальных объектов. В этом случае необходимо создавать конструкции со специальными криволинейными структурами армирования, согласованными с реальными требованиями эксплуатации соответствующих изделий. Постановка задачи. В работах [5; 6] сформулирована плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах (), которая включает уравнения равновесия, обобщенный закон Дюамеля-Неймана в условиях термоупругого анизотропного деформирования [7-9], соотношения для напряжений в волокне на основе структурной модели [10]. Пусть армирование выполнено семействами волокон, φm - углы армирования m-м семейством волокон (), являются непрерывными функциями координат, εm -деформация в волокне, ωm - интенсивность армирования m-м семейством волокон. Деформации в волокне определим по структурной модели [10] (1) где коэффициент линейного температурного расширения материала m-го семейства волокон; Т - заданная постоянная температура. Напряжение в волокне σm находим по формуле (2) где Еm - модуль Юнга материала m-го семейства волокон; . Связь напряжений σij и деформаций εij для неоднородного армированного материала запишем в виде где напряжения в связующем определим по формулам с учетом поля температур [7]: где соответственно модуль Юнга, коэффициент Пуассона и коэффициент линейного температурного расширения связующего материала; удельная интенсивность прослоек связующего между армирующими слоями. Напряжения с учетом структурных характеристик имеют вид [5; 6] (3) Приведем коэффициенты в (3) учитывающие все структурные характеристики и влияние поля температур: (4) При наложении дополнительных условий постоянства сечений волокон, что соответствует условиям технологического процесса, интенсивность армирования удовлетворяет следующим соотношениям [11] (5) Интенсивность определяется из (5) после вычисления углов армирования при задании уравнений конкретных траекторий армирования и начальных условий выхода арматуры. В работе [12] построены изогональные траектории к данным семействам плоских кривых, что расширяет многообразие непрерывных криволинейных траекторий. В рамках прямой задачи (известна структура армирования) замкнутая разрешающая система формулируется относительно компонент тензора деформации, поставлена краевая задача в криволинейных координатах [5; 6]. Коэффициенты системы и краевых условий содержат все структурные характеристики композита: заданные углы армирования, интенсивность армирования, механические характеристики материалов связующего и арматуры. В случае осесимметрической задачи (концентрическое кольцо) армирование проводится одним, двумя и тремя семействами волокон, представляющих собой алгебраические спирали и им изогональные траектории [12]. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Особенность полученной системы состоит в том, что она является системой, неразрешенной относительно старшей производной. На основе монографии [13] для такой системы разработан новый эффективный численный метод, учитывающий особенности армированной среды и уменьшающий ошибки численного счета [14]. Такой подход позволяет решать задачи о криволинейно армированных вращающихся дисках, являющихся элементами конструкций ответственного назначения [15]. Анализ признака «расход арматуры». Для анализа эффективности конструкции вводится характеристика армирования - расход арматуры [11]. Обозначим ее символом В. Для армирования кольцевой пластины двумя семействами волокон в полярной системе координат расход арматуры определяется по формуле где R - линейный размер пластины, ; ω1 - интенсивность армирования первым семейством волокон; ω2 - интенсивность армирования вторым семейством волокон. Проводится анализ зависимости от начальных стадий технологического процесса - начальных интенсивностей армирования двумя семействами армирующих волокон для различных структур армирования. Интенсивности армирования для данных структур найдены в аналитическом виде как решение задачи Коши дифференциальных уравнений, представляющих условия постоянства сечений волокон (5). Они определяются по следующим формулам для армирования семейством логарифмических спиралей и семейством «спицы велоколеса»: Для армирования вдоль траекторий семейства спирали Архимеда интенсивность имеет вид для траекторий, изогональных к семейству логарифмических спиралей, интенсивность армирования задается формулой где начальные интенсивности армирования семействами волокон; начальные углы выхода арматуры. На рисунке в осях интенсивностей армирования , показано влияние выбранных начальных условий технологического процесса (в соответствии с таблицей) на признак В «расход арматуры» для различных криволинейных структур армирования. Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения. Сформулированная плоская задача армированной среды в криволинейных ортогональных координатах позволяет решать и обратную задачу по определению эффективной рациональной структуры, если к ней добавить требования равнодеформируемости волокон или равнотрещиностойкости в связующем по критерию Баландина [16]. Постановка задачи об армированной пластине с равной трещиностойкостью связующего. Рассматривается пластина, полученная из набора прослоек связующего и прослоек арматуры, симметричных относительно срединной поверхности. Прослойки тонкие, поэтому реализуется плоское напряженное состояние. Пусть температура постоянная по толщине пластины. Запишем полные деформации в декартовой системе координат как сумму механических и тепловых деформаций: Параметры технологического процесса начальная интенсивность армирования первого семейства волокон начальная интенсивность армирования второго семейства волокон начальный угол выхода семейства «спицы велоколеса» 0,3 0,3 0,05 0,376 0,1 0,318 0,51 0,18 123 а б в Расход арматуры В (ось аппликат) для: а - структуры армирования «семейство логарифмических спиралей» и «спицы велоколеса»; б - структуры «семейство спиралей Архимеда» и «спицы велоколеса»; в - семейства логарифмических спиралей и им изогональных траекторий Потенциальная энергия в прослойках изотропного связующего равна где напряжения в связующем заданы соотношениями (6) С учетом (6) потенциальная энергия запишется как (7) Коэффициенты в (7) для изотропного связующего имеют вид Условие совместности деформаций в декартовой системе координат имеет вид (8) Пусть 2h - толщина пластины, δ1 - толщина армирующего слоя первого направления φ1 с интенсивностью армирования ω1, δ2 - толщина армирующего слоя второго направления φ2 с интенсивностью армирования ω2. Тогда усилия запишем в виде где - напряжения в волокнах арматуры первого и второго семейства соответственно. Их зависимость от температуры задается в виде где деформации в волокнах определяются по формуле (1). Уравнения равновесия в усилиях запишутся как (9) Вводится условие постоянства сечений волокон (5) в декартовой системе координат, а именно: (10) Совокупность уравнений (7)-(10) позволяет решить задачу о нахождении направлений армирующих слоев рассматриваемой пластины в условиях термоупругого деформирования, т. е. решить обратную задачу с дополнительным условием равной трещиностойкости связующего. При введении начальных условий на интенсивности армирования и краевых условий на внешнем контуре получаем замкнутую систему по определению траекторий армирования. Заключение. Развиваемый подход в рамках единой вычислительной схемы позволяет управлять свойствами волокнистого композита, создавать эффективные и рациональные проекты для плоских конструкций как элементов конструкций ответственного назначения.

Об авторах

Ю. В. Немировский

Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН

Российская Федерация, 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1

Н. А. Федорова

Сибирский федеральный университет

Email: feodorova.natalia@mail.ru
Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26

Список литературы

Дополнительные файлы