A NONLINEAR PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL FOR A SYSTEM WITH PARABOLIC EQUATION IF THERE ARE SEVERAL DOT MOBILE SOURCES

Full Text

Введение. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике. Теория смешанных задач для уравнений в частных производных в силу ее прикладной важности в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Одним из классов качественно новых задач для дифференциальных уравнений в частных производных являются нелокальные задачи. Нелокальные задачи в виде интегральных условий встречаются при математическом моделировании явлений различной природы, в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственных измерений. Примером могут служить задачи, возникающие при исследовании диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов распространения тепла, процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах. С другой стороны, теория оптимального управления для систем с распределенными параметрами получила бурное развитие. К системам с распределенными параметрами относятся задачи аэрогазодинамики, химических реакций, диффузии, фильтрации, процессов горения, нагрева и т. д. [1-7]. Разрабатываются эффективные численные методы и программные средства для решения задач динамики и управления. При приближенном решении задач оптимального управления системами с распределенными параметрами используется широкий спектр разных методов (см. [8-15]). Одним из направлений теории оптимального управления системами с распределенными параметрами является разработка методов решения задач оптимального управления при наличии подвижных источников [16]. Во многих задачах нелинейного оптимального управления процессом теплопередачи часто приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управлять процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. Поведение таких систем в общем случае описывается совокупностью нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и параболических уравнений при начальных и граничных условиях. В данной работе рассматриваются вопросы аналитического и приближенного решения нелинейной задачи оптимального управления для одной системы с параболическим и обыкновенным дифференциальными уравнениями при смешанных и начальном условиях и с квадратичным критерием оптимальности. При этом предполагается существование нескольких подвижных точечных источников. Постановка задачи. Рассмотрим в области D нелинейную задачу управления процессом распространения тепла по стержню конечной длины (1) при начальном (2) и нелокальных условиях (3) где - функции внешнего источника; - управляющие функции, ; - функция состояния управляемого процесса; - функция распределения тепла по стрежню в начальный момент времени, - дельта-функция Дирака, D ≡ DT × Dl, 0 < T < ∞, Функции описывают изменения положения подвижных точечных источников в пределах от нуля до l и определяются как решение следующей задачи Коши: (4) где В данной работе при фиксированных управлениях используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде ряда Фурье (5) где Задача. Найти такие управляющие функции и соответствующее им состояние - решение смешанной задачи (1)-(3), что доставляют минимум функционалу (6) где - заданная функция такая, что 0 < α, В работе на основе принципа максимума формулируются необходимые условия оптимальности, вычисляются управляющие функции и решается соответствующая смешанная задача (1)-(3). Данная работа является дальнейшим развитием работы [17]. Смешанная задача (1)-(3). Обозначим Замыкание этого пространства по норме обозначим Для числовой последовательности φi в пространстве используется следующая норма: Кроме того, в данной работе используются следующие обозначения. Класс функций, ограниченных по норме числом M, обозначим через Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменным с коэффициентом N, обозначим через А для функций одной переменной индекс опускается. Как и в работе [13], можно убедиться, что решение смешанной задачи (1)-(3) при фиксированных значениях управлений с помощью ряда Фурье (5) представляется в следующем виде: (7) где Предположим, что нелинейные функции удовлетворяют следующим условиям: (8) (9) где Теорема 1. Пусть и функции удовлетворяют условиям (8), (9). Тогда для функции (7) справедливо . Доказательство. Действительно, имеем где Отсюда следует утверждение теоремы. И при этом нетрудно убедиться, что при выполнении условий этой теоремы функция (7) является единственным обобщенным решением смешанной задачи (1)-(3) при фиксированных значениях функций Построение оптимального управления. Пусть являются оптимальными управлениями где Нетрудно показать, что применение принципа максимума приводит к следующим необходимым условиям оптимальности [4]: (10) (11) где - обобщенное решение следующей задачи: сопряженной с задачей (1)-(3), и определяется по формуле (12) С учетом условий (8), (9) условия оптимальности (10), (11) перепишем в следующем виде: (13) (14) С учетом (14) из (12) и (13) получаем или (15) где В уравнение (15) положим где - пока неизвестные функции, но мы для начала предположим, что они заданы. Тогда имеем следующие функциональные уравнения: (16) Пусть выполняется следующее условие: Тогда функциональные уравнения (16) имеют единственное решение, которое на отрезке DT находится из следующего итерационного процесса: (17) Это решение обозначим так: (18) Теперь для определения функции , подставляя (18) в (15), получаем интегральные уравнения Фредгольма (19) В качестве нормы для произвольной функции используем евклидову норму Теорема 2. Пусть: 1) Выполняются условия теоремы 1 и условие (14); 2) 3) 4) 5) Тогда нелинейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода (19) имеют единственное решение Доказательство. Сначала заметим, что функции и ограничены (20) (21) С учетом оценок (20) и (21) рассмотрим следующий итерационный процесс: (22) В силу условий теоремы из (22) получаем следующие оценки: (23) (24) Из оценок (23) и (24) следует, что нелинейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода (19) имеют единственное решение Теорема доказана. Кроме того, из (19) и (22) аналогично (23) и (24) можно получить, что справедлива оценка Отсюда с учетом (18) и второго условия теоремы 2 для погрешности приближенного вычисления управляющих функций получаем оценку (25) Построение оптимального процесса и вычисление минимального значения функционала. Согласно (7) оптимальный процесс находим по формуле (26) Оптимальный процесс (26) можно приближенно найти с помощью итерационного процесса Пикара (27) Минимальное значение функционала, согласно формулам (6) и (26), находится из следующей формулы: (28) Из работы [18], в частности, следует, что задача Коши (4) при выполнении условия имеет единственное решение . Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Тогда функционал (28) принимает конечное значение. Доказательство. Учитывая доказательства теорем 1 и 2, из (28) получаем Отсюда следует, что функционал (28) принимает конечное значение. Теорема доказана. Приближенное значение функционала вычисляется по следующему итерационному процессу: (29) определяется из следующего итерационного процесса: (30) Заключение. В работе предлагается методика решения одной точечной подвижной задачи нелинейного оптимального управления для одной системы с параболическим и обыкновенным дифференциальными уравнениями при смешанных нелокальных и начальном условиях. Сначала используется метод Фурье разделения переменных. На основе принципа максимума формулируются необходимые условия оптимальности управлений при квадратичных критериях. Доказывается однозначная разрешимость оптимальных управлений. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. Получается формула для приближенного вычисления подвижных оптимальных управлений и оценка для допускаемой погрешности по оптимальным управлениям. Приводятся формулы для приближенного вычисления оптимального процесса и минимального значения функционала. При этом используются итерационные процессы (17), (22), (27), (29) и (30). Полученные результаты могут найти дальнейшее применение в развитии математической теории нелинейного оптимального управления системами с распределенными параметрами при наличии подвижных источников.

About the authors

Т. К. Yuldashev

Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation

References

Supplementary files