COEVOLUTIONARY GENETIC PROGRAMMING ALGORITHM APPLICATION IN APPROXIMATION PROBLEM OF APPROXIMATION OF REFRACTOMETRIC PROPERTIES OF OPTICAL TRANSPARENT CRYSTALS

Full Text

Высокие темпы информатизации привели к тому, что в настоящее время появилась возможность ком- пьютерного моделирования и проектирования слож- ных систем, изучения их свойств и управления ими в условиях неполноты информации, ограниченности ресурсов, дефицита времени. Однако для исследова- ния характеристик любой системы математическими методами должна быть обязательно выполнена фор- мализация, т. е. построена математическая модель. Исследования с помощью математических моделей зачастую являются единственно возможным способом изучения сложных систем и решения важнейших за- дач управления. Так, например, обстоит дело при изу- чении процессов, протекающих в течение длительно- го времени, – в условиях математического моделиро- вания подобный процесс может быть исследован в ускоренном масштабе времени. Однако на практике сложно зафиксировать свой- ства функциональной зависимости выходных величин от входных и еще сложнее привести аналитическое описание такой зависимости. Если экспертные знания об объекте в явном виде отсутствуют, то обычно по имеющимся статистическим данным строится неко- торая вычислительная модель. Однако недостаток численной модели при всем ее удобстве для принятия решений заключается в том, что она, по сути, являет- ся «черным ящиком», т. е. моделью, в которой пере- числяются входные и выходные связи системы со средой, а информация о внутренней структуре полно- стью отсутствует. Решение задачи символьной регрессии могло бы значительно улучшить сложившуюся ситуацию. Сим- вольная регрессия дает нам не только вычислитель- ную процедуру, но и математическое выражение в символьной форме, которое можно подвергнуть со- держательному анализу, упростить и уточнить. Один из самых многообещающих подходов в данном на- правлении – это генетическое программирование [1]. Алгоритм генетического программирования является модификацией генетического алгоритма [2]. Основ- ное различие заключается в представлении решений. Решения в генетическом программировании могут иметь различную форму и размер, наиболее распро- страненное представление – это представление в виде деревьев. При решении задачи символьной регрессии алго- ритмом генетического программирования в качестве функции пригодности используют нормированную на области значений выходной зависимой переменной ошибку аппроксимации, вычисленную с использова- нием какой-либо метрики, например евклидовой, Миньковского и др. Алгоритм генетического программирования, как и генетический алгоритм, является стохастической процедурой, оценка его эффективности (надежности) осуществляется усреднением количества найденных решений по многократным запускам. Однако нельзя однозначно сказать о превосходстве определенного алгоритма, но можно выявить (по большинству луч- ших результатов) наиболее эффективный алгоритм и проранжировать остальные алгоритмы в порядке убывания показателя надежности [3]. Но даже после многократных решений поставлен- ной задачи остается неопределенность в выборе па- раметров настройки алгоритма генетического про- граммирования. Это подтверждает тот факт, что для каждой задачи существует свой наилучший алгоритм, т. е. своя стратегия поиска решения. Также следует отметить, что не всегда имеется возможность много- кратного запуска алгоритма для нахождения более точного решения по многим причинам, например из-за высокой стоимости вычислений целевой функции, отсутствия времени на перезапуск алгоритма и т. д. Поэтому необходимо выбирать конкретный алго- ритм и настраивать его параметры на решаемую зада- чу исходя из какой-либо априорной информации или из накопленного опыта. Но выбор конкретного алго- ритма и настройка его параметров сами по себе явля- ются очень сложными задачами, при неудачном ре- шении которых алгоритм может не справиться с по- ставленной перед нами целью [4]. Коэволюционный алгоритм генетического про- граммирования. Одним из методов разрешения про- блемы выбора эффективной стратегии поиска для задачи символьной регрессии с помощью алгоритма генетического программирования является использо- вание коэволюционной стратегии, т. е. конкуренции алгоритмов за вычислительные ресурсы. *Работа выполнена в рамках НИР Б1.25.11 по тематическому плану ЕЗН Сибирского государственного аэрокосмическо- го университета имени академика М. Ф. Решетнева и при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры Рос- сии» (НИР 2011-1.2.1-113-025, 2011-1.2.2-215-021). 4 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Основная идея коэволюционного алгоритма гене- ческой структурой (симметрия R 3 ), но его меж- и тического программирования (КАГП) состоит в сле- дующем: одновременно эволюционируют несколько субпопуляций в рамках индивидуальных алгоритмов генетического программирования, каждый из которых обладает своей стратегией поиска и самостоятельно решает поставленную задачу [5; 6]. При этом алго- ритмы борются за общий вычислительный ресурс, который в течение работы коэволюционного алго- ритма перераспределяется в пользу более эффектив- ного из них через заданный интервал адаптации, вы- раженный в количестве поколений. Поскольку коэволюционный алгоритм основыва- ется на конкурирующих стратегиях алгоритмов гене- тического программирования, то для субпопуляций необходимо ввести функцию пригодности. С помо- щью этой функции определяется лучшая популяция и ей дается больше ресурса для решения задачи. Пусть Т – интервал адаптации, b(k) = (kT, kT–1, …, k1) – вектор длиной Т. Если i-я популяция в момент k со- держит наилучшего (по всем популяциям) индивида, то bi(k) = 1, иначе bi(k) = 0. Качество популяции мож- но оценить по формуле [7]: Т −1 T − k внутрислоевой обмены близки по величине и различ- ны по знаку. Магнитная кристаллографическая анизо- тропия у NaMnCl3 типа «легкая плоскость». Из-за большого числа различающихся обменных парамет- ров, определяющих магнитную структуру, расчет магнитных и магнитооптических свойств данного кристалла весьма проблематичен. В этих кристаллах экспериментально изучались зависимости магнитного линейного двупреломления света (МЛД) от температуры [8; 9]. Для полученных результатов строилась аппроксимация с помощью коэволюционного алгоритма генетического програм- мирования. При решении задачи использовались следующие параметры коэволюционного алгоритма генетическо- го программирования: терминальное множество – {x, C}, где x∈R, C∈[–10;10]; функциональное множе- ство – {+, –, *, ÷, sin, cos, sqrt, power, ln, exp}; размер ресурса – 400; начальная глубина деревьев – 3; интер- вал адаптации – 5; размер штрафа – 10 %; размер со- циального минимума – 10; количество индивидуаль- ных алгоритмов – 4. Двупреломление света в Rb2MnCl4. Анализ тем- qi = ∑ k =0 ⋅ bi (k ) . (1) пературной зависимости линейного двупреломления (ЛД) Rb2MnCl4 (рис. 1) показывает, что свет распро- Изменение размера ресурсов происходит путем сокращения субпопуляции каждого проигравшего алгоритма на некоторый процент (определенный за- ранее) и увеличения субпопуляции победившего ал- горитма на число, равное сумме потерь проигравших алгоритмов. Каждому из алгоритмов гарантирован некоторый заранее определенный размер субпопуля- ции, который не может быть уменьшен, называемый социальным минимумом. Таким образом, общий ресурс, выделенный для решения задачи, остается неизменным. После перераспределения ресурса алго- ритмы продолжают свою работу с субпопуляциями, в которые входят только лучшие решения из преды- дущих субпопуляций. Процесс продолжается до тех пор, пока либо не выполнится критерий останова, либо не кончится ресурс, выделенный на решение задачи [7]. Задача аппроксимации рефрактометрических свойств прозрачных магнетиков. В оптически про- зрачных кристаллах Rb2MnCl4 и NaMnCl3 при низких температурах (ниже 56 и 6,5 К соответственно) уста- навливается антиферромагнитный порядок магнит- ных моментов ионов марганца. Кристаллическая 17 страняется перпендикулярно оси кристалла C4, длина волны света λ = 632,8 нм. Однако отсутствие допол- нительных сведений о коэффициентах расширения и магнитострикции кристалла не позволяет выделить магнитный вклад в ЛД. Аномальное изменение ЛД при температурах ниже 200 К можно связать с нали- чием в кристалле магнитного порядка и считать, что температурная производная ЛД dΔn/dT (рис. 2) пред- ставляет собой лишь незначительно искаженную про- изводную магнитного вклада в Δn . Согласно общему выводу феноменологический теории, ЛД должно быть пропорционально второй степени компонент антиферромагнитного вектора или, в случае коллинеарного двухподрешеточного антиферромагнетика с малой анизотропией, квадрату подрешеточной намагниченности. Однако сравнение температурного хода ЛД с температурной зависимо- стью квадрата намагниченности подрешеток показы- вает их существенное расхождение в окрестности и выше темперетуры Нееля TN. Если подрешеточная намагниченность в окрестности TN быстро убывает и обращается в нуль, то магнитный вклад в ЛД су- ществует при температурах, значительно превы- структура первого кристалла (симметрия D4h ) слои- шающих TN. Последнее указывает на большую вели- стая, расстояние между магнитными ионами в слоях и межслоевое расстояние сильно различаются, поэтому кристалл является магнетиком с почти идеальной двумерной магнитной структурой, позволяющей про- водить модельные оценки магнитных свойств, и лег- коосным антиферромагнетиком с осью легкого на- магничивания, направленной вдоль оси симметрии С4. Второй кристалл также обладает слоистой кристалли- чину среднеквадратичных флуктуации вектора l в парамагнитной фазе, отражающую влияние ближне- го магнитного порядка и являющуюся следствием низкой размерности магнитного порядка кристалла. Для более наглядного определения влияния низ- кой размерности магнитного порядка ЛД можно опи- сать в терминах, зависящих от спинов поляризуемо- стей ионов. 5 Математика, механика, информатика Полная поляризуемость кристалла, зависящая от спинов, имеет вид Минимизируя (d Δn dT ) КАГП − (d ΔndT )мод по 2 Δnm = A∑ (S z )2 + B∑ G G * (S j Sl ) , (2) параметру внутрислоевого обменного взаимодействия между ионами марганца J, можно получить его оцен- j j ,l где A и B – константы, связанные соответственно с величиной одно- и двухионных поляризуемостей кри- ку. Такая минимизация дает значение J kB = −5, 66 К. Однако между экспериментальным и модельным результатами, представляющими высокотемператур- ное разложение, существует значительное различие сталла; z – проекция на ось z спина Sj, расположен- (рис. 3). Намного лучше аппроксимирует эксперимен- ного на j-м узле. Из (1) следует, что если одноионные поляризуе- мости малы по сравнению с двухионными, то Δnm пропорционально магнитной энергии кристалла, тальные точки зависимость, полученная с помощью коэволюционного алгоритма генетического програм- мирования (сплошная жирная кривая на рис. 2–4). Нижняя кривая на рис. 2 представляет разницу между модельной зависимостью, определенной для а d Δnm dT ≈ cm. Оценить зависимость cm(T) при вы- плоской квадратной решетки, и аналитическим выра- соких температурах можно, используя высокотемпе- жением, полученным коэволюционным алгоритмом ратурное разложение в ряд по степеням x = J (kBT ) , генетического программирования. Эта разница может быть использована для интерпретации несовпадения где J – обменный параметр; kB – константа Больцмана. Для этого нужно пренебречь межплоскостным обме- ном и рассматривать высокотемпературное разложе- ние cm для плоской квадратной решетки. модельного описания и эксперимента, поскольку она включает в себя неучтенный решеточный вклад, т. е. вклад, связанный с отступлением от двумерного порядка в магнитной подсистеме и т. д. Рис. 1. Температурное поведение Δn Rb2MnCl4: Рис. 2. Зависимость d Δn/dT Rb2MnCl4 от температуры: сплошная кривая – ход кривой квадрата подрешеточной намагниченности сплошная тонкая кривая соответствует высокотемпературному разложению cm (магнитной теплоемкости) для J k = −5, 66 К; сплошная жирная кривая – аппроксимация, полученная коэво- люционным алгоритмом генетического программирования; нижняя кривая – различие модели и аппроксимации Рис. 3. Зависимость dΔn/dT Rb2MnCl4 от температуры до (◊) и после (○) фазового перехода: −–– и – – – результат работы алгоритма Рис. 4. Температурное поведение Δn Rb2MnCl4 до (◊) и после (○) фазового перехода: −–– и – – – результат работы алгоритма 6 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Рис. 5. Температурная зависимость линейного двупреломле- ния света в NaMnCl3 до (○) и после (◊) фазового перехода (длина световой волны λ = 632,8 нм): −–– и – – – результат работы алгоритма Рис. 6. Температурная зависимость производной линейного двупреломления NaMnCl3 до (○) и после (◊) фазового перехода: −–– и – – – результат работы алгоритма Двупреломление света в NaMnCl3. Результаты диэлектрической проницаемости εij , описывающие измерений линейного двупреломления Δn NaMnCl3, приведенные к T = 6,5 К (рис. 5), показали следующее. рефрактометрические свойства кристалла: Поскольку температура Дебая NaMnCl3 значи- ε = ε0 + 2λ l2 + 2λ l 2 + 2λ l l + 2λ l l + тельно превышает TN, то можно считать, что вклад xx xx 2 4 z 9 z y 10 z x 2 2 2 2 в Δn за счет расширения решетки мал. Тогда измене- + 2λ11 (lx + ly ) + +2ρ2m + 2ρ4 mz + 2ρ9 mz my + ние Δn при низких температурах (Т < 50 К) будет обя- + 2ρ m m + 2ρ (m2 + m2 ), зано только магнитному вкладу, в том числе и стрик- 10 z x 11 x y ционному, и изменение Δn(T) можно считать магнит- ε = ε0 + 2λ l2 + 2λ l 2 − 2λ l l − 2λ l l − yy yy 2 4 z 9 z y 10 z x ным двупреломлением Δnm. − 2λ (l 2 + l 2 ) + 2ρ m2 + 2ρ m2 − 2ρ m m − При TN = 6,5 К на кривой Δnm(T) наблюдается из- 11 x y 2 4 z 9 z y лом, который соответствует установлению в кристал- − 2ρ m m − 2ρ (m2 + m2 ), 10 z x 11 x y ле магнитного порядка. Ниже TN происходит ано- 0 2 2 2 2 мально быстрое изменение Δn, связанное с ростом εzz = εzz + 2λ1l + 2λ3lz + 2ρ1m + 2ρ3mz , подрешеточных намагниченностей. При T > TN на ε = λ l 2l 2 +λ l l +λ (l 2 − l 2 ) − 2λ l l + yz 5 z y 6 z x 7 x y 8 x y (3) кривой Δn(T) появляется хвост, который тянется до +ρ m m + ρ m m + ρ (m2 − m2 ) − 2ρ m m , температур Т ≈ 40 К и обязан ближнему магнитному 5 z y 6 z x 7 x y 8 x y порядку в кристалле – долгоживущим флуктуациям ε =λ l 2l 2 − λ l l + λ l l + 2λ (l 2 − l 2 ) + вектора l. xz 5 z x 6 z y 7 x y 8 x y 2 2 Принимая во внимание пропорциональность Δnm магнитной энергии кристалла, а следовательно, и +ρ5mz mx − ρ6 mz my + ρ7 mx my + 2ρ8 (mx − my ), εxy = 2λ9lz lx − 2λ10lz ly + 4λ11lx ly + 2ρ9 mz mx − (d Δnm dT ) ≈ cm, проанализируем особенности пове- − 2ρ m m + 4ρ m m , дения d Δnm dT NaMnCl3 (рис. 6). Для этого сравним 0 10 z y 11 x y ее с поведением теплоемкости cm, рассчитанной где ε ij – значения диагональных компонент тензора для слоистых магнитных систем с различным внутри- и межплоскостным обменом. Для NaMnCl3 получаем, что cm ≈T 3 при T << 3 К, а при более высоких температурах (T < TN) cm ≈ T. диэлектрической проницаемости в парамагнитной фазе; λ и ρ – магнитооптические коэффициенты. Выражения (3) полностью описывают состояние оптической индикатрисы кристалла в магнитоупоря- При TN кривая d Δnm dT имеет острый максимум, доченной фазе. Однако теоретически рассчитать тем- характерный для трехмерных гейзенберговских анти- пературное поведение λ и ρ невозможно, поскольку ферромагнетнетиков. При T > TN d Δnm dT имеет выражения (3) описывают влияние дальнего порядка вид, отличный от поведения cm двумерных систем (например, Rb2MnC4). Учитывая симметрию кристалла и феноменологи- ческие особенности магнитной структуры, получим выражения для компонент симметричного тензора на εij. Получить флуктуационный вклад в парафазе из модельных соображений также нереально, так как магнитная система имеет сложную структуру и раз- мерность, переходную от 2 к 3. Потому описание этой системы аналитическими соотношениями, получен- 7 Математика, механика, информатика ными коэволюционным алгоритмом генетического программирования, представляется полезным. Испы- тание алгоритма на тестовых примерах показывает, что при правильном выборе функционального множе- ства алгоритм находит функцию, генерирующую вы- борку. Эта дает надежду получить символьное соот- ношение, являющееся истинным законом, описы- вающим реальные физические данные, имеющие сложную природу. Таким образом, применение коэволюционного ал- горитма генетического программирования позволило построить хорошие аппроксимации рефрактометри- ческих свойств оптически прозрачных кристаллов Rb2MnCl4 и NaMnCl3. Исходя из сравнения аппрокси- мирующих соотношений и модельных описаний оп- ределена величина обменного взаимодействия между магнитными ионами. Выделен вклад в рефрактомет- рические свойства магнетика в парафазе, обусловлен- ный механизмами, не связанными с флуктуациями вектора антиферромагнетизма.

About the authors

S. S. Aplesnin

Email: aplesnin@sibsau.ru.

V. G. Zhukov

Email: vadimzhukov@mail.ru.

E. A. Popov

Email: epopov@bmail.ru.

References

Supplementary files