AGGREGATIVE MODEL OF REAL INVESTMENT UNDER PARTLY UNCERTAIN DEMAND AND RETURNS OF PRODUCTIVE ASSETS

Abstract

The authors offer to apply z-transformation to the estimation of effectiveness of investment projects under partial uncertainty of demand for its production and efficiency of capital stock.

Full Text

Рассмотрим задачу, являющуюся, с одной сторо- ны, обобщением задачи из работы [1] на случай двух критериев, а с другой – ее частным вариантом, когда спрос на производимую продукцию или максималь- ную фондоотдачу по некоторым видам производст- венных активов неизвестен, т. е. когда статистические 1) учитываются налоги, составляющие большую часть затрат предприятия: налог на добавленную стоимость (НДС), налог на прибыль (НП), налог на имущество (НИ), единый социальный налог (ЕСН) и отчисления в фонд оплаты труда (ФОТ); 2) предприятие имеет достаточные запасы сырья; данные об этих важнейших рыночных характеристи- 3) срок T действия ИП меньше сроков Tk службы ках инвестиционного проекта (ИП) отсутствуют, яв- ляются недостоверными или неполными (в силу ин- новационности проекта, коммерческой тайны, наме- ренной дезинформации и т. п.). Сформулируем задачу следующим образом. Пред- единицы ОПФ каждого типа: T < Tk (k = 1, ..., n); 4) на ОПФ каждого вида производится лишь один тип продукции. С учетом перечисленных предпосылок сформули- рованная выше задача описывается двухкритериаль- приятие имеет капитал K0 . При этом государствен- ной многошаговой задачей линейного программиро- ный орган (ГО) для реализации ИП выделяет инве- вания (МЗЛП), которую обозначим как модель стиции не более величины I0 на приобретение актив- A(n1, n2): ных основных производственных фондов (ОПФ) n видов. Спрос на производимую продукцию и макси- мальная фондоотдача заданы лишь на первые n1 и n2 видов ОПФ соответственно. Необходимо найти стои- мость (количество) всех приобретаемых в моменты t = 1, …, T ОПФ каждого вида, при которых дисконти- рованные суммы собственных средств предприятия и xk (t +1) = xk (t ) + u k (t ) (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T −1), n xn+1 (t +1) = −∑ xk (t ) / Tk + xn +1 (t ) + k =1 n + ∑u k (t ) (t = 0, ..., T −1), k =1 его налоговых поступлений в ГО являются наиболь- x (t +1) = −α x (t ) + x (t ) − шими за все время T действия ИП. При этом предпо- n+2 2 n n+1 n +2 лагаются выполненными следующие основные пред- посылки: −∑u k =1 k (t ) + u 2n+1 (t ) + u2n+ 2 (t ) (t = 0), (1) * Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (НИР 2.1.1/2710). 81 Математика, механика, информатика n xn+2 (t +1) = α3 ∑ xk (t ) / Tk − θxn +1 (t ) + xn+ 2 (t ) − k =1 n n − ∑u k (t ) + γ∑u n +k (t ) (t = 1, ..., T −1); на момент t = T от ее балансовой стоимости, опреде- ляемая в общем случае экспертно. Отметим, что модель (1), (2) формально можно рассматривать как частный случай модели A, которая приведена в работе [2], при следующих условиях: k =1 k =1 xk (0) = 0 (k = 1, ..., n + 2); xn+2 (t ) ≥ 0 (t = 1, ..., T −1) , q k (t + 1) → +∞ (k = n1 + 1, ..., n; t = 1, ..., T − 1), 1 2 δ k → +∞ (k = n2 + 1, ..., n); T = T n n 1 2 = 1, −∑xk (t) / Tk −α2 xn+1(t) + (1−β)∑u n+k (t) ≥ 0 (t =1, ..., T −1); где T и T – моменты окончания инвестирования и k =1 k =1 un +k (t ) ≤ q k (t + 1) (k = 1, ..., n1; t = 1, ..., T − 1), начала производства. С другой стороны, учитывая, что задача (1), (2) обозначена выше как A(n1, n2), ука- un +k (t ) ≤ δ k xk (t ) (k = 1, ..., n2 ; t = 1, ..., T − 1), занную модель A можно записать как A(n, n), т. е. формально A(n, n) = A. В [2] приведены частные вер- u2n +1 (t ) ≤ I0 , u2n+2 (t ) ≤ K0 (t = 0), сии модели A с неопределенным спросом и макси- u k (t ) ≥ 0 (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T −1), мальной фондоотдачей на все виды производимых u n +k (t ) ≥ 0 (k = 1, ..., n; t = 1, ..., T − 1), продуктов и все типы ОПФ, обозначенные как модели B1 и B2, получаемые из нее соответственно при вы- u2n +1 (t ) ≥ 0, u2n +2 (t ) ≥ 0 (t = 0), полнении асимптотических соотношений: где J = {J1 , J 2 } → max, (2) q k (t + 1) → +∞ (k = 1, ..., n; t = 1, ..., T − 1); 1 2 T 1 = T 2 = 1 J1 = −u2n +1 (0) − u2n+2 (0) + и δ k → +∞ (k = 1, ..., n); T = T = 1. ⎡ n n ⎤ T −1 ⎢α3 ∑ xk (t ) / Tk − θxn +1 (t ) + γ∑u n+k (t )⎥ Тогда, аналогично предыдущему, можем записать, что A(0, n) = B1, A(n, 0) = B2. ∑ ⎣ k =1 t =1 (1 + r)t δx (T ) + n +1 , k =1 ⎦ + В соответствии с работой [3], многокритериальная МЗЛП (ММЗЛП) (1), (2) равносильна однокритери- альной задаче с условиями (1) и максимизацией (1 + r)T −1 свертки критериев 2 J (μ) = μ1 J1 + μ2 J 2 , где ⎡ n n ⎤ μ ∈ M = {(μ1; μ2 ) ∈ E | μi > 0 (i = 1, 2); μ1 + μ2 = 1} – T −1 ⎢−α3 ∑ xk (t ) / Tk + θxn +1 (t ) + ρ∑u n + k (t )⎥ вектор параметров, E 2 – двумерное евклидово про- J 2 = ∑ t =1 ⎣ k =1 (1 + r )t k =1 – странство. Учитывая, что μ2 = 1 − μ1 и обозначая соответственно дисконтированная сумма собственных средств предприятия и налоговых поступлений в ГО, μ = μ1 , перейдем от ММЗЛП (1),(2) к эквивалентной ей однокритериальной задаче (1) при условии, что uk (t ) (t = 0, ..., T −1) , un+k (t ) (k = 1, ..., n; t = 1, ..., T −1), J (μ) = μJ1 + (1 − μ) J 2 → max (μ ∈ (0;1)), (3) u2n +1 (0) и u2n+2 (0) – стоимость приобретаемых ОПФ, где J , J – критерии из соотношения (2). выручка от реализации продукции k-го типа, внешние 1 2 и внутренние инвестиции соответственно; Рассмотрим частный вариант задачи двухкритери- альной оценки проекта, описанного моделью (1), (2), xk (t ) (k = 1, ..., n), xn +1 (t ) , xn +2 (t ) (t = 0, ..., T ) – соот- когда δ = 0 (т. е. продажа ОПФ предприятием не ветственно накопленная стоимость всех ОПФ k-го типа, остаточная стоимость всех ОПФ, текущие де- предполагается). Для применения z-преобразования к анализу модели (1), (3) доопределим управления, нежные средства предприятия в момент t; Vk , Tk , ck , uk (t ) (k = 2n +1, 2n + 2; t = 1, ..., T −1) до вектора посто- q k (t + 1) (k = 1, ..., n1; t = 1, ..., T −1) и Pk – соответст- янной размерности 2n + 2, полагая отсутствующие венно производительность, срок службы, стоимость единицы ОПФ, прогнозный спрос на продукцию k-го типа в момент t + 1 и стоимость единицы про- управляющие переменные равными нулю, т. е. допол- няя указанную задачу условиями u n +k (t ) ≤ 0, u n+k (t ) ≥ 0 (k = 1, ..., n; t = 0); дукции k-го типа; I0 , K0 – суммы внешних и внут- ренних инвестиций, выделяемых на весь срок дей- u2n +1 (t ) ≤ 0, u2n +1 (t ) ≥ 0; ствия ИП; α1 , α2 , α3 , α4 – ставки НДС, НИ, НП и u2n +2 (t ) ≤ 0, u2n + 2 (t ) ≥ 0 (t = 1, ..., T −1). ЕСН соответственно (НДС включается в цену про- Тогда МЗЛП (1), (3) запишем единообразно, пе- дукции, поэтому можно считать, что α1 = 0 ); β – рейдя к задаче: доля выручки от реализации, выделяемая на ФОТ; xk (t +1) = xk (t ) + u k (t ) (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T −1); θ= (1− α3 )α2 , δk = PkVk / ck (k =1, ..., n), γ = (1− α )(1−β), n n ρ= (1 − β)α3 + α4β, r – ставка доходности ИП; xn+1 (t +1) = −∑xk (t) / Tk + xn+1 (t) + ∑u k (t) (t = 0, ..., T −1), δ (0 ≤ δ ≤ 1) – доля остаточной стоимости всех ОПФ k =1 k =1 82 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева n xn +2 (t +1) = α3 ∑ xk (t ) / Tk − θxn+1 (t ) + k =1 n n + xn+2 (t ) − ∑u k (t ) + γ∑u n +k (t ) + n zX n+2 ( z) ≥ 0 , (1 − β)∑δk X k ( z) − α2 X n +1 ( z) ≥ 0, (6) k =1 U n+k ( z) ≤ Q k ( z) (k = 1, ..., n1 ), k =1 k =1 U n+k ( z) ≤ δ k X k ( z) (k = 1, ..., n2 ), + u2n +1 (t ) + u2n+2 (t ) (t = 0, ..., T −1); xk (0) = 0 (k = 1, ..., n + 2); xn +2 (t ) ≥ 0 (t = 0, ..., T −1), n −∑ xk (t ) / Tk − α2 xn +1 (t ) + (1 − β) × k =1 n × ∑u n +k (t ) ≥ 0 (t = 0, ..., T −1); k =1 U 2n +1 ( z) ≤ I0 , U 2n+2 ( z) ≤ K0 ; U k ( z) ≥ 0 (k = 1, ..., 2n + 2); J (μ, z) = μ J 1 ( z) + (1 − μ) J 2 ( z) → max (μ ∈ (0;1); z > 1), где n J 1 ( z) = −θX n +1 ( z) + γ∑U n+k ( z) − U 2n +1 ( z) − U 2n +2 ( z), k =1 n J 2 ( z) = θX n +1 ( z) + ρ∑U n +k ( z), un +k (t ) ≤ q k (t + 1) (k = 1, ..., n1; un +k (t ) ≤ δ k xk (t ) (k = 1, ..., n2 ; t = 0, ..., T −1), t = 0, ..., T − 1), ∞ U j ( z) = ∑u k =1 (t ) z −t ( j = 1, ..., 2n + 2) u2n +1 (t ) ≤ I0 , u2n+2 (t ) ≤ K0 (t = 0, ..., T −1), u k (t ) ≥ 0 (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T −1), u n +k (t ) ≥ 0 (k = 1, ..., n; t = 0, ..., T − 1), и X k ( z) = ∞ ∑ t =0 t =0 x (t ) z −t (k = 1, ..., n + 2) – z-изображения u2n +1 (t ) ≥ 0, u2n+2 (t ) ≥ 0 (t = 0, ..., T −1), управляющих и фазовых переменных задачи (4), ∞ J (μ) = μJ 1 + (1 − μ) J 2 → max (μ ∈ (0;1)), (4) Q ( z) = q (t + 1)z −t (k = 1, ..., n ) J (μ, z) = lim J (μ) , где k ∑ k t =1 1 T →∞ ⎡ n ⎤ причем при T → +∞ по построению ⎢ α3 ∑ xk (t ) / Tk − θxn +1 (t ) + ⎥ ⎢ k =1 ⎥ J * (μ) ≤ J * (μ, z) (μ ∈ (0;1)) , откуда в силу (5) получим ⎢ n ⎥ J * (μ) ≤ J * (μ, z) (μ ∈ (0;1); z > 1). (7) ⎢+ γ∑u n+k (t ) − u2n+1 (t ) − u2n + 2 (t )⎥ J 1 = ∑ t =0 ⎢⎣ k =1 (1 + r )t ⎦⎥ , Отметим, что однокритериальная задача (6) экви- валентна двухкритериальной ЗЛП с теми же ограни- ⎡ n n ⎤ чениями и условиями J (μ) = {J 1 , J 2 } → max , которую T −1 ⎢−α3 ∑ xk (t ) / Tk + θxn+1 (t ) + ρ∑u n + k (t )⎥ J 2 = ∑ t =0 ⎣ k =1 (1 + r)t k =1 ⎦. назовем агрегированной моделью реальных инвести- ций с частично неопределенными спросом и фондо- По построению для целевых критериев J (μ) и отдачей ОПФ (моделью ZA(n1,n2)), соответствующей ММЗЛП A(n1, n2). J (μ) соответственно задач (1), (3) и (4) имеет место Для задачи (1), (2) имеет место следующая лемма. неравенство J (μ) ≤ J (μ) . В частности, для оптималь- Лемма. Для оптимальных значений переменных u* (t ) и x* (t ) МЗЛП (1), (2) справедливы равенства ных значений указанных сверток критериев справед- ливо соотношение n+ k k ⎡q (t +1) (k = n + 1, ..., n ; t = 1, ..., T −1), J * (μ) ≤ J * (μ) (μ ∈ (0;1)) . (5) k 2 1 ⎢ u* (t ) = ⎢n1 > n2 ; (8) Полагая z = 1 + r > 1, перейдем в задаче (4) к пре- делу при T →∞ . Тогда, принимая во внимание пред- n +k ⎢δ x* (t ) (k = n +1, ..., n ; t = 1, ..., T −1), ⎢ k k 1 2 посылку 3, в силу которой T → +∞ ⇒ Tk → +∞ , ⎢⎣n2 > n1. и применяя к отмеченной МЗЛП z-преобразование, Выражая изображения X k ( z) (k = 1, ..., 2n + 2) из с учетом свойства Z ( x(t +1)) = z [ X ( z) − x(0)] получим статическую задачу линейного программирования (ЗЛП): операторных уравнений ЗЛП (6) и подставляя соот- ветствующие формулы в остальные ограничения, пе- рейдем к эквивалентной ей более простой задаче: n zX k ( z) = X k ( z) + U k ( z) (k = 1, ..., n), n zX n +1 ( z) = X n+1 ( z) + ∑U k ( z), −(θ + z −1) n ∑U k k =1 ( z) + γ( z −1) × , k =1 n × ∑U k =1 n +k ( z) + ( z −1)(U 2n+1 ( z) + U 2n +2 ( z)) ≥ 0, zX n +2 ( z) = −θX n+1 ( z) + X n + 2 ( z) − ∑U k ( z) + k =1 n n α2 ∑U k ( z) n + γ∑U n +k ( z) + U 2n +1 ( z) + U 2n+ 2 ( z); k =1 − k =1 z −1 + (1 − β)∑U n +k ( z) ≥ 0 , k =1 83 Математика, механика, информатика U n+k ( z) ≤ Q k ( z) (k = 1, ..., n1 ), δ k U k ( z) стоимость проекта, меньше величины, на которую рассчитывают производитель и представитель госу- U n+k ( z) ≤ z −1 (k = 1, ..., n2 ), дарственного органа, то оптимальное значение сверт- U 2n +1 ( z) ≤ I0 , U 2n+2 ( z) ≤ K0 , ки J * (μ) в модели (1), (2) тем более не будет устраи- U k ( z) ≥ 0 (k = 1, ..., 2n + 2), n [1 − 2μ]θ∑U k ( z) J (μ, z) = k =1 + вать указанных экономических агентов. Легко видеть, что задача (9), а значит, и равно- сильная ей ЗЛП (6), не имеет решения, если ⎧n1 < n, z −1 (9) ⎨n < n. ⎩ 2 n + [μγ + (1 − μ)ρ]∑U n +k ( z) − k =1 −μ[U 2n +1 ( z) + U 2n+2 ( z)] → max (μ ∈ (0;1)) . Анализируя задачу (9), нетрудно найти из 3-го и 4- го ее ограничений, что имеют место равенства, яв- ляющиеся статическими аналогами соотношений (8): ⎡Q k ( z) (k = n2 +1, ..., n1 ), n1 > n2 ; Рассмотренный подход позволяет на базе опера- ционного исчисления строить по исходной динамиче- ской модели реальных инвестиций ее агрегированную версию меньшей размерности и оценивать эффектив- ность инвестиционных проектов в условиях частич- ной неопределенности информации о таких важных рыночных показателях, как спрос на производимую продукцию и максимальная фондоотдача производст- U * ( z) = ⎢ * ( ) (10) венных активов при выработке компромиссных ре- n+k ⎢ δ k U k z ⎣⎢ z −1 (k = n1 +1, ..., n2 ), n2 > n1. шений с учетом целей нескольких экономических агентов. Заметим, что если применить к равенствам (8) z-преобразование при z = 1 + r > 1 и принять во вни- U k ( z)