SOLUTION OF THE PROBLEM OF TERMINAL CONTROL FOR NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS

Abstract

The author considers a terminal control task solution method for nonlinear dynamic systems, method is based on evolutionary strategies algorithm modification. The control function synthesis is reduced to ideal two-step relay charac- teristics determination.

Full Text

Рассматривается один из методов решения задачи ⎪⎧ + ⎫ управления нелинейным динамическим объектом. Имеем объект, заданный нелинейным дифференци- Пусть R = ⎨ri : ri < ri +1 , ri ∈ R ⎪⎩ ∀i = 1, k , r0 = 0⎬ – ⎭ альным уравнением dx = f ( x, u). (1) множество всех точек переключений, тогда при из- вестном значении функции управления в момент вре- dt мени определим множества интервалов I1 , I2 . Если Необходимо найти такую функцию управления u(0) < 0, то I1 = {(r2⋅i −2 , r2⋅i −1 ], 2 ⋅ i −1 < card(R), i ∈ Ν} u(t), что за конечное время T система (1) перейдет из начального состояния x(0) = x0 в конечное x(T ) = xT . и I2 = {(r2⋅i −1 , r2⋅i ], 2 ⋅ i < card(R), i ∈ Ν} , а при u(0) > 0 : Поскольку для линейной динамической системы решение задачи оптимального управления может быть найдено методом моментов [1; 2] (решение, ко- торое при функционалах определенного вида пред- ставляет собой идеальное реле), то допустим, что I1 = {(r2⋅i −1 , r2⋅i ], 2 ⋅ i < card(R), i ∈ Ν} и I2 = {(r2⋅i −2 , r2⋅i −1 ], 2 ⋅ i −1 < card(R), i ∈ Ν}. Таким образом, задачу поиска можно сформули- ровать следующим образом: терминальная задача для нелинейной системы может быть решена при функции управления аналогичного типа. Такая ситуация имеет место в задачах оптималь- ного управления, если управление u входит линейно F (R, A) = при ограничениях xT − x(T ) A= A*, R = R* + → min , (3) A*, R* в гамильтониан H ( x, p, u ) = ϕ1 ( x, p ) + ϕ2 ( x, p )u ri < ri +1 , ri ∈ R ∀i = 1, k . (4) и управление ограничено по модулю. Так обстоит дело, например, в задаче быстродействия. В этом случае максимизация гамильтониана по u в прин- ципе максимума приводит к соотношению opt Задачу (3) при ограничениях (4) можно решить с помощью гибридного модифицированного метода эволюционных стратегий [3], при заранее фиксиро- ванном числе переключений k. От ограничений типа (4) можно уйти, распределив каждый ген, кроме пер- u (t ) = umax sign(ϕ2 ( x, p)) и, исключая u из краевой вого – который будет отвечать за амплитуду началь- задачи принципа максимума, можно, решив двухто- ной популяции на интервале [0, R′], где R′ – любое чечную краевую задачу, решить и задачу оптимально- го управления. Часто структура системы управления такова, что исполнительный механизм может действовать по принципу включено-выключено. Таким образом, в этих случаях структура управле- положительное вещественное число, и изменив опе- рацию мутации opi, j = opi, j + Ti, j ⋅ N (0, spi, j ) , spi = spi + T ⋅ N (0,1), ния определена с точностью до неизвестных парамет- ров – либо начальных условий для сопряженных где i = 1, N – номер индивида в популяции; переменных p , либо времен переключений управле- j = 2, n, n – размерность признакового пространства. ния с точностью до знака управления на первом включении. Таким образом, для решения задачи необходимо Таким образом, случайный поиск будет осуществ- ляться только среди положительных чисел – для точек переключения, на всей числовой прямой – для ампли- найти функцию вида туды. Для разрешения неравенства ri < ri +1 предста- ⎧− A, u(t ) = ⎨ ⎩ A, t ∈ I1; t ∈ I2 , (2) вим каждого индивида следующим образом: i opi,1 – где I1 , I2 – множества интервалов, определенных точ- амплитуда реле, ri = ∑opi, j +1 , i = 1, k j =1 – точки пере- ками переключения, такие, что амплитуда реле. I1 ∪ I2 = [0, T ]; A – ключения. 85 Математика, механика, информатика В итоге управление будет определено по решению задачи на безусловный экстремум (3). Таким образом, в качестве решения мы получим функцию управления с числом точек переключения меньшим либо равным k. Пример 1. Приведем пример решения двухточеч- не менялись. Нелинейное дифференциальное уравне- ние решалось методом Рунге−Кутты 4-го порядка точности. Траектории системы и найденное управление представлены на рис. 1. Конечное состояние системы – ⎛ −2, 997 8 ⎞ ной краевой задачи для системы ⎛ 2 ⎞ x(T ) = ⎜ ⎟. ⎝ −0, 001 679 5 ⎠ x′ + 2 ⋅ sin( x) = u(t ), ⎛ −3 ⎞ x(0) = ⎜ ⎟ , ⎝ ⎠ Пример 2. Рассмотрим задачу с другими условиями: x(T ) = ⎜ ⎟ , ⎝ ⎠ T = 5. (5) x′ ⋅ x2 + x ⋅ u(t ) = 0, x(0) = ⎛ 2 ⎞ , ⎝ ⎠ Пусть k = 10. Для 100 индивидов и 50 популяций ⎛ 3 ⎞ работы модифицированного алгоритма эволюцион- ных стратегий с локальным спуском: для 10 случайно x(T ) = ⎜ ⎟ , ⎝ −2 ⎠ T = 5. (6) выбранных индивидов выполняется покоординатный спуск для 5 случайно выбранных генов – 5 шагов величиной 0.05. Настройки алгоритма: турнирная селекция (размер турнира – 10), дискретное скрещи- вание. Далее перечисленные настройки алгоритма Траектории системы и управление представлены на рис. 2. Вектор конечного состояния системы ⎛ 3, 015 3 ⎞ x(T ) = ⎜ ⎟. ⎝ −1, 965 5 ⎠ 3 2 1 0 −1 −2 −3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Рис. 1 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −80 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Рис. 2 86 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева В том случае, когда нужно найти управление с фиксированным числом точек переключений, опреде- лим множество всех точек переключения следующим ⎛ −2, 992 4 ⎞ x(T ) = ⎜ −0, 018 241⎟ и ⎛ 2, 999 6 ⎞ x(T ) = ⎜ −1, 999 6 ⎟ . Графики образом: R = ⎪⎧r : r < r , r ∈ (0, T ] ∀i = 1, k , r = 0⎫ и к траекторий системы и найденного управления пред- ставлены на рис. 3 и 4. ⎩⎪ ⎭ ограничениям типа (4) введем еще одно ограничение: rk < T , или, в иной форме: k ∑opi, j +1 < T . j =1 Тогда задача поиска будет выглядеть следующим образом: Отметим, что в случае когда следующая точка пе- реключения располагается на расстоянии меньшем, чем шаг интегрирования от предыдущей точки, то фактически никаких изменений при данной схеме предыдущая точка не вносит. Происходит своего рода косвенная настройка алгоритмом количества точек переключений, хоть и не такая очевидная и эффек- тивная, как в задаче (3) с ограничениями (4). Библиографические ссылки F (R, A) = xT − x(T ) k + A= A*, R = R* 1. Охорзин В. А. Прикладная математика в систе- ме Mathcad / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2004. + α ⋅ ϕ(∑opi, j +1 − T ) j =1 ⎧ x , x > 0 → min , A*, R* 2. Рыжиков И. С. Оптимальное управление линей- ными системами методом моментов // Материалы VIII Всерос. конф. молодых ученых по мат. моделированию где ϕ( x) = ⎨ ⎩ 0, x ≤ 0 – функция штрафа за нарушение и информ. технологиям. Новосибирск, 2007. С. 70. 3. Охорзин В. А., Рыжиков И. С. Гибридный мо- ограничений; α – весовой коэффициент. дифицированный метод эволюционных стратегий для Приняв α = 10 , решим задачи (5) и (6). Конеч- решения задач идентификации динамических систем ные состояния системы, соответственно // Вестник СибГАУ. 2010. Вып. 4 (30). С. 20–23. 3 2 1 0 −1 −2 3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Рис. 3 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Рис. 4