ABOUT CONSTRUCTION OF FIELDS OF VELOCITIES FOR KNOWN NONSINGULAR STRESS FIELDS

Abstract

The authors set up a new field of velocity for the equations of plasticity, which describe a pressure of a plastic layer between two plates approximating different velocities.

Full Text

Пусть известно неособое напряженное состояние 1 − y 2 идеальной пластической среды для плоского дефор- для решения Прандтля tg 2θ= . Для этого мированного состояния σ= σ ( x, y ), θ = θ ( x, y ) [1]. В y этом случае для нахождения соответствующего поля скоростей можно искать либо решение системы урав- нений с переменными коэффициентами: ∂u − ∂v = − tg 2θ ⎛ ∂u + ∂v ⎞ случая известно всего два решения. Одно получено А. Надаи, второе – почти одновременно Д. Д. Ивлевым и С. И. Сенашовым. Гораздо более перспективным является второй путь нахождения полей скоростей. Он позволяет для каждого решения уравнений (2) сразу строить поле ∂x ∂y ⎜ ∂y ∂x ⎟ ⎝ ⎠ ∂u + ∂v = 0, (1) скоростей для любых неособых напряженных состоя- ний. ∂x ∂y Укажем решения для неособых напряженных со- стояний. Для этого приведем систему (2) к телеграф- либо решение системы с постоянными коэффициен- тами: ному уравнению ∂2U − 1 U = 0. (3) ∂U − 1 V = 0, ∂V − 1 U = 0, (2) ∂ξ∂η 4 ∂η 2 ∂ξ 2 В силу симметрии ξ′ = aξ, η′ = η , a которая допус- где (u, v ) u = U cos θ −V sin θ, v = U sin θ + V cos θ . Здесь – компоненты вектора скорости вдоль осей Ox кается уравнением (3), его решение следует искать в виде U = U (ξη) = U ( z ). и Oy, а (U , V ) – компоненты вектора скорости вдоль характеристик системы (1). Решения данных уравнений другим способом бы- ли получены авторами ранее [2]. Традиционно исследователи решают систему Тогда (3) приводится к виду zU ′′ − 1 U = 0. 4 Общее решение последнего уравнения имеет вид уравнений (1). Несмотря на то что с первого взгляда эта система кажется достаточно простой, ее решений U = ξη (C1 I1 ( ξη ) + C2 K2 ( ξη )), известно не так много. Это объясняется тем, что вы- где I1 , K1 – модифицированные функции Бесселя пер- ражение для tg 2θ является довольно сложным, даже вого и второго рода; Ci – произвольные постоянные. * Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009−2013 гг. (код проекта П1121) и «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023). 88 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Еще одно очевидное решение уравнения (3): U = exp ⎛ ± ξ +η ⎞. просто будут выглядеть решения 2, 5, 8. Запишем их в исходных координатах: ⎜ 2 ⎟ ⎛ a σ −a =σ ⎞ ⎝ ⎠ U = ⎜ C e 2k + C e 2k ⎟ (C sin bt + C cos bt ); Для построения других решений уравнения (2) за- 2 ⎜ 1 2 ⎟ 3 4 пишем его в другом виде. Для этого введем перемен- ⎝ ⎠ ⎛ σ σ ⎞ ные z = ξ+ η 2 и t = η− ξ . В этих переменных уравне- 2 U5 = ⎜ C1 sin a ⎝ 2k + C2 cos a ⎟ (C3 sin bt + C4 cos bt ); 2k ⎠ ние (3) примет вид ∂2U ∂2U − −U = 0. (4) ⎛ 8 ⎜ 1 ⎝ σ + C ⎞ (C sin t + C cos t ). 2k ⎠ ∂z 2 ∂t 2 Все эти решения можно использовать с решением Будем искать решение уравнения (4) в виде Прандтля, положив в них U = Z ( z )T (t ), тогда (4) принимает вид σ = 1 −x − 2 1 − y 2 ), y = cos 2θ. откуда получаем Z ′′ − T ′′ −1 = 0, Z T Для отбора решения поставим краевые условия. Имеем Z ′′ − λZ = 0, T ′′ − μT = 0, λ − μ −1 = 0, V y =1 = V1 , V y =−1 = V2 . Тогда получаем где λ, μ – произвольные параметры. Имеем следующие возможные варианты значений v = U sin θ + V cos θ = U 1 − y + V 1 + y , параметров λ, μ (здесь a, b – произвольные постоян- ные): и v = V = V , y =1 y =1 y y v = U = V . y =−1 y =−1 1) λ= a2 , μ = b2 , a2 − b2 = 1; Подберем такие функции, для которых 2) λ= a2 , μ = −b2 , a2 + b2 = 1; U y =−1 = V2 . После ряда преобразований убеждаемся, 3) λ= a2 , μ = 0, a = ±1; что данному условию удовлетворяет только функция 4) λ= −a2 , μ = b2 , a2 + b2 = −1; U8 . 5) λ= −a2 , μ = −b2 , b2 − a2 = 1; Таким образом, получаем следующее новое реше- ние (новое поле скоростей) для уравнения (1), которое 6) λ= −a2 , μ = 0, a2 = −1; описывает сжатие пластического слоя плитами, сбли- 7) λ= 0, μ = b2 , b2 = −1; 8) λ= 0, μ = −b2 , b = ±1. жающимися с различными скоростями: ⎧u = (V1 −V2 )cos θ + V2 sin θ, ⎪ ⎨ σ Для случаев 1– 3, 5, 8 получаем решения уравне- ния (4), где Ci – произвольные константы: ⎪v = V1 cos θ+ ⎩ 2k (V1 − V2 )sin θ. 1) U = (C1e + C2 e −az )(C ebt + C4 e −bt ); На плите, заданной уравнением y = −1, скорость равна V1; на плите, заданной уравнением y = 1, ско- 2) U = (C1e 3) U = (C1e + C2 e + C2 e −az −az )(C3 sin bt + C4 cos bt ); )(C3t + C4 ); рость равна V2 . Библиографические ссылки 5) U = (C1 sin az + C2 cos az )(C3 sin bt + C4 cos bt ); 8) U = (C1 z + C2 )(C3 sin t + C4 cos t ). Вернемся к исходным координатам. Тогда 1. Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Д. Д. Ивлев, Л. А. Максимова, Р. И. Непершин и др. М. : Физматлит, 2008. 2. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Эволюция ха- z = ξ+ η = σ , t = η − ξ = θ. В силу этого наиболее рактеристик решения Прандтля // Сиб. журн. индустр. 2 2k 2 математики. 2007. Т. Х. № 4 (32). С. 118–121