SOME EXACT SOLUTIONS OF EQUATIONS OF THE ANISOTROPIC THEORY OF PLASTICITY

Full Text

1. Рассмотрим систему уравнений анизотропной Получаем − 2 ⎜ α cos 2θ + sin 2θ ⎟ = 0, ∂σx + ∂τ = 0, ∂σ y + ∂τ = 0, (1) ∂x ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂σ ⎛ ∂θ ∂θ ⎞ x y + 4τ2 = 4k 2 , (2) − 2 ⎜ sin 2θ−α cos 2θ ⎟ = 0. (4) где 1 − c σx , σ y , τ – компоненты тензора напряжения; Найдем характеристики системы (4). Они имеют вид 2 2 2 1 − c = α2 – параметр анизотропии [1]; k – предел те- ⎛ dy ⎞ −2 cos 2θ± ⎜ ⎟ cos 2θ ⋅ α + sin 2θ . (5) кучести при сдвиге. ⎝ dx ⎠1,2 sin 2θ В системе (1)–(2) введем переменные k σ′x = σx , Соотношение на характеристиках (5) запишутся k σ′y = σ y , k τ′ = τ, тогда вид уравнения (1) не изме- так: σ = ±2 α2 cos2 2θ + 2 sin 2 2θd θ. (6) нится, а уравнение (2) примет вид ∫ 2. Найдем группу непрерывных преобразований, 1 (σ′ − σ′ )2 + 4τ′2 = 4. α2 (3) допускаемую системой (4). Допускаемый оператор ищем в виде [2] В уравнениях (1), (3) сделаем замену: = ξ ∂ +ξ ∂ +η ∂ +η ∂ (7) σ′x = σ − 2sin 2θ, τ′ = cos 2θ, X 1 ∂x 2 ∂y 1 ∂σ 2 ∂θ , σ′y = σ + 2sin 2θ. где ξi зависят от x, y, σ, θ. * Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023). 92 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Продолжим оператор (7) на первые производные и подействуем полученным оператором на уравне- ние (4). В полученных соотношениях перейдем на многообразие, задаваемое системой (4). В результате имеем полином второго порядка по производным Аналог решения Прандтля. Это решение инвари- антно относительно преобразований, порождаемых оператором X = ∂ + ∂ . ∂σ ∂x ∂θ , ∂θ . Поскольку ξ , η зависят только от x, y, σ, θ, Решение уравнений (4) следует искать в виде ∂x ∂y i i σ = −x + f ( y), θ= g ( y), (10) то полагаем коэффициенты при производных равны- ми нулю. В результате получаем систему линейных где функции f, g определяются из (4) после подста- новки туда соотношений (10). Имеем дифференциальных уравнений на функции ξi , ηi . Ре- ⎧⎪σ= −x + 2α 1 − y 2 , (11) шая эту систему, получаем искомые операторы вида (7). Имеет место теорема. ⎨ ⎪⎩ y = cos 2θ. Найдем линии скольжения (характеристики) ре- Теорема. Система уравнений (4) при α2 ≠ 1 до- шения (11). Для этого продифференцируем соотношение пускает бесконечную алгебру Ли, которая порождает- ся операторами y = cos θ по x. Имеем ∂ ∂ ∂ dy d θ −α cos 2θ ± α2 cos2 2θ + sin 2 2θ X1 = x ∂x + y ∂y , X 2 = ∂σ , = −2 cos 2θ = dx dx . sin 2θ X = x (σ, θ) ∂ + y (σ, θ) ∂ , + 0 ∂x 0 ∂y (8) Разделяя в этом уравнении переменные, после не- сложных преобразований получаем (−α cos 2θ ± α2 cos2 2θ + sin 2 2θ )d 2θ = dx, где ( x0 , y0 ) ний – произвольное решение системы уравне- Или, если α > 1, то ⎧∂y0 − 2 ⎛ −α ∂y0 cos 2θ + ∂x0 sin 2θ ⎞ = 0, 1 2θ ⎛ α2 −1 ⎞ ⎪ ∂θ ⎜ ∂σ ∂σ ⎟ −2sin 2θ± ∫ 1 − ⎜ ⎟ sin 2 zdz = x + c, ⎪ ⎝ ⎠ α α2 ⎨ ⎪ ∂x0 − 2 ⎛ ∂y0 sin 2θ + α ∂x0 cos 2θ ⎞ = 0. (9) или θ ⎝ ⎠ ⎪ ∂θ ⎜ ∂σ ∂σ ⎟ 2 ⎩ ⎝ ⎠ 1 ⎛ ⎛ α −1 ⎞ ⎞ −2sin 2θ± E 2θ, α ⎜ α ⎟ ⎟ = x + c, (12) Замечание. Если α2 = 1, то система уравнений (4) 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ допускает еще два оператора [2]: где E(ϕ, k ) – эллиптический интеграл второго рода. X = − y ∂ + x ∂ + ∂ , 3 ∂x ∂y ∂θ Если α < 1, то из соотношения 2θ −2 sin 2θ± 1 ⎛ 1 − α2 1 + ⎞ sin2 zdz = x + c, ∂ ∂ ∂ ∂ α ∫ ⎜ α2 ⎟ X 4 = ξ1 ∂x + ξ2 ∂y + 4θ ∂σ − σ ∂θ , получаем θ ⎝ ⎠ где ⎡ ⎛ 1 − α2 ⎞ ξ1 = x cos 2θ+ y sin 2θ+ yσ, ⎢ ⎜ 1 1 − α2 ⎟ α2 ⎢ ⎜ ⎟ ξ2 = x sin 2θ− y cos 2θ− xσ. −2sin 2θ± 1 + α α2 E ⎜ 2θ 2 ⎟ − ⎢ ⎜ 1 + 1=−α ⎟ Оператору X1 соответствует группа однопарамет- ⎢ ⎜ α2 ⎟ рических преобразований, допускаемых системой (4): ⎣ ⎝ ⎠ ⎤ x′ = x exp α1 , y′ = y exp α1 , 1 − α2 − sin 2θ cos 2θ ⎥ ⎥ = x + c, где α1 – групповой параметр. α2 1 − α2 1 + ⎥ + sin 2 2θ ⎥ Оператору X 2 соответствует группа однопарамет- α2 ⎥⎦ рических преобразований σ′ = σ + α2 . Оператору X + соответствуют преобразования ви- или −2sin 2θ± 1 ⎡ 1 E (2θ ⎣ 1 − α2 )− да x′ = x + αx0 (σ, θ), y′ = y + αy0 (σ, θ), где ( x0 , y0 ) – ⎤ − α2 θ θ ⎥ (13) произвольное решение системы (9). − 1 sin 2 cos 2 ⎥ = x + c. 3. Построим некоторые инвариантные решения системы (4). α2 1 − α2 1 + 2 ⎥ + sin 2 2θ ⎥ α ⎥⎦ 93 Математика, механика, информатика Если α = 1, то получаем известную формулу Найдем характеристики этого решения. Имеем x = ±2θ− sin 2θ+ c. Аналог решения Надаи. Это решение инвариантное относительно группы, порожденной подалгеброй x = x ∂ + y ∂ + ω ∂ . ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠1,2 −2 cos 2θ± α2 cos2 2θ + sin 2 2θ = = sin 2θ −α ± α2 + tg2 2θ = = ∂x ∂y ∂σ Решение следует искать в виде σ= ωln x + f (y x ), tg2θ −α (1 − z 2 ) ± α2 (1 − z 2 )2 + 4α2 z 2 = = 2αz − 1 − z 2 ± 1 + z 2 − 1 − z 2 ± 1 + z 2 θ= g (y x ), y x = z. (14) ( ) ( ) ( ) ( ) = = , Для простоты рассмотрим случай ω= 0. Подста- 2 z ⎛ dy ⎞ z 2 −1 ± (1 + z 2 ) 2z ⎪⎧ z вим (14) в систему уравнений (4). Имеем zf ′ + 2g ′(−αz cos 2g + sin 2 g ) = 0, ⎜ ⎟ ⎝ ⎠1,2 = = ⎨ 1 . ⎪⎩ z (18) f ′ + 2 g ′( z sin 2 g + α cos 2 g ) = 0. (15) Интегрируя уравнения (18), получаем два семей- Система уравнений (15) имеет нетривиальное ре- ства характеристик: x = const, x2 + y 2 = const. шение, если или (z 2 −1)sin 2g + 2αz cos 2g = 0 4. Для построения других новых решений уравне- ний (4) и их характеристик следует построить некото- рые решения уравнений (9). Решение уравнений (9) можно искать в виде tg 2g = 2αz . 1 − z 2 (16) x0 = βσ + A (θ), y0 = B (θ); (19) Дифференцируя (16) по переменной z, получим x0 = A (θ)exp σ, Поскольку 2 g ′ cos2 2g 2α(1 + z 2 ) = . (1 − z 2 )2 (17) y0 = B (θ)exp σ, x0 = A (θ)sin σ + B (θ)cos σ, y0 = a (θ)sin σ + b (θ)cos σ; (20) (21) cos2 2g = 1 (1 − z 2 )2 = , x0 = A (θ)shσ + B (θ)chσ, (22) 1 + tg2 2g 1 + 4α2 z 2 y0 = a (θ)shσ + b (θ)chσ, то, подставляя это соотношение в (17) и во второе где a(θ), b(θ), A(θ), B(θ) – искомые функции; уравнение (15), имеем 2α (1 + z 2 ) β = const. После подстановки этих соотношений в уравнения f ′ =− Имеем 1 + 4α2 z 2 ( z sin 2 g + α cos 2 g ). 2 (9) получим систему обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Каждое из таких решений дает беско- нечную серию решений системы (9). sin2 2g = 1 − cos2 2g = 1 − 1 1 + tg2 2g = tg 2g ; 1 + tg2 2g Лемма. Решение вида x = βσ + A(θ), sin 2g = 2αz tg2g ; 1 + tg2 2g y0 = B(θ) порождает бесконечную серию решений систем урав- нений (9), а, следовательно, и бесконечную серию точных решений уравнений пластичности. sin 2 g = 1 − z 2 = (1 − z 2 )2 2αz , 1 + 4α2 z 2 Доказательство Подставляя (19) в (9), без труда получаем 1 + 4α2 z x0 = −σ − 2sin 2θ, y0 = cos 2θ. поэтому Это значит, что система (4) допускает оператор вида X = x0 ∂ x + y0 ∂ y . (1 + z 2 ) ⎛ 2αz 1 − z 2 ⎞ Будем искать инвариантное решение системы (9) ∫1 4 2 z 2 ⎝ 1 + 4α2 z 2 1 + 4α2 z 2 ⎠ на подалгебре f = −2α + α ⎜ z ⋅ + α ⎟ dz. X = ∂σ − (σ + 2 sin 2θ)∂ x + cos 2θ∂y. 94 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Оно имеет вид Подставляя ( x2 , y2 ) в уравнения (9), найдем f , g , x1 =− 1 2 σ2 − 2σα sin 2θ + f (θ), а, следовательно, еще одно неявное решение уравне- ний (4). Действуя таким же образом, мы сможем по- y1 = σ cos 2θ + g (θ). Подставляя эти соотношения в (9), имеем строить бесконечную серию решений как уравнений (9), так и уравнений (4). Аналогичная ситуация имеет место и с другими x1 =− 1 2 σ2 − 2σα sin 2θ + c , решениями из (20). Замечание. Решения ( x , y ), ( x , y ), ( x , y ), ... по- y1 = σ cos 2θ − 2αθ. Это и есть неявное решение системы уравнений (4). Поскольку система (9) допускает оператор 0 0 1 1 2 2 рождают точечные симметрии, действуя которыми на решение Прандтля и его характеристики получаем еще бесконечные серии решений. X = x1∂x + y1∂y, то ее инвариантное решение можно Этот способ построения решений будет описан в искать на подалгебре следующих статьях. X = ∂σ − ( 1 2 σ2 + 2σ sin 2θ) ∂ + (σ cos 2θ − 2αθ)∂y. ∂x Библиографические ссылки 1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. Оно имеет вид М. : Гостехтеоретиздат, 1954. x2 =− 1 σ3 − 1 2 2 σ2 α sin 2θ + f (θ), 2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. При- ложение симметрий и законов сохранения к решению y2 =− 1 2 σ2 cos 2θ − 2αθσ + g (θ).

About the authors

S. I. Senashov

Email: sen@sibsau.ru.

E. V. Filyushina

Email: filyushina@sibsau.ru

A. M. Popov

Email: vm_popov@sibsau.ru.

I. V. Kovalev

Email: kovalev.fsu@mail.ru.

References

Supplementary files