STRUCTURAL ANALYSIS OF DURABILITY OF MACROHETEROGENEOUS SOLIDS UNDER PLANE STRESS STATE

Full Text

Перспективы применения композитов, составленных из различных субструктурных элементов и существенно отличающихся по своим механическим свойствам, связаны с новыми технологическими решениями в различных отраслях промышленности. Поэтому особую актуальность приобретает задача прогнозирования прочности макронеоднородных материалов по известным свойствам компонентов, их концентрации и расположению в пространстве. Литература по исследованию прочности композитных материалов достаточно обширна, поэтому укажем источники [1-9], в которых представлены более полные списки работ по данному вопросу. Не анализируя различия используемых методов и моделей, отметим только, что часть этих работ относится к исследованию разрушения анизо- тропных материалов на основе феноменологических критериев прочности, а другая часть содержит элементы структурного анализа, в частности тради-ционного послойного анализа. В этих работах при выводе определяющих соотношений, как правило, используется либо закон смесей, либо предположения Фойгта или Рейсса. Основные соотношения и алгоритм исследования прочности структурно-неоднородных композитов. Для исследования прочности структурнонеоднородных материалов будем использовать обобщенный закон Гука, полученный в [10], на основе корректно сформулированных условий сопряжения на границах раздела фаз в общем случае пространственного напряженного состояния. В частности, для композита, состоящего из М продольных фаз (рис. 1) при плоском напряженном состоянии, т. е. при нагружении в плоскости щОп3 усилиями CTj, ст3, ст5, учитывая соотношения из [10], имеем следующие выражения для напряжений в элементах композиции: яг - в: где здесь •п СТ1 + Bi 43 Ст3, СТ5 -СТ5’ и2 i - 1,3, 5 - 1,2,...,M, - я4 - Сб - 0, (1) в^- Ь1гр(^+ ь^>, j -1,3, в5) - в55 - M 45’!- =1 а5 Р(1- 33 Р33- Р((2 ’ - 13 23 12 “33 Р32’ - 12 13 11 23 РГ3’-Р37 — bkl - A A Д^ - Л51Л51 _ 13 11 33 k, l -1, 2, 3, («133’) (2) (3) |ЛИ| - определитель матрицы (Akl), |ли| - алгебраическое дополнение к элементу Лы матрицы (Akl), при этом элементы матрицы (Akl) имеют вид Aji -У ji + Уj2 A2i, i, j - 1Д M Л12 - Л21 - A22 '!ra552 M Л22 - ,V !ro5 52 , Л23 - Л32 - y 32Л22 , 22 V 5-1 M ( ’ lij -E^P?, i -1,3, j - 1,2,3, 5-1 si5,’- «12 W + «23)р13), 52? - о<;)р12) + «23)р32) + «2. (4) Рис. 1. Характерный структурный элемент композита с продольным расположением М фаз Здесь и далее для напряжений используются матричные обозначения из [9; 10]; верхний индекс 5 обо- 5-1 31 Математика, механика, информатика значает принадлежность соответствующей величины к s-й фазе; «j), i, j = 1,2,3,4,5,6, «j) = «j) - коэффициенты податливости в обобщенном законе Гука для материала s-й фазы: s,s )= djj Ц) (5) (суммирование производится по повторяющимся индексам); ros - удельное объемное содержание s-й фам зы X“s = 1- s=1 В случае поперечного расположения M фаз, когда граница раздела фаз параллельна плоскости n2On3 (см. рис. 1) для рассматриваемого плоского напряженного состояния выражения для напряжений в элементах субструктуры определяются следующим образом [10]: a(s)=^ a?)=4sЧ + ст5^=а5, a4s) = a6s) = 0, i = 2,3, s = 1,2,...,M, (6) где Bs)= *12Pi2)+ *13P^3 )+Pi:s), B3 )= bJri)+ *33Pi3), i = 2;3, здесь P 21 = (s) (s) (s) (s) «13 «23 - «12 «33 > 23 p2 s) 22 ( s) =«33. ( s) J >( s) 23 (s) (s) ;( s ) = «12 «23 '31 = P3s3 = (7) >(s) = «(s)«(s) -23 22 33 («23)) В случае продольного расположения фаз (см. рис. 1) имеем следующее условие прочности для материала s -й фазы: (a!s))2 +(a3s))2 -a!s)a(3s) + 3 (5s))2 + + (a-s)-a+s ))a1s )+a3s)) (9) а для поперечного расположения фаз - условия прочности \2 / (s )\2 (s) (s) (s) (s) a1 +|a2y) +(aV3;) -a^ -a^ -a2 a3 + 12 + (a2s)) +(a3s)) (a-s )-a+s ))a1 J1U3 2 u3 +3a2 + (a- ; - a + a2 + a, = a-' • a+ (10) s = 1,2,..., M. Для построения условия прочности макронеодно-родного композита в пространстве внешних усилий a1Oa3a5 воспользуемся алгоритмом [12]. Примем a,. = Lip, X L = 1, L e[-1;1], (11) 1=1,3,5 где Lt - интенсивность i-го типа внешнего воздействия, i = 1,3,5; p > 0 - параметр нагружения. Тогда из (9) и (10), учитывая (1), (6) и (11) при фиксированных Т (s) Li , получим величину параметра нагружения pb , отвечающую началу разрушения s-й фазы: -Cs> + (с(s)) + 4a+s)as) A[s) коэффициенты bkl, k, l = 1,2,3, определяются, так же как в (3), при этом элементы матрицы (Akl) имеют вид м ( ) м A11 =Xras^11 , A1i =-A11 •Xras81i , i = 2,3, s=1 s=1 Aji = Уji + Уj1 A1i, i, j = 2,3, м ( ) Уу =X»sPr), i = 2,3, j = 1,2,3, (8) s=1 s:(s) (s) , (s^(sK (s Ws) 5n = «11 + «12 P21 + «13 P31 , s(s) (s)n(s) , (s )Q(s) . , S1i = «12 ft/ + «13 P3i, 1 = 2,3 На основе структурного подхода [6] проведем анализ прочности многофазного композита. При этом будем полагать, что для каждого субструктурного элемента выполняется условие прочности П. П. Баландина [11], которое позволяет учитывать различные (s) пределы прочности при растяжении a+7 и сжатии a-s) материала s -й фазы. - m -, (К) 2A s = 1,2,..., M, где выражения для A(s) и C(s) в случае продольного расположения фаз имеют вид a(s)=(9(s)) + (p3s)) -9(s)93s)+ 3 (5s)) , C(s )=(a-s)-a+s))(cp(s) +93s)), (13) p(s) = B(s)L1 + B(s)L3, i = 1,3, p5s) = B5s)L5, Bj), i,j = 1,3,5, определены в (1)...(4), а в случае поперечного расположения фаз - вид a( s )= L2 +(p22s ))2 +(p3s ))2 + 3L5 -- a( P2s )+p3s))- P2s )p3s), : ( a-s) - a+s) )L1 + P(2s) + p3s) ) , (14) Bj = ( ay -a+ p( s )= B^ L + 4Г L3, i = 1,2, j = 1,3, определены в (6). (8). Величину нагрузки pb , соответствующую началу разрушения композита, представим следующим образом: Рь = mm {Рь )}, s = 1,2, ..., M. (15) 32 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Тогда, учитывая первые соотношения из (11) и (15), найдем внешние усилия, при которых начинается разрушение многофазного материала: а,ъ = LiPb , i =1,3,5 (16) Затем, придавая коэффициентам Li все возможные значения из второго соотношения (11), получим поверхность прочности композита в пространстве внешних усилий а1ъОа3ъ ст5ъ. Анализ влияния структуры многофазной среды на условие начального разрушения композита. В качестве примера рассмотрим структурнонеоднородный материал в случае M = 2, обе фазы которого являются различными трансверсально изотропными материалами. Тогда имеем следующие выражения для коэффициентов податливости [9]: i = 1,2, 1 ( s) , «3 = (s) v2 E(s) E(s) , 2 «12) = (s) v1 E(s), (s) «33 = E2' G2 Gj = J = 4,5, e!‘ ^66 s = 1,2, (1 + v1s)) - модули Юнга; g|s), g2s) - модули s) ' - коэффициенты Пуассона материала сдвига; v{ , s -й фазы. Конкретные вычисления были проведены при сле дующих значениях параметров: E(1) = 15; e(2) = 1; Е« = 5; E{2) = 3; G« = 1; G22)= 0,25; v^vpW'W^ (17) = 0,25; точки кривой отвечают одновременному разрушению 1-й и 2-й фаз. Рис. 2. Поверхность прочности макронеоднородного композита в случае поперечного расположения фаз (ю1 = 0,2 , а*2 = 1) а11 = 10; ст(1) = 30; ст(2) = 3, Рис. 3. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае поперечного расположения фаз (а^2) = 10 ): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 где а а, ЕГ s) Е- Е0 i = 1,2, s = 1,2; G2s = G2 Е0 - + — 1'ъ -; ajb =-, j = 1,3,5, здесь а0, Е0 - по стоянные размерности напряжения. Поверхности прочности макронеоднородного композита и их сечения плоскостью а5ъ = 0, определенные в соответствии с параметрами (17), представлены ниже (рис. 2-6). На рис. 3, 5, 6 для сплошных кривых, в силу ограниченности размеров рисунков, приведена лишь часть соответствующих эллипсов. Вид начального разрушения указан около каждого гладкого участка кривой: символ Ф отмечает начало разрушения композитного материала вследствие разрушения 1-й фазы, символ © - вследствие разрушения 2-й фазы, угловые Рис. 4. Поверхность прочности макронеоднородного композита в случае продольного расположения фаз (ю1 = 0,2 , а<2) = 1) 0 0 33 Математика, механика, информатика Рис. 5. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае продольного расположения фаз (а^2) = 1): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 Рис. 6. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае продольного расположения фаз (а^2) = 10 ): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 Анализ полученных результатов (см. рис. 2-6) и расчеты для различных макронеоднородных композитов показали, что за счет изменения характера анизотропии субструктурных элементов, их объемного содержания и взаимного расположения можно целенаправленно проектировать многофазные материалы с требуемыми по условиям эксплуатации прочностными свойствами.

About the authors

V. N. Maksimenko

B. S. Reznikov

O. V. Sheremet

Email: oxs@ngs.ru

References

Supplementary files