СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ПРОЧНОСТИ МАКРОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕД ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Полный текст

Перспективы применения композитов, составленных из различных субструктурных элементов и существенно отличающихся по своим механическим свойствам, связаны с новыми технологическими решениями в различных отраслях промышленности. Поэтому особую актуальность приобретает задача прогнозирования прочности макронеоднородных материалов по известным свойствам компонентов, их концентрации и расположению в пространстве. Литература по исследованию прочности композитных материалов достаточно обширна, поэтому укажем источники [1-9], в которых представлены более полные списки работ по данному вопросу. Не анализируя различия используемых методов и моделей, отметим только, что часть этих работ относится к исследованию разрушения анизо- тропных материалов на основе феноменологических критериев прочности, а другая часть содержит элементы структурного анализа, в частности тради-ционного послойного анализа. В этих работах при выводе определяющих соотношений, как правило, используется либо закон смесей, либо предположения Фойгта или Рейсса. Основные соотношения и алгоритм исследования прочности структурно-неоднородных композитов. Для исследования прочности структурнонеоднородных материалов будем использовать обобщенный закон Гука, полученный в [10], на основе корректно сформулированных условий сопряжения на границах раздела фаз в общем случае пространственного напряженного состояния. В частности, для композита, состоящего из М продольных фаз (рис. 1) при плоском напряженном состоянии, т. е. при нагружении в плоскости щОп3 усилиями CTj, ст3, ст5, учитывая соотношения из [10], имеем следующие выражения для напряжений в элементах композиции: яг - в: где здесь •п СТ1 + Bi 43 Ст3, СТ5 -СТ5’ и2 i - 1,3, 5 - 1,2,...,M, - я4 - Сб - 0, (1) в^- Ь1гр(^+ ь^>, j -1,3, в5) - в55 - M 45’!- =1 а5 Р(1- 33 Р33- Р((2 ’ - 13 23 12 “33 Р32’ - 12 13 11 23 РГ3’-Р37 — bkl - A A Д^ - Л51Л51 _ 13 11 33 k, l -1, 2, 3, («133’) (2) (3) |ЛИ| - определитель матрицы (Akl), |ли| - алгебраическое дополнение к элементу Лы матрицы (Akl), при этом элементы матрицы (Akl) имеют вид Aji -У ji + Уj2 A2i, i, j - 1Д M Л12 - Л21 - A22 '!ra552 M Л22 - ,V !ro5 52 , Л23 - Л32 - y 32Л22 , 22 V 5-1 M ( ’ lij -E^P?, i -1,3, j - 1,2,3, 5-1 si5,’- «12 W + «23)р13), 52? - о<;)р12) + «23)р32) + «2. (4) Рис. 1. Характерный структурный элемент композита с продольным расположением М фаз Здесь и далее для напряжений используются матричные обозначения из [9; 10]; верхний индекс 5 обо- 5-1 31 Математика, механика, информатика значает принадлежность соответствующей величины к s-й фазе; «j), i, j = 1,2,3,4,5,6, «j) = «j) - коэффициенты податливости в обобщенном законе Гука для материала s-й фазы: s,s )= djj Ц) (5) (суммирование производится по повторяющимся индексам); ros - удельное объемное содержание s-й фам зы X“s = 1- s=1 В случае поперечного расположения M фаз, когда граница раздела фаз параллельна плоскости n2On3 (см. рис. 1) для рассматриваемого плоского напряженного состояния выражения для напряжений в элементах субструктуры определяются следующим образом [10]: a(s)=^ a?)=4sЧ + ст5^=а5, a4s) = a6s) = 0, i = 2,3, s = 1,2,...,M, (6) где Bs)= *12Pi2)+ *13P^3 )+Pi:s), B3 )= bJri)+ *33Pi3), i = 2;3, здесь P 21 = (s) (s) (s) (s) «13 «23 - «12 «33 > 23 p2 s) 22 ( s) =«33. ( s) J >( s) 23 (s) (s) ;( s ) = «12 «23 '31 = P3s3 = (7) >(s) = «(s)«(s) -23 22 33 («23)) В случае продольного расположения фаз (см. рис. 1) имеем следующее условие прочности для материала s -й фазы: (a!s))2 +(a3s))2 -a!s)a(3s) + 3 (5s))2 + + (a-s)-a+s ))a1s )+a3s)) (9) а для поперечного расположения фаз - условия прочности \2 / (s )\2 (s) (s) (s) (s) a1 +|a2y) +(aV3;) -a^ -a^ -a2 a3 + 12 + (a2s)) +(a3s)) (a-s )-a+s ))a1 J1U3 2 u3 +3a2 + (a- ; - a + a2 + a, = a-' • a+ (10) s = 1,2,..., M. Для построения условия прочности макронеодно-родного композита в пространстве внешних усилий a1Oa3a5 воспользуемся алгоритмом [12]. Примем a,. = Lip, X L = 1, L e[-1;1], (11) 1=1,3,5 где Lt - интенсивность i-го типа внешнего воздействия, i = 1,3,5; p > 0 - параметр нагружения. Тогда из (9) и (10), учитывая (1), (6) и (11) при фиксированных Т (s) Li , получим величину параметра нагружения pb , отвечающую началу разрушения s-й фазы: -Cs> + (с(s)) + 4a+s)as) A[s) коэффициенты bkl, k, l = 1,2,3, определяются, так же как в (3), при этом элементы матрицы (Akl) имеют вид м ( ) м A11 =Xras^11 , A1i =-A11 •Xras81i , i = 2,3, s=1 s=1 Aji = Уji + Уj1 A1i, i, j = 2,3, м ( ) Уу =X»sPr), i = 2,3, j = 1,2,3, (8) s=1 s:(s) (s) , (s^(sK (s Ws) 5n = «11 + «12 P21 + «13 P31 , s(s) (s)n(s) , (s )Q(s) . , S1i = «12 ft/ + «13 P3i, 1 = 2,3 На основе структурного подхода [6] проведем анализ прочности многофазного композита. При этом будем полагать, что для каждого субструктурного элемента выполняется условие прочности П. П. Баландина [11], которое позволяет учитывать различные (s) пределы прочности при растяжении a+7 и сжатии a-s) материала s -й фазы. - m -, (К) 2A s = 1,2,..., M, где выражения для A(s) и C(s) в случае продольного расположения фаз имеют вид a(s)=(9(s)) + (p3s)) -9(s)93s)+ 3 (5s)) , C(s )=(a-s)-a+s))(cp(s) +93s)), (13) p(s) = B(s)L1 + B(s)L3, i = 1,3, p5s) = B5s)L5, Bj), i,j = 1,3,5, определены в (1)...(4), а в случае поперечного расположения фаз - вид a( s )= L2 +(p22s ))2 +(p3s ))2 + 3L5 -- a( P2s )+p3s))- P2s )p3s), : ( a-s) - a+s) )L1 + P(2s) + p3s) ) , (14) Bj = ( ay -a+ p( s )= B^ L + 4Г L3, i = 1,2, j = 1,3, определены в (6). (8). Величину нагрузки pb , соответствующую началу разрушения композита, представим следующим образом: Рь = mm {Рь )}, s = 1,2, ..., M. (15) 32 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Тогда, учитывая первые соотношения из (11) и (15), найдем внешние усилия, при которых начинается разрушение многофазного материала: а,ъ = LiPb , i =1,3,5 (16) Затем, придавая коэффициентам Li все возможные значения из второго соотношения (11), получим поверхность прочности композита в пространстве внешних усилий а1ъОа3ъ ст5ъ. Анализ влияния структуры многофазной среды на условие начального разрушения композита. В качестве примера рассмотрим структурнонеоднородный материал в случае M = 2, обе фазы которого являются различными трансверсально изотропными материалами. Тогда имеем следующие выражения для коэффициентов податливости [9]: i = 1,2, 1 ( s) , «3 = (s) v2 E(s) E(s) , 2 «12) = (s) v1 E(s), (s) «33 = E2' G2 Gj = J = 4,5, e!‘ ^66 s = 1,2, (1 + v1s)) - модули Юнга; g|s), g2s) - модули s) ' - коэффициенты Пуассона материала сдвига; v{ , s -й фазы. Конкретные вычисления были проведены при сле дующих значениях параметров: E(1) = 15; e(2) = 1; Е« = 5; E{2) = 3; G« = 1; G22)= 0,25; v^vpW'W^ (17) = 0,25; точки кривой отвечают одновременному разрушению 1-й и 2-й фаз. Рис. 2. Поверхность прочности макронеоднородного композита в случае поперечного расположения фаз (ю1 = 0,2 , а*2 = 1) а11 = 10; ст(1) = 30; ст(2) = 3, Рис. 3. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае поперечного расположения фаз (а^2) = 10 ): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 где а а, ЕГ s) Е- Е0 i = 1,2, s = 1,2; G2s = G2 Е0 - + — 1'ъ -; ajb =-, j = 1,3,5, здесь а0, Е0 - по стоянные размерности напряжения. Поверхности прочности макронеоднородного композита и их сечения плоскостью а5ъ = 0, определенные в соответствии с параметрами (17), представлены ниже (рис. 2-6). На рис. 3, 5, 6 для сплошных кривых, в силу ограниченности размеров рисунков, приведена лишь часть соответствующих эллипсов. Вид начального разрушения указан около каждого гладкого участка кривой: символ Ф отмечает начало разрушения композитного материала вследствие разрушения 1-й фазы, символ © - вследствие разрушения 2-й фазы, угловые Рис. 4. Поверхность прочности макронеоднородного композита в случае продольного расположения фаз (ю1 = 0,2 , а<2) = 1) 0 0 33 Математика, механика, информатика Рис. 5. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае продольного расположения фаз (а^2) = 1): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 Рис. 6. Сечение поверхности прочности двухфазного композита плоскостью а5ъ = 0 в случае продольного расположения фаз (а^2) = 10 ): --©1 1; ■■■ — ©1 0,2;-----©1 0,8; —■— — ©1 0 Анализ полученных результатов (см. рис. 2-6) и расчеты для различных макронеоднородных композитов показали, что за счет изменения характера анизотропии субструктурных элементов, их объемного содержания и взаимного расположения можно целенаправленно проектировать многофазные материалы с требуемыми по условиям эксплуатации прочностными свойствами.

Об авторах

Вениамин Николаевич Максименко

Новосибирский государственный технический университет

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой инженерной математики

Борис Самуилович Резников

Новосибирский государственный технический университет

доктор технических наук, профессор кафедры инженерной математики

Оксана Владиславовна Шеремет

Новосибирский государственный технический университет

Email: oxs@ngs.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерной математики

Список литературы

Дополнительные файлы