Optimal control of deployment of the spoke of a transformablereflector in the pres-ence of disturbances

全文:

Введение

Рефлекторы космического базирования активно используются во многих сферах жизнедеятельности человека. С помощью них осуществляется воздушно-космическая связь и глобальное вещание. Такие антенны используются для прогнозирования климата и дистанционного зондирования земли, исследования дальнего космоса [1–3]. Крупногабаритные рефлекторы специальным образом укладываются в наземных условиях для размещения их в ракете-носителе. После достижения заданной орбиты начинается поэтапный процесс развертывания конструкции, по завершении которого достигается требуемая форма отражающей поверхности.

С середины XX в. все большее внимание стало уделяться крупногабаритным трансформируемым антеннам из-за их большой апертуры и малой массы в развернутом состоянии. Примером такой конструкции является рефлектор Astro Mesh [4; 5]. Для задачи разведения спиц, их выдвижения, обеспечения заданной формы отражающего сетеполотна разработаны математические модели и алгоритмы управления [6–15]. Важно изучить и смоделировать процесс развертывания с учетом возможностей отключения измерителей при минимизации ухудшения при этом точности оценивания [16–18].

Рассмотрим реализацию крупногабаритной космической конструкции с применением вантовой системы для создания необходимой формы радиоотражающей поверхности рефлектора (рис. 1) [10]. Крупногабаритный трансформируемый рефлектор (КТР) состоит из космического аппарата (КА) 1. К нему прикреплены разворачиваемые элементы, такие как солнечные батареи 2, облучающая система 3. Для обеспечения заданной диаграммы направленности штанга 4 выдвигает рефлектор 5 на необходимое фокусное расстояние. Отражающей поверхностью является сетеполотно 6.

 

Рис. 1. Конструкция КТР

Fig. 1. The design of the LTR (Large-sized transformable reflector)

 

Раскрытие КТР происходит в космическом пространстве, поэтому важно привести систему в рабочее положение при минимизации колебаний, что достигается плавностью раскрытия и высокой точностью выхода к упорам. Большой перепад температур, а также радиация и солнечный ветер оказывают возмущающее воздействие на конструкции, что может привести к искажению диаграммы направленности [11; 12]. Поэтому необходимо решать задачи фильтрации, оптимального раскрытия рефлектора и коррекции интервалов наблюдений при допустимой точности оценивания, т. е. исследовать возможность регулировки режима активной работы измерителей.

Математическое описание задачи

Рассмотрим процесс прямого раскрытия спицы КТР. Необходимо изменить положение спицы на заданный угол φ под действием силы М (рис. 2). Спица жестко закреплена одним концом к КА, вращение осуществляется под действием электрического двигателя. Рассмотрим поворот спицы в упрощенном виде без учета изгибных колебаний, моментов трения, создаваемых упором и фиксатором. Оптимальное управление раскрытием рефлектора с учетом колебаний рассмотрено в работах [13; 15].

 

Рис. 2. Разведение спицы рефлектора

Fig. 2. The deployment of the reflector spoke

 

Для исследования возможностей автоматической оптимальной регулировки режима активной работы измерителей в работе [17] предложен алгоритм с оптимальной коррекцией структуры наблюдений. В применении к рефлектору разработан соответствующий алгоритм [18], позволяющий экономить энергию на работу измерителей. 

Математическая модель, описывающая данный процесс, имеет вид

$\stackrel{·}{\mathbf{x}}=\mathbf{ }\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{u}, t\right)+{\mathit{\varsigma }}_x$,                                                                                                                 (1)

при наблюдении

$\mathbf{z}=\mathbf{\alpha }\mathbf{ }\left(t, \tau \right)\mathbf{ }\left[\mathbf{h}\mathbf{ }\left(x, t\right)+{\mathbf{\varsigma }}_z\right]$,                                                                                                      (2)

где x – n-мерный вектор состояния; u – m-мерный вектор управления; m ≤ n, ξ_x, ξ_z – n- и l-векторы возмущений в виде белых шумов с интенсивностями B_x и B_z соответственно; l ≤ n; z – l-вектор измерений; f – h-заданные непрерывные вектор-функции своих аргументов соответствующей размерности, имеющие непрерывные частные производные по x; t Î [t₀, t_f] – переменная непрерывного времени; u Î U(t), U(t) – заданная область m-мерного пространства.

Введем функцию времени α(t, τ), определяющую активность измерителей; если α(t, τ) = 1, то в момент t проводится измерение, а если α(t, τ) = 0 – то нет. Здесь α(t, τ) = 1 – Δα^T∙1(t – τ_2j–1) + Δα^T∙1(t – τ_2j), 1(t – τ_2j–1) = [1(t – τ₁)1(t – τ₃) … 1(t – τ_2r–1)]^T, 1(t – τ_2j) = [1(t – τ₂)1(t – τ₄) … 1(t – τ_2r)]^T, Δα = (Δα₁ Δα₂ … Δα_r)^T, Δα_j = 1; 1(t – τ_2j–1), 1(t – τ_2j) – единичные функции; τ_2j, τ_2j–1 – моменты времени включения и отключения измерителей, .

При этом минимизируется целевой функционал, в общем случае имеющий терминальную и интегральную составляющие,

$I=M\left[V_f\left(x,\stackrel{⌢}{x},t_0,t_f\right)+\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}{f}_0\left(x,\stackrel{⌢}{x},u,t\right)dt\right]$,                                                                          (3)

где f₀, V_f – заданные положительно определённые функции своих аргументов, имеющие непрерывные частные производные по x, t, а функция f₀ еще и по u. Примем

$V_f=V_{f1}\left(x,\stackrel{⌢}{x},t_0\right)+V_{f2}\left(x,t_f\right) , V_{f1}\left(x,\stackrel{⌢}{x},t_0\right)=0.5\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_0^T{R}_0^{-1}\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_0$ ,

$V_{f2}\left(x,t_f\right)=0.5\Delta x_f^T\rho \Delta x_f+0.5{\rho }_0\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f^{T}R\left(t_f\right)\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f+0.5\beta \sum _{j-1}^r{\left({\tau }_{2j}-{\tau }_{2j-1}\right)}^{-2}$, $j=\overline{\mathrm{1,}r} , \Delta {\stackrel{⌢}{x}}_0={\stackrel{⌢}{x}}_0-x_0$ ,

${\stackrel{⌢}{x}}_0=\stackrel{⌢}{x}\left(t_0\right), x_0=x\left(t_0\right) , \Delta x_f=x\left(t_f\right)-x_f , \Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f=\stackrel{⌢}{x}\left(t_f\right)-x_f , \rho =diag\left({\rho }_1,{\rho }_2,\dots ,{\rho }_n\right)$,

$f_0\left(x,\stackrel{⌢}{x},u,t\right)=0.5\Delta {\stackrel{⌢}{x}}^T\gamma \Delta \stackrel{⌢}{x}+0.5\left(u^T{k}^{-2}u+u_0^T{k}^{-2}{u}_0\right), \gamma =diag\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n\right), \Delta \stackrel{⌢}{x}=\stackrel{⌢}{x}-x, x_f,$–

заданное конечное значение вектора х,

$k=diag\left(k_1,k_2,\dots ,k_m\right)$; $\mathrm{\beta }, {\mathrm{\rho }}_0, {\mathrm{\rho }}_i, {\gamma }_i (i = \overline{1, \mathrm{n} }), kj (j = \overline{1, \mathrm{m} })$ –

заданные коэффициенты; R₀, R – матрицы соответствующих размерностей. 

Здесь x = (φ ω U)^T – вектор состояния. В поэлементном виде система представляется следующим образом:

$\stackrel{·}{\mathrm{\phi }}=\text{ω}+{\text{ξ}}_x$, $\stackrel{·}{\mathrm{\omega }}=\frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\text{ω}}_d{X}_{c}I}U$, $\dot{U}=u$,

где φ – угол поворота спицы; ω – угловая скорость поворота спицы; ξ_x – возмущение в виде случайного процесса с интенсивностью B_x,

$M_{\text{п}}=\frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\omega }_d{X}_c}U$ –

полезный момент, создаваемый бесколлекторной машиной (равен общему моменту, действующему на спицу, без учета моментов трения и создаваемых упором и фиксатором); m_ф – число фаз ротора; p – число пар полюсов магнитного поля; Е₀ – действующее значение электродвижущей силы (ЭДС); ϑ – угол рассогласования (между U и Е₀, для двигателя находится в пределах [0, π/2]); ω_d – угловая скорость вращения ротора двигателя; X_c – синхронное сопротивление; I – момент инерции спицы; U – напряжение питания бесколлекторной машины; u – управление.

Рассмотрим спицу как цилиндрическую трубу. Примем её за однозвенную конструкцию. Измерению доступен угол поворота спицы. Для задачи разведения спиц уравнение наблюдения рассмотрим в виде (2), где h(x, t) = φ, ξ_z – возмущение в виде случайного процесса с  интенсивностью B_z.

Согласно принципу разделения [19], синтез управления заключается в получении оптимальной оценки вектора состояния и, далее, в формировании собственно управления в предположении, что вектор состояния известен точно и равен вектору оценки

$x=\stackrel{⌢}{x}, u=u\left(\stackrel{⌢}{x},t\right)$.

Так как информация не будет поступать непрерывно, предлагается оптимизировать режимы отключения измерительной аппаратуры при допустимом ухудшения точности оценивания.

Основной результат

Для построения оптимального управления системой (1), (2), минимизирующего критерий (3), необходимо иметь оценку вектора состояния. Предположим, что алгоритм оценивания имеет вид [16]:

$\dot{\widehat{x}}=f(\widehat{x},u,t)+\alpha (t,\tau )R{h}_{\widehat{x}}^T{B}_z^{-1}[z-h(\widehat{x},t\left)\right]$

$\dot{R}=f_{x}R+R{f}_x^T-R{h}_x^T{B}_z^{-1}{h}_{x}R+B_x , R\left(t_0\right)=R_0$.                                                                  (4)

Здесь $\hat{x}$ – n-мерный вектор оценок. f_x = ∂f/∂x, h_x = ∂f/∂x.

Введем дополнительное управление моментами включения и выключения измерителей

$\dot{\tau }=w$.                                                                                                                                                      (5)

 

Для минимизации затрат на время наблюдения рассмотрим критерий Красовского [19]:

$I_1=I+0.5\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}(w^T{k}_w^{-2}w+w_0^T{k}_w^{-2}{w}_0)dt , k_w=diag\left(k_{w1},k_{w2},\dots ,k_{w2r}\right)$                                            (6)

Положим

$f^{\Phi 1}=f(\widehat{x},u,s)+\alpha (s,\tau )R{h}_{\widehat{x}}^T{B}_z^{-1}[z-h(\widehat{x},s\left)\right]$, $f^{\Phi 2}=f_{\widehat{x}}R+R{f}_{\widehat{x}}^T-\alpha (\tau ,t)R{h}_{\widehat{x}}^T{B}_z^{-1}{h}_{\widehat{x}}R+B_x$.

Исходная система и уравнение наблюдения имеют вид (1), (2):

$\dot{x}=f(x,u,t)+{\xi }_x$ , $x={\left[X^T{Y}^T\right]}^T$, $f={\left[F^T{u}^T\right]}^T$, $z=\alpha (t,\tau )\left[h\right(x,t)+{\xi }_z]$.

Обозначим

$R=\left[R_1{R}_2\mathrm{...}{R}_n\right]$, $f^{\text{Ф2}}=\left[f_1^{\text{Ф2}}{f}_2^{\text{Ф2}}\mathrm{...}{f}_n^{\text{Ф2}}\right]$, $B_x=\left[B_{x1}{B}_{x2}\mathrm{...}{B}_{xn}\right]$,

$R_i=\left[\begin{array}{c}{R}_{1i}\\ \mathrm{...}\\ R_{ni}\end{array}\right]$, $f_i^{\Phi 2}=\left[\begin{array}{c}{f}_{1i}^{\Phi 2}\\ \mathrm{...}\\ f_{ni}^{\Phi 2}\end{array}\right]$, $B_{xi}=\left[\begin{array}{c}{B}_{x1i}\\ \mathrm{...}\\ B_{xni}\end{array}\right]$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ –

столбцы матриц R и $f^{\text{Ф2}}$ соответственно.

Представим гамильтониан H в виде

$H=p_{\widehat{x}}^T{f}^{\Phi 1}+tr\left[p_R^T{f}^{\Phi 2}\right]+p_{\tau }^{T}w+p_x^{T}f+f_0(x,u,t)$

или

$H=p_{\widehat{x}}^T\left\{f(\widehat{x},u,s)+\alpha (s,t)R{h}_{\widehat{x}}^T{B}_z^{-1}[z-h(\widehat{x},s\left)\right]\right\}+tr\left\{p_R^T[f_{\widehat{x}}R+R{f}_{\widehat{x}}^T-\alpha (t,\tau )R{h}_{\widehat{x}}^T{B}_z^{-1}{h}_{\widehat{x}}R+B_x]\right\}+$

$+p_x^{T}f(x,u,s)+p_{\tau }^{T}w+\gamma \alpha (t,\tau )+0.5(\Delta x^T{R}^{-1}\Delta x+w^T{k}_w^{-2}w+w_0^T{k}_w^{-2}{w}_0+u^T{k}_u^{-2}u+u_0^T{k}_u^{-2}{u}_0)$.

Здесь

$tr{p}_R^T{f}_R=\sum _{i=1}^n{p}_R^T{f}_R$,

P_R – матрица, сопряженная с матрицей R, и составленная из столбцов P_Ri,

$i=\overline{\mathrm{1,}n}$: $p_R=\left[p_{R1}{p}_{R2}\mathrm{...}{p}_{Rn}\right]$, $p_{R_i}=\left[\begin{array}{c}{p}_{R_{1i}}\\ \dots \\ p_{R_{ni}}\end{array}\right]$.

Тогда канонические уравнения имеют вид

$\dot{x}= f(x, u, t) + {\xi }_x$,  $\dot{Y}=u, \dot{\tau }=w$,

$\dot{\widehat{x }}= {\left(\frac{\partial H}{\partial p_x}\right)}^T=f^{\Phi 1}(\widehat{x}, u, t, R, B_z, \tau , z)$,

$\dot{\widehat{x }}= {\left(\frac{\partial H}{\partial p_x}\right)}^T=f^{\Phi 2}(\widehat{x}, u, t, R, B_z, B_x, \tau , z)$,

${\dot{p}}_x=-{\left[\partial \left(p_x^{T}f\right)/\partial x\right]}^T-f_{0x}^T$,

${\dot{p}}_{\widehat{x}}=\left(\frac{\partial H}{\partial \widehat{x}}\right)=-\left(\frac{\partial f^{\Phi 1}}{\partial \widehat{x}}\right)p_{\widehat{x}}-{\left[\frac{\partial tr\left(p_R^T{f}^{\Phi 2}\right)}{\partial \widehat{x}}\right]}^T-f_{0\widehat{x}}^T$,

${\dot{p}}_R=-{\left(\frac{\partial H}{\partial R}\right)}^T=-\alpha h_{\stackrel{⌢}{x}}^T{B}_z^{-1}\left(z-h\right)p_{\stackrel{⌢}{x}}^T-p_R^T{f}_{\stackrel{⌢}{x}}-f_{\stackrel{⌢}{x}}^T{p}_R^T+\alpha \left(p_R^T{R}_x^T{h}_{\stackrel{⌢}{x}}^T{B}_z^{-1}{h}_{\stackrel{⌢}{x}}+h_{\stackrel{⌢}{x}}^T{B}_z^{-1}{h}_{\stackrel{⌢}{x}}R{p}_R^T\right)$,

${\dot{p}}_{\tau }=-{\left(\frac{\partial H}{\partial \tau }\right)}^T=\left\{-p_{\stackrel{⌢}{x}}^{T}R{h}_x^T{B}_z^{-1}\left[z-h\left(\stackrel{⌢}{x},t\right)\right]+tr\left[p_R^{T}R{h}_x^T{B}_z^{-1}{h}_{x}R\right]\right\}{\left(\frac{\partial \alpha \left(t,\tau \right)}{\partial \tau }\right)}^T$.

Здесь

${\left(\frac{\partial \alpha \left(t,\tau \right)}{\partial \tau }\right)}^T=-\Delta \alpha \delta \left(T-\tau \right) , f_{0\widehat{x}}=\gamma {\left(\Delta x\right)}^T , f_{0x}=-\gamma {\left(\Delta x\right)}^T$,

$p_{\stackrel{⌢}{x}}\left(t_0\right)=R_0^{-1}\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_0 , p_x\left(t_0\right)=-R_0^{-1}\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_0 , p_R\left(t_0\right)=0.5\frac{\partial }{\partial R}\left[\Delta {\stackrel{⌢}{x}}^T{R}_0^{-1}\Delta \stackrel{⌢}{x}\right]=-\Delta \stackrel{⌢}{x}\Delta {\stackrel{⌢}{x}}^T{R}_0^{-2}$,

$p_x\left(t_f\right)=\rho \Delta x_f , p_{\stackrel{⌢}{x}}\left(t_f\right)={\rho }_{0}R\left(t_f\right)\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f , p_R\left(t_f\right)={\rho }_0\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f\Delta {\stackrel{⌢}{x}}_f^T , p_{\tau 2j-1}\left(t_f\right)=\beta {\left({\tau }_{2j}-{\tau }_{2j-1}\right)}^{-1}$,

$p_{\tau 2j}\left(t_f\right)=-\beta {\left({\tau }_{2j}-{\tau }_{2j-1}\right)}^{-1} , \Delta x_f=x\left(t_f\right)-x_f , \Delta \stackrel{⌢}{x}=\stackrel{⌢}{x}-x , w\left(t\right)=-k_w^2{p}_{\tau }\left(t\right)$,

$u\left(t\right)=-k^2{p}_Y\left(t\right) , p_x={\left(p_X^T{p}_Y^T\right)}^T$.

В прогнозирующую модель в прямом времени входят уравнения динамики разведения спицы рефлектора и уравнения фильтра Калмана при неизменном режиме работы измерителей. Далее вычисляются граничные значения сопряженных переменных. При интегрировании в обратном времени к уравнениям прогноза в прямом времени добавляются уравнения для сопряженных переменных. После нахождения значений сопряженных переменных в текущий момент вычисляется управление. Далее исходная система с управлением интегрируется на шаг вперед. При t < t_f  вычисления повторяются из текущего положения. При t > t_f   расчеты завершаются. 

При вычислениях последовательность переключений τ_i,  остается неизменной. При сближении соседних значений моментов переключения до минимальной величины (τ_i+1 – τ_i) < ε принимается τ_i+1 = τ_i и количество всех переключений в структуре (r) уменьшается на единицу: (r – 1), где ε > 0 – заданная малая величина.

Здесь

$f^{\text{ф}1}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{⌢}{\omega }+\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{11}\left(z-{\stackrel{⌢}{x}}_1\right)\\ \frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\omega }_d{X}_{c}I}\stackrel{⌢}{U}+\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{12}\left(z-{\stackrel{⌢}{x}}_1\right)\\ u+\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{13}\left(z-{\stackrel{⌢}{x}}_1\right)\end{array}\right]$,

$f_{11}^{\text{ф}2}=2R_{12}-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{11}^2+B_x$,

$f_{12}^{\text{ф}2}=R_{22}+\frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\omega }_d{X}_{c}I}{R}_{13}-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{11}{R}_{12}$,

$f_{13}^{\text{ф}2}=R_{23}-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{11}{R}_{13}$,

$f_{22}^{\text{ф}2}=2\frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\omega }_d{X}_{c}I}{R}_{23}-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{12}^2$,

$f_{23}^{\text{ф}2}=\frac{m_{\text{ф}}p{E}_0\sin \vartheta }{{\omega }_d{X}_{c}I}{R}_{33}-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{21}{R}_{13}$,

$f_{33}^{\text{ф}2}=-\alpha \left(t,\tau \right)B_z^{-1}{R}_{13}^2 , f_{21}^{\text{ф}2}=f_{12}^{\text{ф}2} , f_{31}^{\text{ф}2}=f_{13}^{\text{ф}2} , f_{32}^{\text{ф}2}=f_{23}^{\text{ф}2}$.

Спица приводится в движение приводом, в качестве которого рассмотрен бесколлекторный электродвигатель Phytron серии phySPACE [20]. Точность 3–5 % для 1,8º. В качестве датчика углового положения используется энкодер ЛИР-МА208 [21] с точностью ±1º. Но так как поворот спицы рассматривается в упрощенном виде без учета изгибных колебаний, то надо увеличить интенсивность ошибок измерения B_z.

Требуется перевести спицу из начального положения x(0) = (0 0 0)^T в конечное x(t_f) = (π/2 0 0)^T с отсутсвием перерегулирования по углу разворота φ за время t_f  = 60 c при наличии внешних возмущений ξ_x и шумов измерений ξ_z.

Моделирование

Примем время раскрытия спицы t_f = 60 с. Число фаз ротора m_э = 2, число пар полюсов магнитного поля p = 2, действующее значение ЭДС на обмотке статора E₀ = 2,5 В, синхронное сопротивление Xc = 22∙10^-3 Ом, угол рассогласования между полем ротора и статора ϑ = π/10 при любой нагрузке, ω_p =247 рад/с. Рассматривается спица длиной a = 9,75 м, массой (всех вложенных звеньев) m = 32 кг, сечением в виде кольца с внешним радиусом R = 0,26 м и внутренним радиусом r = 0,25 м. Момент инерции I = mR²/2+ma²/3 = 1015,4 кг·м².

В расчетах шумы ξ_x и ξ_z принимались белыми с интенсивностями B_x= 0,00279, B_z=0,0156 соответственно.

 

Рис. 3. Графики x₁ (t) = φ(t), x₂ = ω (t)

Fig. 3. Graphics x₁ (t) = φ(t), x₂ = ω (t)

 

На рис. 3 представлены результаты моделирования при непрерывных измерениях: графики зависимостей φ(t), ω(t). При этом ошибки оценивания приняли значения: R₁₁(t_f) = 0,00683, R₂₂(t_f) = 0,00004. Видно, что удалось решить поставленную задачу, т. е. раскрыть спицу из начального положения на заданный угол π/2.

Далее проводились расчеты с применением приведенного выше алгоритма с коррекцией интервалов наблюдения. Вначале приняты 2 интервала отключения измерений: с момента τ₁ = 10 с до τ₂ = 20 с и от τ₃ = 30 с до τ₄ = 40 с. При значениях весовых коэффициентов в критерии (3).

 

Рис. 4. Графики: а — τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{4}}$ ; б — R₁₁ (t), R₂₂ (t),  при 2 интервалах отключения измерений и β = 10^–2

Fig. 4. Graphics: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{4}}$ ; b –  R₁₁ (t), R₂₂ (t),   at 2 measurement shutdown intervals and β = 10^–2

 

ρ₀ = 10^–10, β = 10^–2, k_w1 = 2·10^–12, k_w2 = 2·10^–8, k_w3 = 4, k_w4 = 1 на рис. 4, а показаны графики τ_i(t), $i=\overline{\mathrm{1,4}}$, а на рис. 4, б – диагональные элементы матрицы ковариации R₁₁(t), R₂₂(t). В результате исходные интервалы отключения измерений Δτ₁(t₀) = τ₂(t₀) – τ₁(t₀) = 10 c, τ₂(t₀) = τ₄(t₀) – τ₃(t₀) = 10 с перешли при τ₁(t_f) = 11,998 с, τ₂(t_f) = 20,134 с, τ₃(t_f) = 37,863 с, τ₄(t_f) = 40,215 с в Δτ₁ (t_f) = τ₂ (t_f) - τ₁ (t_f) = 8,136 с, Δτ₂ (t_f) = τ₄ (t_f) - τ₃ (t_f) = 2,352 с, т. е. сумма Δτ (t₀) = Δτ₁ (t₀) + Δτ₂ (t₀) = 20 c уменьшилась до Δτ (t_f) = Δτ₁ (t_f) + Δτ₂ (t_f) = 10,488 с, т. е. произошло сужение интервалов отключения измерений.

При увеличении коэффициента β интервал отключения измерений должен увеличиться. Например, при β = 1 получаем τ₁(t_f) = 11,978 с, τ₂(t_f) = 20,126 с, τ₃(t_f) = 26,648 с, τ₄(t_f) = 44,034 с и Δτ₁(t_f) = 8,148 с, Δτ₂(t_f) = 17,386 с, т. е. сумма Δτ (t₀) = Δτ₁ (t₀) - Δτ₂ (t₀) = 20 c увеличилась до Δτ (t_f) = Δτ₁ (t_f) + Δτ₂ (t_f) = 25,534 с. На рис. 5 представлены соответствующие графики.

 

Рис. 5. Графики: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{4}}$ ; б – R₁₁ (t), R₂₂ (t),  при увеличении коэффициента β

Fig. 5. Graphics:а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{4}}$ ; b – R₁₁ (t), R₂₂ (t),  when increasing the coefficient β

 

Рассмотрим теперь один интервал отключения измерителей: τ₁(t₀) = 30 с, τ₂(t₀) = 40 с, Δτ (t₀) = τ₂(t₀) – τ₁(t₀) = 10 c. При значениях коэффициентов: ρ₀=10^-6, β=10^-2, k_w1=10, k_w2=5 получено τ₁(t_f) = 33,91 с, τ₂(t_f) = 40,122 с и Δτ(t_f) = 6,212 с, т. е. сужение интервала (рис. 6).

 

Рис. 6. Графики: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$, ;б – R₁₁ (t), R₂₂ (t), при 1 интервале отключения измерений и β = 10^–2

Fig. 6. Graphics: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$ ; b – R₁₁ (t), R₂₂ (t), at 1 measurement shutdown interval and β = 10^–2

 

При ρ₀ = 10^–6, β = 1, k_w1 = 10, k_w2 = 5 вышло τ₁(t_f) = 20,953 с, τ₂(t_f ) = 52,05 с и Δτ(t_f ) = 31,097 с, т. е. увеличение коэффициента β приводит к расширению интервала отключения наблюдений (рис. 7).

 

Рис. 7. Графики: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$, ;б – R₁₁ (t), R₂₂ (t),  при 1 интервале отключения измеренийи при увеличении коэффициента β

Fig. 7. Graphics: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$ ; b – R₁₁ (t), R₂₂ (t), at 1 measurement shutdown interval when increasing the coefficient β

 

Теперь примем τ₁(t₀) = 35 с, τ₂(t₀) = 45 с, Δτ (t₀) = τ₂ (t₀) - τ₁ (t₀) = 10 с. При значениях коэффициентов ρ₀ = 10^–5, β = 10^–2, k_w1 = 10, k_w2 = 5 получено τ₁(t_f) = 42,311 с, τ₂(t_f) = 46,012 с и Δτ(t_f) = 3,701 с, т. е. сужение интервала (рис. 8). При этом R₁₁(t_f) = 0,0136, R₂₂(t_f) = 0,0000423.

 

Рис. 8. Графики: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$, ;б – R₁₁ (t), R₂₂ (t), при изменении начальных значений τ_i(t₀)

Fig. 8. Graphics: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$ ; b – R₁₁ (t), R₂₂ (t), when changing the initial values τ_i(t₀)

 

При значениях коэффициентов ρ₀ = 10^–6, β = 0,2, k_w1 = 10, k_w2 = 5 получено τ₁(t_f) = 31,051 с, τ₂(t_f) = 48,47 с и Δτ(t_f) = 17,419 с, т. е. уменьшение коэффициента ρ₀  и увеличение β приводятк расширению интервала отключения наблюдений (рис. 9). При этом R₁₁(t_f) = 0,0137, R₂₂(t_f) = 0,0000423.

Как видно из результатов проведенных расчетов, алгоритм с оптимальной коррекцией интервалов наблюдений можно активно использовать при решении задачи экономии затрат энергии на измерения при допустимой точности оценивания. Предполагается, что последовательность моментов переключений в работе измерителей остается упорядоченной по шкале времени. В алгоритме предусмотрено слияние сближающихся моментов переключения с исключением соответствующего участка. Результаты численного моделирования демонстрируют возможность сокращения времени работы измерителей при допустимой точности оценивания.

 

Рис. 9. Графики: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$, ;б – R₁₁ (t), R₂₂ (t), при уменьшении коэффициента ρ₀ и увеличении коэффициента β

Fig. 9. Graphics: а – τ_i (t), i = $\overline{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{2}}$ ; b – R₁₁ (t), R₂₂ (t), when decreasing the coefficient ρ₀ and increasing the coefficient β

На этапе проектирования системы управления в зависимости от вида и интенсивности случайных возмущений, требований к величине допустимых энергетических затрат проводятся исследования по виду структуры наблюдения, установлению весовых коэффициентов критерия, обеспечивающих автоматическое определение интервалов отключения измерителей. В зависимости от получаемых значений весовых коэффициентов критерия возможна коррекция режима работы измерителей. При отключении датчиков не затрачивается энергия на их функционирование и передачу данных.

Дальнейшее уточнение границ интервалов отключения наблюдений можно производить автономно на борту системы.

Заключение

В работе получено решение задачи оптимизации процессов управления по алгоритму последовательной оптимизации [14] и наблюдения по представленному выше алгоритму с коррекцией структуры наблюдений [17; 18]. В результате проделанной работы было подтверждено решение задачи оптимального управления стохастической моделью раскрытия спицы КТР по неполным данным с использованием принципа разделения. Использование алгоритма последовательной оптимизации при полученных оцененных с помощью фильтра Калмана данных с коррекцией интервалов отключения измерителей позволило решить поставленную задачу. Результаты работы – сокращение времени включения измерителей при допустимой точности – получены путем численного моделирования. Интервальное выключение измерений позволяет снизить энергозатраты на питание датчиков и обработку измерений. В дальнейшем для усовершенствования представленного алгоритма возможно также вместо принципа разделения применить совместное решение задач навигации и управления как иерархической дифференциальной игры [22].

Представленные исследования доложены на XXVI международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация» [17; 18].

Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-08-00646а.

Acknowledgment. The reported study was funded by RFBR according to the research project No 20-08-00646a.

作者简介

Sergey Kabanov

BSTU “VOENMEH” named after D. F. Ustinov

Email: kaba-sa@mail.ru

Dr. Sc., Professor

俄罗斯联邦, 1, 1 st. Krasnoarmeyskaya, St. Petersburg, 199005

Dmitriy Kabanov

BSTU “VOENMEH” named after D. F. Ustinov

Email: kabanovds@mail.ru

Cand. Sc., researcher

俄罗斯联邦, 1, 1 st. Krasnoarmeyskaya, St. Petersburg, 199005

Evgeniy Nikulin

BSTU “VOENMEH” named after D. F. Ustinov

Email: nikulin_en@voenmeh.ru

Dr. Sc., Professor, Deputy Director of the Institute of Weapon Systems

俄罗斯联邦, 1, 1 st. Krasnoarmeyskaya, St. Petersburg, 199005

Fedor Mitin

BSTU “VOENMEH” named after D. F. Ustinov

编辑信件的主要联系方式.
Email: fedor28@list.ru

Cand. Sc., Associate Professor Department of Control Systems and Computer Technologies

俄罗斯联邦, 1, 1 st. Krasnoarmeyskaya, St. Petersburg, 199005

参考

补充文件