Calibration of a spacecraft magnetometer taking into account the nature of the temperature dependence of the sensitivity matrix and the offset vector

Kirill A. Kirillov; Кириллов Кирилл Анатольевич; Svetlana V. Kirillova; Кириллова Светлана Владимировна; Denis O. Melent'ev; Мелентьев Денис Олегович; Gennady P. Titov; Титов Геннадий Павлович; Artem A. Gashin; Гашин Артем Александрович

doi:10.31772/2712-8970-2025-26-1-21-33

Калибровка магнитометра космического аппарата с учетом характера температурной зависимости матрицы чувствительности и вектора смещений нуля

Авторы: Кириллов К.А.¹, Кириллова С.В.², Мелентьев Д.О.²^,3, Титов Г.П.³, Гашин А.А.¹
Учреждения:
1. Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева
2. Сибирский федеральный университет
3. Акционерное общество «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва»
Выпуск: Том 26, № 1 (2025)
Страницы: 21-33
Раздел: Раздел 1. Информатика, вычислительная техника и управление
Статья опубликована: 16.04.2025
URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/678592
DOI: https://doi.org/10.31772/2712-8970-2025-26-1-21-33
ID: 678592

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

В настоящей работе предложен аналитический метод решения задачи калибровки магнитометра для модели, учитывающей вектор температурной зависимости смещений нуля для каждой из измерительных осей блока магнитометра и матрицу линейной температурной зависимости каждого из членов матрицы чувствительности, масштабирующей сигнал на основе реальной чувствительности каждой оси и включающей линейные внеосевые эффекты. При решении задачи определения калибровочных параметров блока магнитометра учитывается, что для измерений с любой пространственной ориентацией блока магнитометра величина измеряемого вектора магнитной индукции сохраняется и является известной модельной величиной. Вводится в рассмотрение штрафная функция 24 переменных, равная сумме квадратов невязок. Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей блока магнитометра сводится к поиску методом наименьших квадратов таких значений переменных этой функции, которые при заданном наборе векторов измерений магнитометра доставляют ей минимум. С этой целью указанная функция исследуется на экстремум. Исходя из необходимого условия экстремума штрафной функции, формируется система 24 уравнений относительно 24 неизвестных, которая для удобства разбивается на три системы (каждая из них есть система 8 линейных алгебраических уравнений относительно 8 неизвестных). Доказывается, что основная матрица каждой из этих трех систем не вырождена, откуда следует, что каждая из них имеет решение, и притом только одно. Компоненты решений этих систем (координаты стационарной точки штрафной функции) находятся по правилу Крамера. Доказывается, что второй дифференциал штрафной функции в найденной стационарной точке положителен, откуда следует, что эта точка действительно доставляет минимум указанной функции.

Ключевые слова

калибровка магнитометра, вектор магнитной индукции, метод наименьших квадратов, матрица Грама, правило Крамера

Полный текст

Введение

Магнитометры входят в состав системы ориентации и стабилизации (СОС) низкоорбитальных малогабаритных космических аппаратов (МКА), где являются основными источниками информации о положении МКА после отделения от разгонного блока. Магнитометры осуществляют измерение величины и направления вектора магнитной индукции магнитного поля Земли. Получаемые данные необходимы для формирования управляющих моментов МКА, при этом длительность режима успокоения во многом зависит от точности показаний прибора и шумовой составляющей.

Современные магнитометры СОС МКА разрабатываются на базе эффекта магнитосопротивления и вследствие физических особенностей чувствительного элемента требуют проведения математической калибровки прибора. На данный момент предложены различные методы калибровки магнитометров [1–16], в частности, статья [11], в которой приведен обзор различных способов проведения таких операций.

Ранее задача калибровки магнитометра космического аппарата решалась с применением численных методов. В настоящей работе предложен аналитический метод решения этой задачи для модели, учитывающей вектор температурной зависимости смещений нуля для каждой из измерительных осей блока магнитометра и матрицу линейной температурной зависимости каждого из членов матрицы чувствительности, масштабирующей сигнал на основе реальной чувствительности каждой оси и включающей линейные внеосевые эффекты.

1. Модель погрешностей измерений вектора магнитной индукции

Обозначим через h = (h₁, h₂, h₃)^T значение измеренного вектора магнитной индукции при некотором пространственном положении блока магнитометра (БМ). Воспользуемся моделью измерений, рассмотренной в [1]:

B = (S + τK_S)h + b + τk_b, (1)

В (1) использованы следующие обозначения:

B = (B₁, B₂, B₃)^T – истинный вектор магнитной индукции;

b = (b₁, b₂, b₃)^T – постоянный вектор, отвечающий смещениям нуля для каждой из измерительных осей БМ;

k_b = (θ₁, θ₂, θ₃)^T – вектор температурной зависимости смещений нуля для каждой из измерительных осей БМ;

$S = {(s_{i j})}_{i, j = 1}^{3}$ – матрица чувствительности, которая масштабирует сигнал на основе реальной чувствительности каждой оси и включает линейные внеосевые эффекты;

$K_{S} = {(t_{i j})}_{i, j = 1}^{3}$ – матрица линейной температурной зависимости каждого из членов матрицы чувствительности;

τ – температура, передаваемая датчиком (скалярная величина).

При этом компоненты векторов B, h, b и k_b выражены в одинаковых единицах измерения.

Задача калибровки измерительных осей БМ сводится к нахождению элементов матриц S и K_S, а также компонент векторов b и k_b.

2. Разработка алгоритма определения калибровочных параметров БМ

При решении задачи определения калибровочных параметров БМ воспользуемся тем, что для измерений с любой пространственной ориентацией БМ величина измеряемого вектора магнитной индукции B сохраняется и является известной модельной величиной.

Пусть в результате измерений магнитометра в дискретные моменты времени получен набор векторов h^(l) = (h₁^(l), h₂^(l), h₃^(l))^T, а в результате измерений в те же дискретные моменты времени передающего температуру датчика получен набор значений τ^(l), l=1,2,…,N. Без ограничения общности можно считать, что если $(τ^{(l)}, h_{1}^{(l)}, h_{2}^{(l)}, h_{3}^{(l)}, τ^{(l)} h_{1}^{(l)}, τ^{(l)} h_{2}^{(l)}, τ^{(l)} h_{3}^{(l)})$ (l=1,2,…,N) рассматривать как координаты точек 7-мерного аффинного пространства, то эти точки не лежат в одной гиперплоскости. Обозначим эти точки следующим образом:

$U_{l} (τ^{(l)}, h_{1}^{(l)}, h_{2}^{(l)}, h_{3}^{(l)}, τ^{(l)} h_{1}^{(l)}, τ^{(l)} h_{2}^{(l)}, τ^{(l)} h_{3}^{(l)}),$ l=1,2, …,N. (2)

Докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Если точки

$V_{1} (x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, \dots, x_{n}^{(1)}),$ $V_{2} (x_{1}^{(2)}, x_{2}^{(2)}, \dots, x_{n}^{(2)}),$ …, $V_{N} (x_{1}^{(N)}, x_{2}^{(N)}, \dots, x_{n}^{(N)})$ (3)

n-мерного аффинного пространства не лежат в одной гиперплоскости (N ≥ n), то среди них найдутся n аффинно независимых точек.

Доказательство. Лемму докажем методом «от противного». Предположим, что любые n точек из набора (3) аффинно зависимы. Обозначим через m максимальное число аффинно независимых точек (3), 1 ≤ m < n. Пусть $V_{i_{1}} (x_{1}^{(i_{1})}, x_{2}^{(i_{1})}, \dots, x_{n}^{(i_{1})}),$ $V_{i_{2}} (x_{1}^{(i_{2})}, x_{2}^{(i_{2})}, \dots, x_{n}^{(i_{2})}),$ …, $V_{i_{m}} (x_{1}^{(i_{m})}, x_{2}^{(i_{m})}, \dots, x_{n}^{(i_{m})})$ – аффинно независимые точки, а П_n_–1 – любая из гиперплоскостей, проходящих через эти точки. Выберем в гиперплоскости П_n_–1 такие точки $W_{1} (y_{1}^{(1)}, y_{2}^{(1)}, \dots, y_{n}^{(1)}),$ $W_{2} (y_{1}^{(2)}, y_{2}^{(2)}, \dots, y_{n}^{(2)}),$ …, $W_{n - m} (y_{1}^{(n - m)}, y_{2}^{(n - m)}, \dots, y_{n}^{(n - m)}),$ что точки $V_{i_{1}},$ $V_{i_{2}},$ …, $V_{i_{m}},$ $W_{1},$ $W_{2},$ …, $W_{n - m}$ аффинно независимы. Запишем уравнение гиперплоскости П_n_–1 [17]:

$|\begin{array}{l} x_{1} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n} - x_{n}^{(i_{1})} \\ x_{1}^{(i_{2})} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2}^{(i_{2})} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n}^{(i_{2})} - x_{n}^{(i_{1})} \\ \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots & \dots & \dots \dots \dots \dots \\ x_{1}^{(i_{m})} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2}^{(i_{m})} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n}^{(i_{m})} - x_{n}^{(i_{1})} \\ y_{1}^{(1)} - x_{1}^{(i_{1})} & y_{2}^{(1)} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & y_{n}^{(1)} - x_{n}^{(i_{1})} \\ \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots & \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \\ y_{1}^{(n - m)} - x_{1}^{(i_{1})} & y_{2}^{(n - m)} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & y_{n}^{(n - m)} - x_{n}^{(i_{1})} \end{array}| = 0.$ (4)

Легко видеть, что любая из точек (3) удовлетворяет уравнению (4). Действительно, если в определитель, фигурирующий в левой части этого уравнения, вместо x₁, x₂, …, x_n подставить координаты любой из точек U_l (l=1,2,…,N), то получим определитель

$|\begin{array}{l} x_{1}^{(l)} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2}^{(l)} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n}^{(l)} - x_{n}^{(i_{1})} \\ x_{1}^{(i_{2})} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2}^{(i_{2})} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n}^{(i_{2})} - x_{n}^{(i_{1})} \\ \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots & \dots & \dots \dots \dots \dots \\ x_{1}^{(i_{m})} - x_{1}^{(i_{1})} & x_{2}^{(i_{m})} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & x_{n}^{(i_{m})} - x_{n}^{(i_{1})} \\ y_{1}^{(1)} - x_{1}^{(i_{1})} & y_{2}^{(1)} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & y_{n}^{(1)} - x_{n}^{(i_{1})} \\ \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots & \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \\ y_{1}^{(n - m)} - x_{1}^{(i_{1})} & y_{2}^{(n - m)} - x_{2}^{(i_{1})} & \dots & y_{n}^{(n - m)} - x_{n}^{(i_{1})} \end{array}| .$ (5)

Если l = i₁, то первая строка определителя (5) нулевая, и поэтому он равен нулю. Если $l \in \{i_{2}, \dots, i_{m}\},$ то определитель (5) равен нулю в силу того, что первая его строка совпадает с одной из строк с номерами 2, …, m. Если же $l \notin \{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{m}\},$ то в силу аффинной зависимости точек $V_{l},$ $V_{i_{1}},$ $V_{i_{2}},$ …, $V_{i_{m}}$ векторы $\vec{V_{i_{1}} V_{l}},$ $\vec{V_{i_{1}} V_{i_{2}}},$ $\vec{V_{i_{1}} V_{i_{3}}},$ …, $\vec{V_{i_{1}} V_{i_{m}}}$ линейно зависимы, следовательно, линейно зависимы первые m строк определителя (5), а значит этот определитель и в данном случае равен нулю.

Таким образом, все N точек (3) принадлежат гиперплоскости П_n_–1, что противоречит условию леммы. Следовательно, наше предположение о том, что любые n точек из набора (3) аффинно зависимы, не верно, а значит, среди точек (3) действительно найдутся n аффинно независимых точек. Лемма 1 доказана.

Из (1) получаем:

B^(l) = (S + τ^(l)K_S)h^(l) + b + τ^(l)k_b, l=1,2, …, N, (6)

где B^(l) = (B₁^(l), B₂^(l), B₃^(l))^T – истинный вектор магнитной индукции в той же точке пространства, что и измеренный вектор h^(l), l=1,2,…,N.

Перепишем равенство (6) в развернутом виде:

$(\begin{matrix} s_{11} + τ^{(l)} t_{11} & s_{12} + τ^{(l)} t_{12} & s_{13} + τ^{(l)} t_{13} \\ s_{21} + τ^{(l)} t_{21} & s_{22} + τ^{(l)} t_{22} & s_{23} + τ^{(l)} t_{23} \\ s_{31} + τ^{(l)} t_{31} & s_{32} + τ^{(l)} t_{32} & s_{33} + τ^{(l)} t_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} h_{1}^{(l)} \\ h_{2}^{(l)} \\ h_{3}^{(l)} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} + τ^{(l)} θ_{1} \\ b_{2} + τ^{(l)} θ_{2} \\ b_{3} + τ^{(l)} θ_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} B_{1}^{(l)} \\ B_{2}^{(l)} \\ B_{3}^{(l)} \end{matrix}),$ (7)

l=1,2, …,N. Каждое из N векторных равенств (7) запишем в виде системы трех скалярных равенств:

$(s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} + (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} + (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)} + b_{i} + τ^{(l)} θ_{i} = B_{i}^{(l)}, i = 1,2,3,$ l=1,2,…,N.

Введем в рассмотрение штрафную функцию 24 переменных s_ij, t_ij (i, j = 1, 2, 3), b_i, θ_i (i = 1, 2, 3):

$Φ = \sum_{l = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{3} {[B_{i}^{(l)} - τ^{(l)} θ_{i} - b_{i} - (s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} - (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} - (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)}]}^{2} .$ (8)

Алгоритм решения задачи калибровки измерительных осей БМ сводится к поиску методом наименьших квадратов [18] таких значений переменных s_ij, t_ij (i, j = 1, 2, 3), b_i, θ_i (i = 1, 2, 3), которые при заданном наборе векторов измерений {h^(l)} (l=1,2,…,N) доставляют минимум функции Ф. С этой целью требуется исследовать функцию Ф на экстремум [19]. Запишем необходимое условие локального экстремума этой функции:

$\{\begin{cases} \frac{\partial Φ}{\partial b_{i}} = - 2 \sum_{l = 1}^{N} [B_{i}^{(l)} - τ^{(l)} θ_{i} - b_{i} - (s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} - (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} - (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)}] = 0, i = 1,2,3, \\ \frac{\partial Φ}{\partial θ_{i}} = - 2 \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} [B_{i}^{(l)} - τ^{(l)} θ_{i} - b_{i} - (s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} - (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} - (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)}] = 0, i = 1,2,3, \\ \frac{\partial Φ}{\partial s_{i j}} = - 2 \sum_{l = 1}^{N} h_{j}^{(l)} [B_{i}^{(l)} - τ^{(l)} θ_{i} - b_{i} - (s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} - (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} - (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)}] = 0, i, j = 1,2,3, \\ \frac{\partial Φ}{\partial t_{i j}} = - 2 \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{j}^{(l)} [B_{i}^{(l)} - τ^{(l)} θ_{i} - b_{i} - (s_{i 1} + τ^{(l)} t_{i 1}) h_{1}^{(l)} - (s_{i 2} + τ^{(l)} t_{i 2}) h_{2}^{(l)} - (s_{i 3} + τ^{(l)} t_{i 3}) h_{3}^{(l)}] = 0, i, j = 1,2,3. \end{cases}$ (9)

Требуется найти стационарные точки функции Ф, т. е. решение системы (9) – системы линейных алгебраических уравнений относительно 24 неизвестных s_ij, t_ij (i, j = 1, 2, 3), b_i, θ_i (i = 1, 2, 3).

Для удобства разобьем (9) на три системы

$\{\begin{cases} N b_{i} + θ_{i} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} + \sum_{k = 1}^{3} [s_{i k} \sum_{l = 1}^{N} h_{k}^{(l)}] + \sum_{k = 1}^{3} [t_{i k} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{k}^{(l)}] = \sum_{l = 1}^{N} B_{i}^{(l)}, \\ b_{i} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} + θ_{i} \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} + \sum_{k = 1}^{3} [s_{i k} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{k}^{(l)}] + \sum_{k = 1}^{3} [t_{i k} \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} h_{k}^{(l)}] = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} B_{i}^{(l)}, \\ b_{i} \sum_{l = 1}^{N} h_{j}^{(l)} + θ_{i} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{j}^{(l)} + \sum_{k = 1}^{3} [s_{i k} \sum_{l = 1}^{N} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)}] + \sum_{k = 1}^{3} [t_{i k} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)}] = \sum_{l = 1}^{N} h_{j}^{(l)} B_{i}^{(l)}, j = 1,2,3, \\ b_{i} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{j}^{(l)} + θ_{i} \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} h_{j}^{(l)} + \sum_{k = 1}^{3} [s_{i k} \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)}] + \sum_{k = 1}^{3} [t_{i k} \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)}] = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} B_{i}^{(l)} h_{j}^{(l)}, j = 1,2,3, \end{cases}$ (10)

i = 1, 2, 3. Заметим, что i-я система (10) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно восьми неизвестных b_i, θ_i, s_i₁, s_i₂, s_i₃, t_i₁, t_i₂, t_i₃, i = 1, 2, 3.

Докажем, что каждая из трех систем уравнений (10) имеет решение, и притом только одно. Для этого достаточно показать, что основная матрица каждой из этих трех систем не вырождена. Основная матрица каждой из указанных систем – матрица Грама, составленная из скалярных произведений следующих восьми векторов:

$(1,1, \dots,1),$ $(τ^{(1)}, τ^{(2)}, \dots, τ^{(N)}),$ $(h_{i}^{(1)}, h_{i}^{(2)}, \dots, h_{i}^{(N)})$ ( $i = 1,2,3$ ),

$(τ^{(1)} h_{i}^{(1)}, τ^{(2)} h_{i}^{(2)}, \dots, τ^{(N)} h_{i}^{(N)})$ ( $i = 1,2,3$ ). (11)

При этом скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений их компонент с одинаковыми номерами.

Докажем, что система векторов (11) линейно независима, откуда будет следовать невырожденность матрицы Грама этой системы [20], т. е. основной матрицы каждой из этих трех систем уравнений (10). Доказательство проведем методом «от противного». Предположим, что система векторов (11) линейно зависима. Тогда ранг матрицы

$(\begin{array}{l} 1 & τ^{(1)} & h_{1}^{(1)} & h_{2}^{(1)} & h_{3}^{(1)} & τ^{(1)} h_{1}^{(1)} & τ^{(1)} h_{2}^{(1)} & τ^{(1)} h_{3}^{(1)} \\ 1 & τ^{(2)} & h_{1}^{(2)} & h_{2}^{(2)} & h_{3}^{(2)} & τ^{(2)} h_{1}^{(2)} & τ^{(2)} h_{2}^{(2)} & τ^{(2)} h_{3}^{(2)} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \dots \dots & \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \\ 1 & τ^{(N)} & h_{1}^{(N)} & h_{2}^{(N)} & h_{3}^{(N)} & τ^{(N)} h_{1}^{(N)} & τ^{(N)} h_{2}^{(N)} & τ^{(N)} h_{3}^{(N)} \end{array}),$

столбцы которой составлены из компонент векторов (11), меньше 8. Следовательно, любой минор 8-го порядка этой матрицы равен нулю (считаем, что N≥8), откуда вытекает справедливость равенства

$|\begin{array}{l} 1 & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{6} & x_{7} \\ 1 & τ^{(i_{1})} & h_{1}^{(i_{1})} & h_{2}^{(i_{1})} & h_{3}^{(i_{1})} & τ^{(i_{1})} h_{1}^{(i_{1})} & τ^{(i_{1})} h_{2}^{(i_{1})} & τ^{(i_{1})} h_{3}^{(i_{1})} \\ 1 & τ^{(i_{2})} & h_{1}^{(i_{2})} & h_{2}^{(i_{2})} & h_{3}^{(i_{2})} & τ^{(i_{2})} h_{1}^{(i_{2})} & τ^{(i_{2})} h_{2}^{(i_{2})} & τ^{(i_{2})} h_{3}^{(i_{2})} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \dots \dots & \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \\ 1 & τ^{(i_{7})} & h_{1}^{(i_{7})} & h_{2}^{(i_{7})} & h_{3}^{(i_{7})} & τ^{(i_{7})} h_{1}^{(i_{7})} & τ^{(i_{7})} h_{2}^{(i_{7})} & τ^{(i_{7})} h_{3}^{(i_{7})} \end{array}| = 0,$ (12)

$1 < i_{1} < i_{2} < \dots < i_{7} \leq N,$ где $U_{i_{l}} (τ^{(i_{l})}, h_{1}^{(i_{l})}, h_{2}^{(i_{l})}, h_{3}^{(i_{l})}, τ^{(i_{l})} h_{1}^{(i_{l})}, τ^{(i_{l})} h_{2}^{(i_{l})}, τ^{(i_{l})} h_{3}^{(i_{l})})$ – аффинно независимые точки из набора точек (2), l = 1, 2,…, 7 (семь таких точек существуют в силу Леммы 1), а $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{7})$ – координаты любой из остальных (N – 7) точек набора (2). Равенство (12) равносильно равенству

$|\begin{array}{l} x_{1} - τ^{(i_{1})} & x_{2} - h_{1}^{(i_{1})} & x_{3} - h_{2}^{(i_{1})} & x_{4} - h_{3}^{(i_{1})} & x_{5} - τ^{(i_{1})} h_{1}^{(i_{1})} & x_{6} - τ^{(i_{1})} h_{2}^{(i_{1})} & x_{7} - τ^{(i_{1})} h_{3}^{(i_{1})} \\ τ^{(i_{2})} - τ^{(i_{1})} & h_{1}^{(i_{2})} - h_{1}^{(i_{1})} & h_{2}^{(i_{2})} - h_{2}^{(i_{1})} & h_{3}^{(i_{2})} - h_{3}^{(i_{1})} & τ^{(i_{2})} h_{1}^{(i_{2})} - τ^{(i_{1})} h_{1}^{(i_{1})} & τ^{(i_{2})} h_{2}^{(i_{2})} - τ^{(i_{1})} h_{2}^{(i_{1})} & τ^{(i_{2})} h_{3}^{(i_{2})} - τ^{(i_{1})} h_{3}^{(i_{1})} \\ \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots & \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ τ^{(i_{7})} - τ^{(i_{1})} & h_{1}^{(i_{7})} - h_{1}^{(i_{1})} & h_{2}^{(i_{7})} - h_{2}^{(i_{1})} & h_{3}^{(i_{7})} - h_{3}^{(i_{1})} & τ^{(i_{7})} h_{1}^{(i_{7})} - τ^{(i_{1})} h_{1}^{(i_{1})} & τ^{(i_{7})} h_{2}^{(i_{7})} - τ^{(i_{1})} h_{2}^{(i_{1})} & τ^{(i_{7})} h_{3}^{(i_{7})} - τ^{(i_{1})} h_{3}^{(i_{1})} \end{array}| = 0,$

которое представляет собой уравнение гиперплоскости, проходящей через аффинно независимые точки $U_{i_{1}}$ , $U_{i_{2}}$ , …, $U_{i_{7}}$ . Из вышесказанного следует, что этому уравнению удовлетворяют координаты любой из N точек набора (2), а это противоречит тому, что N точек (2) не лежат в одной гиперплоскости.

Таким образом, система векторов (11) линейно независима, а значит основная матрица каждой из трех систем уравнений (10) не вырождена. Следовательно, каждая из этих систем имеет решение, и притом только одно, что и требовалось доказать.

Введем следующие обозначения:

$A_{i} = \sum_{l = 1}^{N} B_{i}^{(l)},$ $C_{i} = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} B_{i}^{(l)},$ $i = 1,2,3;$ $G_{j} = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $H_{j} = \sum_{l = 1}^{N} h_{j}^{(l)},$ $L_{j} = \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} h_{j}^{(l)},$ $j = 1,2,3;$

$M_{k j} = M_{j k} = \sum_{l = 1}^{N} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $P_{k j} = P_{j k} = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $Q_{k j} = Q_{j k} = \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2} h_{k}^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $k, j = 1,2,3;$

$D_{i j} = \sum_{l = 1}^{N} B_{i}^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $F_{i j} = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} B_{i}^{(l)} h_{j}^{(l)},$ $i, j = 1,2,3;$ $R = \sum_{l = 1}^{N} {(τ^{(l)})}^{2},$ $T = \sum_{l = 1}^{N} τ^{(l)} .$

Тогда каждую из трех систем уравнений (10) можно записать в виде

$\{\begin{cases} N b_{i} + T θ_{i} + \sum_{k = 1}^{3} H_{k} s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} G_{k} t_{i k} = A_{i}, \\ T b_{i} + R θ_{i} + \sum_{k = 1}^{3} G_{k} s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} L_{k} t_{i k} = C_{i}, \\ H_{j} b_{i} + G_{j} θ_{i} + \sum_{k = 1}^{3} M_{k j} s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} P_{k j} t_{i k} = D_{i j}, j = 1,2,3, \\ G_{j} b_{i} + L_{j} θ_{i} + \sum_{k = 1}^{3} P_{k j} s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} Q_{k j} t_{i k} = F_{i j}, j = 1,2,3, \end{cases}$ (13)

i = 1, 2, 3. В каждой из трех систем (13) выразим из первых двух уравнений b_i и θ_i через s_i₁, s_i₂, s_i₃, t_i₁, t_i₂, t_i₃, затем исключим b_i и θ_i из остальных шести уравнений системы и умножим обе части каждого из последних шести уравнений на (T² – NR):

$\{\begin{cases} b_{i} = {(T^{2} - N R)}^{- 1} [T C_{i} - R A_{i} + \sum_{k = 1}^{3} (R H_{k} - T G_{k}) s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} (R G_{k} - T L_{k}) t_{i k}], \\ θ_{i} = {(T^{2} - N R)}^{- 1} [T A_{i} - N C_{i} + \sum_{k = 1}^{3} (N G_{k} - T H_{k}) s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} (N L_{k} - T G_{k}) t_{i k}], \end{cases}$ (14)

$\sum_{k = 1}^{3} α_{j, k} s_{i k} + \sum_{k = 1}^{3} β_{j, k} t_{i k} = γ_{j, i}, j = 1,2, \dots,6,$ (15)

i = 1, 2, 3, где коэффициенты при неизвестных и свободные члены определяются равенствами

$\begin{array}{l} α_{j, k} = (T^{2} - N R) M_{k j} + H_{j} (R H_{k} - T G_{k}) + G_{j} (N G_{k} - T H_{k}), \\ α_{j + 3, k} = (T^{2} - N R) P_{k j} + G_{j} (R H_{k} - T G_{k}) + L_{j} (N G_{k} - T H_{k}), \\ β_{j, k} = (T^{2} - N R) P_{k j} + H_{j} (R G_{k} - T L_{k}) + G_{j} (N L_{k} - T G_{k}), \\ β_{j + 3, k} = (T^{2} - N R) Q_{k j} + G_{j} (R G_{k} - T L_{k}) + L_{j} (N L_{k} - T G_{k}), \\ γ_{j, i} = (T^{2} - N R) D_{i j} + H_{j} (R A_{i} - T C_{i}) + G_{j} (N C_{i} - T A_{i}), \\ γ_{j + 3, i} = (T^{2} - N R) F_{i j} + G_{j} (R A_{i} - T C_{i}) + L_{j} (N C_{i} - T A_{i}), \end{array}$

i, j, k = 1, 2, 3.

Заметим, что хотя бы один из миноров третьего порядка, расположенных в первых трех столбцах основной матрицы,

$(\begin{array}{l} α_{11} & α_{12} & α_{13} & β_{11} & β_{12} & β_{13} \\ α_{21} & α_{22} & α_{23} & β_{21} & β_{22} & β_{23} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ α_{61} & α_{62} & α_{63} & β_{61} & β_{62} & β_{63} \end{array})$ (16)

каждой из трех систем уравнений (15), отличен от нуля. Действительно, в силу теоремы Лапласа, определитель матрицы (16) равен сумме произведений всех миноров третьего порядка, расположенных в первых трех столбцах этой матрицы, на их алгебраические дополнения, и если бы все указанные миноры равнялись нулю, то нулю равнялся бы и определитель матрицы (16), что противоречило бы необходимому и достаточному условию существования единственного решения каждой из трех систем уравнений (15), а значит и каждой из трех систем уравнений (10).

Пусть j₁, j₂, j₃ (1 ≤ j₁ < j₂ < j₃ ≤ 6) – номера строк матрицы (16), на пересечении которых с первыми тремя столбцами этой матрицы расположен отличный от нуля минор третьего порядка. Поменяем местами уравнения каждой из трех систем (15) так, чтобы уравнения с номерами j₁, j₂, j₃ оказались соответственно первым, вторым и третьим. Номера уравнений, оказавшихся при этом на четвертом, пятом и шестом местах, обозначим соответственно через j₄, j₅, j₆. Введем также следующие обозначения:

$Ω_{11} = {(α_{j_{n}, k})}_{n, k = 1}^{3}, Ω_{12} = {(β_{j_{n}, k})}_{n, k = 1}^{3}, Ω_{21} = {(α_{j_{n + 3}, k})}_{n, k = 1}^{3}, Ω_{22} = {(β_{j_{n + 3}, k})}_{n, k = 1}^{3},$

$Γ_{1 i} = {(γ_{j_{1}, i}, γ_{j_{2}, i}, γ_{j_{3}, i})}^{T}, Γ_{2 i} = {(γ_{j_{4}, i}, γ_{j_{5}, i}, γ_{j_{6}, i})}^{T},$

i = 1, 2, 3. Тогда расширенная матрица системы, полученной из i-й системы (15) в результате указанной выше перестановки уравнений, примет вид

$(\begin{array}{l} Ω_{11} & Ω_{12} \\ Ω_{21} & Ω_{22} \end{array}| \begin{array}{l} Γ_{1 i} \\ Γ_{2 i} \end{array}),$ (17)

i = 1, 2, 3. При этом Ω₁₁ – невырожденная матрица в силу ее определения и условия выбора номеров j₁, j₂, j₃ строк матрицы (16). Из второй строки i-й блочной матрицы (17) вычтем ее первую строку, умноженную слева на $Ω_{21} Ω_{11}^{- 1}$ :

$(\begin{array}{l} Ω_{11} & Ω_{12} \\ O & Ω_{22} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Ω_{12} \end{array}| \begin{array}{l} Γ_{1 i} \\ Γ_{2 i} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Γ_{1 i} \end{array}),$ (18)

i = 1, 2, 3, где O – нулевая квадратная матрица третьего порядка. Полученная матрица (18) эквивалентна матрице (17) [21]. Для каждого i = 1, 2, 3 последние три уравнения системы, соответствующей расширенной матрице (18), образуют систему, матричная запись которой выглядит следующим образом:

$(Ω_{22} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Ω_{12}) Λ_{i} = Γ_{2 i} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Γ_{1 i},$ (19)

где Λ_i = (t_i₁, t_i₂, t_i₃)^T, i = 1, 2, 3.

Заметим, что основная матрица $(Ω_{22} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Ω_{12})$ каждой из трех систем уравнений (19) не вырождена, так как в противном случае нарушалось бы необходимое и достаточное условие существования единственного решения каждой из трех систем (19), а значит и каждой из трех систем (15) и, следовательно, каждой из трех систем (10).

Значения неизвестных t_i₁, t_i₂, t_i₃ для каждого i = 1, 2, 3 находим из системы уравнений (19) по формулам Крамера

$t_{i k} = \frac{Δ_{i, k}}{Δ}, i, k = 1,2,3,$ (20)

где

$Δ = \det (Ω_{22} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Ω_{12}),$

а каждый из определителей Δ_i_,k получаем из определителя Δ заменой его k-го столбца на столбец свободных членов

$Γ_{2 i} - Ω_{21} Ω_{11}^{- 1} Γ_{1 i},$

i, k = 1, 2, 3.

Подставляя для каждого i = 1, 2, 3 в первые три уравнения системы, соответствующей расширенной матрице (18), вместо t_i₁, t_i₂, t_i₃ значения этих неизвестных, вычисленные по формулам (20), получим систему трех уравнений относительно трех неизвестных s_i₁, s_i₂, s_i₃, матричная запись которой имеет вид

$Ω_{11} Σ_{i} = Γ_{1 i} - Ω_{12} {\tilde{Λ}}_{i},$ (21)

где ${\tilde{Λ}}_{i}$ – вектор-столбец решений системы уравнений (19), Σ_i = (s_i₁, s_i₂, s_i₃)^T, i = 1, 2, 3. Значения неизвестных s_i₁, s_i₂, s_i₃ для каждого i = 1, 2, 3 находим из системы уравнений (21) по формулам Крамера

$s_{i k} = \frac{{\tilde{Δ}}_{i, k}}{\tilde{Δ}}, i, k = 1,2,3,$

где

$\tilde{Δ} = \det (Ω_{11}),$

а каждый из определителей ${\tilde{Δ}}_{i, k}$ получаем из определителя $\tilde{Δ}$ заменой его k-го столбца на столбец свободных членов

$Γ_{1 i} - Ω_{12} {\tilde{Λ}}_{i},$

i, k = 1, 2, 3.

После нахождения значений неизвестных t_i₁, t_i₂, t_i₃, s_i₁, s_i₂, s_i₃ находим значения неизвестных b_i и θ_i по формулам (14), i = 1, 2, 3.

Докажем, что найденная стационарная точка функции Φ, определенной равенством (8), т. е. решение системы уравнений (9), полученное изложенным выше способом, доставляет минимум функции Φ. Выведем выражение второго дифференциала d²Φ функции Φ:

$d^{2} Φ = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} \sum_{m = 1}^{3} [\frac{\partial^{2} Φ}{\partial s_{ij} \partial s_{km}} {ds}_{ij} {ds}_{km} + 2 \frac{\partial^{2} Φ}{\partial s_{ij} \partial t_{km}} {ds}_{ij} {dt}_{km} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t_{ij} \partial t_{km}} {dt}_{ij} {dt}_{km}] +$

$+ \sum_{i = 1}^{3} \sum_{m = 1}^{3} [2 \frac{\partial^{2} Φ}{\partial b_{i} \partial θ_{m}} {db}_{i} d θ_{m} +$ $\frac{\partial^{2} Φ}{\partial b_{i} \partial b_{m}} {db}_{i} {db}_{m} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial θ_{i} \partial θ_{m}} d θ_{i} d θ_{m}] +$

$+ 2 \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} [\frac{\partial^{2} Φ}{\partial s_{ij} \partial b_{k}} {ds}_{ij} {db}_{k} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial s_{ij} \partial θ_{k}} {ds}_{ij} d θ_{k} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t_{ij} \partial b_{k}} {dt}_{ij} {db}_{k} + \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t_{ij} \partial θ_{k}} {dt}_{ij} d θ_{k}] =$

$= 2 \{\sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{m = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{N} [h_{j}^{(l)} h_{m}^{(l)} {Δs}_{ij} {Δs}_{im} + 2 τ^{(l)} h_{j}^{(l)} h_{m}^{(l)} {Δs}_{ij} {Δt}_{im} + {(τ^{(l)})}^{2} h_{j}^{(l)} h_{m}^{(l)} {Δt}_{ij} {Δt}_{im}] +$

$\sum_{i = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{N} [2 τ^{(l)} Δ b_{i} Δ θ_{i} + {(Δ b_{i})}^{2} + {(τ^{(l)})}^{2} {(Δ θ_{i})}^{2}] +$

$+ 2 \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{N} [h_{j}^{(l)} {Δs}_{ij} {Δb}_{i} + τ^{(l)} h_{j}^{(l)} {Δs}_{ij} {Δθ}_{i} + τ^{(l)} h_{j}^{(l)} {Δt}_{ij} {Δb}_{i} + {(τ^{(l)})}^{2} h_{j}^{(l)} {Δt}_{ij} {Δθ}_{i}]\} =$

$= 2 \sum_{i = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{N} {\{Δ b_{i} + τ^{(l)} Δ θ_{i} + \sum_{j = 1}^{3} h_{j}^{(l)} {Δs}_{ij} + \sum_{j = 1}^{3} τ^{(l)} h_{j}^{(l)} {Δt}_{ij}\}}^{2} ,$

где Δs_ij = ds_ij, Δt_ij = dt_ij (i, j = 1, 2, 3), Δb_i = db_i, Δθ_i = dθ_i (i = 1, 2, 3). Из полученного выражения для d²Φ следует, что при условии неравенства нулю хотя бы одного из слагаемых

${\{Δ b_{i} + τ^{(l)} Δ θ_{i} + \sum_{j = 1}^{3} h_{j}^{(l)} {Δs}_{ij} + \sum_{j = 1}^{3} τ^{(l)} h_{j}^{(l)} {Δt}_{ij}\}}^{2} (i = 1, 2, 3, l = 1, \dots, N)$

В последней двойной сумме (с физической точки зрения это вполне естественно) имеет место неравенство d²Φ>0 в любой точке, а значит, и в найденной стационарной точке функции Φ. Следовательно, полученное решение системы уравнений (9) действительно доставляет минимум функции Φ [19].

Заключение

Итак, мы получили аналитическое решение задачи калибровки магнитометра космического аппарата для модели, учитывающей вектор температурной зависимости смещений нуля для каждой из измерительных осей блока магнитометра и матрицу линейной температурной зависимости каждого из членов матрицы чувствительности, масштабирующей сигнал на основе реальной чувствительности каждой оси и включающей линейные внеосевые эффекты.

Процедура вычисления калибровочных параметров БМ по выведенным формулам обладает следующими очевидными преимуществами по сравнению с численными методами решения этой задачи:

существенно уменьшается число арифметических операций;
исчезает проблема возможной неустойчивости метода.

Об авторах

Кирилл Анатольевич Кириллов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: kkirillow@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-3763-1303

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Светлана Владимировна Кириллова

Сибирский федеральный университет

Email: svkirillova2009@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-3779-2825

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и анализа данных

Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Денис Олегович Мелентьев

Сибирский федеральный университет; Акционерное общество «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва»

Email: denes.2000@mail.ru
ORCID iD: 0009-0009-6187-4098

аспирант, Сибирский федеральный университет; инженер, АО «РЕШЕТНЁВ»

Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79; 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

Геннадий Павлович Титов

Акционерное общество «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва»

Email: titov@iss-reshetnev.ru
ORCID iD: 0009-0009-1223-9434

ведущий специалист

Россия, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

Артем Александрович Гашин

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: artem.gashin@gmail.com
ORCID iD: 0009-0000-7062-6285

аспирант кафедры прикладной математики

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский Рабочий», 31

Список литературы

Belsten N., Knapp M., Masterson R., Payne C., Ammons K., Lind F.D., Cahoy K. Verification and calibration of a commercial anisotropic magnetoresistive magnetometer by multivariate non-linear regression // Geoscientific Instrumentation, Methods and Data Systems. 2023. Vol. 12, No. 2, P. 201–213. doi: 10.5194/gi-12-201-2023.
Chen M., Liu K., Hu X., Li Y., Hao X., Pan Z. Ground calibration of the Mars orbiter magnetometer onboard Tianwen-1 // Earth and Planetary Physics. 2023. Vol. 7, No. 3. P. 371–377. doi: 10.26464/epp2023004.
Cheng S., Wang G., Zhang T., Pan Z., Meng L., Yi Z. An optimal method for in-flight calibration of the fluxgate magnetometer when the total magnetic field of alfvén waves has a drift trend // Acta Geophysica Sinica. 2022. Vol. 65, No. 5. P. 1558–1570. doi: 10.6038/cjg2022P0362.
Crassidis J. L., Cheng Ya. Three-axis magnetometer calibration using total least squares // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2021. Vol. 44, No. 8. P. 1410–1424. doi: 10.2514/1.g005305.
Huang Yu., Wu L., Wang Ya., Xu Y. Scalar calibration of total instrument errors of tri-axial magnetometer using constrained optimization independent of magnetic field intensity // IEEE Sensors Journal. 2024. Vol. 24, No. 9. P. 14352–14360. doi: 10.1109/jsen.2024.3370624.
Kim Ji. H., Lee Ch. Ju., Lee Ju. K. Effects of outlier elimination in magnetometer calibration data on the performance of ellipsoid fitting-based calibration // Journal of Institute of Control, Robotics and Systems. 2024. Vol. 30, No. 12. P. 1373–1379. doi: 10.5302/j.icros.2024.24.0209.
Kinatas H., Hajiyev Ch. Triad-Aided Multiplicative EKF for Small Satellite Attitude Estimation and Magnetometer Calibration // IEEE Sensors Journal. 2023. Vol. 23, No. 22. P. 27161–27168. doi: 10.1109/jsen.2023.3317969.
Liu J., Yan Y., Yan Sh., Li X. A hybrid calibration method for a three-axis magnetometer in limited-range attitudes // IEEE Sensors Journal. 2022. Vol. 22, No. 1. P. 203–210. doi: 10.1109/jsen.2021.3123728.
Integrated calibration of strap-down geomagnetic vector measurement system / H. Pang, Ch. Wan, Sh. Mou et al. // IEEE Sensors Journal. 2022. Vol. 22, No. 11. P. 10476–10484. doi: 10.1109/jsen.2022.3171325.
Particle swarm optimization for magnetometer calibration with rotation axis fitting using in-orbit data / B. A. Riwanto, P. Niemela, M. R. Mughal et al. // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2022. Vol. 58, No. 2. P. 1211–1223. doi: 10.1109/TAES.2021.3122514.
Soken H. E. A survey of calibration algorithms for small satellite magnetometers // Measurement. 2018. Vol. 122. P. 417–423. doi: 10.1016/j.measurement.2017.10.017.
Song H., Park Ja., Lee Ja. Magnetometer calibration based on the Chaos-7 model // Journal of Astronomy and Space Science. 2021. Vol. 38, No. 3. P. 157–164. doi: 10.5140/jass.2021.38.3.157.
Wang Y., Yu X., Zong Q., Xiao Ch., Liu Si., Chen H., Zou H., Shi W. In-flight vector magnetometer calibration for FY-3E satellite // Science China Technological Sciences. 2023. Vol. 66, No. 6. P. 1867–1868. doi: 10.1007/s11431-022-2338-1.
Withanage D. Ch., Teramoto M., Cho M. On-orbit magnetometer data calibration using genetic algorithm and interchangeability of the calibration parameters // Applied Sciences (Switzerland). 2023. Vol. 13, No. 11. P. 6742. doi: 10.3390/app13116742.
Attitude-independent magnetometer calibration based on adaptive filtering / W. Zeng, Q. Bian, Ju. Gao et al. // IEEE Sensors Journal. 2022. Vol. 22, No. 1. P. 195–202. doi: 10.1109/jsen.2021. 3114347.
Калибровка магнитометра космического аппарата «Декарт» в полёте / П. Е. Розин, А. В. Симонов, Е. С. Гордиенко, Ю. К. Зайко // Труды МАИ. 2022. № 124. Doi: 10.34759/ trd-2022-124-19.
Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М. : Ленанд, 2021. 672 с.
Зоркальцев В. И. Метод наименьших квадратов: геометрические свойства, альтернативные подходы, приложения. Новосибирск : Наука, 1995. 220 с.
Цирлин А. М. Методы оптимизации для инженеров. Москва, Берлин : Директ-Медиа, 2015. 214 с.
Horn R. A., Johnson C.R. Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press, 2012, 643 p.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Физматлит, 2004. 560 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация