Hermite bicubic collocation method in domain with curvilinear boundary

Толық мәтін

Широкое применение метода конечных элементов при решении дифференциальных уравнений с частными производными не уменьшает необходимости создания и использования новых методов, которые при более простом алгоритме реализации позволяют получить приемлемые решения с повышенной точностью. Метод коллокации успешно применялся для численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и уравнений с частными производными [2], в том числе для эллиптических уравнений второго порядка [3]. В них приближенное решение ищется в пространстве кусочноквадратичных функций на сетках с прямоугольными 73 Вестник СибГАУ. 2014. N 3(55) или треугольными ячейками. В работах [4; 5] рассматривается метод коллокации и наименьших квадратов. В работе [6] метод рассматривается в областях общего вида. Метод коллокации с бикубическим эрмитовым базисом имеет некоторые преимущества. Так, по сравнению с методом конечных элементов Галеркина не требуется вычислять интегралы для определения коэффициентов матрицы. Для общего линейного эллиптического оператора с достаточно гладкими коэффициентами и граничными условиями Дирихле, эрмитова коллокация обеспечивает точность O(h4) в норме Ь2, где h - шаг сетки. Эрмитовы элементы более эффективны по сравнению с лагранжевыми элементами, так как размерность систем алгебраических уравнений оказывается меньше при одинаковом порядке аппроксимации [7]. При фиксированном значении одной из переменных бикубическая эрмитова функция и ее первая производная по этой переменной превращаются в одномерные эрмитовы кубические функции относительно другой переменной [8], это дает 16 степеней свободы в каждом прямоугольнике. Стандартный базис в одномерном случае состоит из функций двух типов, интерполирующих значения функции и ее производных соответственно на отрезке [xj, xj: Ф і = 1 в узле x = Xj J ^0 вдругихузлах ; vl = 0 вовсех узлах; dф j dvl | 1 вузле x = xt ; -- = 0 вовсехузлах;-- = dx dx 10 вдругихузлах. (1) На эти функции натянуты все кусочно-кубические функции класса С1. Эрмитово бикубическое пространство есть произведение двух эрмитовых кубических пространств, и четыре параметра в обычных узлах z = (xj,yi) приводят к четырем соответствующим базисным функциям: Ф1 = Ф j (xM(y), Ф2 = Ф j (x) Vl (y), Ф3 = V j (x^i (y), Ф4 = V j (x)Vl (y). (2) Бикубические элементы (конечные элементы с базисом из бикубических эрмитовых элементов) применяются только на прямоугольниках (или, после простого линейного преобразования плоскости, на параллелограммах). На прямоугольной области эрмитов бикубический элемент - один из самых лучших. Его гладкость непосредственно следует из гладкости базиса. Поэтому бикубические элементы можно использовать для уравнений четвертого порядка, пробные функции будут принадлежать И2. Эрмитово пространство Sh состоит из всех непрерывных кусочнобикубических функций v, у которых vx, vy, vxy непрерывны [9]. Рассмотрим первую краевую задачу для эллиптического уравнения в области Q: Lu = f, x є Q, - (3) u(x) = 0, x є dQ, где Q = {(x,y) | x2 + y2 < 1; x > 0;y > 0}; dQ - граница; L - линейный эллиптический оператор второго поТ ( d рядка Lu = - - Р [dx2 dy2 На примере решения этой задачи рассмотрим алгоритм метода коллокации. Суть метода заключается в том, что приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций, а неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокации и краевых условий. Уравнения коллокаций представляют собой требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокации), в которой ставится данная задача. Для получения краевых условий соответствующие условия задачи записываются в нескольких точках на границе области. Для аппроксимации решения покроем область согласованной с границей сеткой с прямоугольными ячейками: 1 • ni ■ nj 1 0, N, i = 0 I wh = i xi = sin-, y} = sin-, j=i- - \. (4) I 2N 2N І0, N - i + L i = 1, NI При этом ячейки сетки делятся на внутренние (регулярные), которые не содержат границы области, и граничные (нерегулярные). Сетка согласуется с границей так, чтобы два узла в нерегулярных ячейках лежали на криволинейной границе. Это позволяет уменьшить общее количество базисных функций в области. Общее число ячеек на такой сетке равно N = N ( N +1) el 2 . В качестве базисных функций в каждой ячейке задаются бикубические многочлены Эрмита с 16 степенями свободы. В области [-1,1] *[-1,1] они определяются следующим образом [10]: Фі ( zi) =1, Фі ( zj) = 0i * j; dФ xi ( zi ) dx ^ yi ( zi) dy = 1. = 1. xi( zj ) dx ^ yi ( zj ) = 0, i * j; dy d>xyi (zi ) = , d2Фxyi (zj ) dxdy = 1, y j' = 0,i * j; = 0, i * j dФ xyi( zj ) = 0 дфxyf.^і. dx ’ dy dxdy = 0, i, j = 1,2,3,4. Для каждой ячейки точки коллокации берутся f -> Л w л 2 x - xi - xi-1 в нулях полинома Лежандра P2 - -- чтобы xi-\ y достичь наибольшей возможной точности [11]: £x = x +-h ■ £ у = y +-h m = 12 Si,m лє,і - 6 x,i ? ^j,m Jc,]- 6 У,і j j 74 Математика, механика, информатика где х„,- = x + x, ni y = У} + y’ Ус, І Кг = t - xi-1. 2 cJ 2 hy,j = У}-У}-1,г =1 -,k,j =1 --1- При этом для прямоугольной области верна оценка ||и - Mh|| < Ch4 |u||H4(Q) [12], где Hm (Q) обозначает пространство Соболева с нормой ( llHm (Q) Z 0<i+}<m дг+}v dxdy y/2 І2( Q) Оценки в других нормах даны в работе [13]. В каждой граничной ячейке добавляются по 3 точки коллокации равномерно на границе: •Di ,k+4 п f k = cos I-1 г +- 2 NI 4 п f k , k+4 = sin I-1 і +- },k+4 I 2N y 4 ;У (5) k = 1,2,3. nG uh ( x y) = S unф n( x, y X n=1 (6) где Фп - эрмитовы бикубические базисные функции; nG - число точек коллокации; Un - коэффициенты. Задача эрмитовой коллокации состоит в том, чтобы найти U є V, удовлетворяющее (1) в точках коллока-ции, т. е.: Luh (üXm, % Im ) = f fëm, %У,ш ) , fëm, % У,ш ) Є Q; uh (%X;m, % Im ) = 0, (m, % ^m ) Є SQ. (7) Решение задачи сводится к решению линейной системы Au = f, где элементы матрицы ( ^Ф j ( Хг, Уг ) , ( Xi, Уг )єQ (фj (xi, Уг ), (xi, yi )^Q [f ( x,, Уі ), ( x,, Уі ^q 0, (xi, Уг )^Q . Для исследования порядка сходимости приближенного решения U(x,y) к точному проведены расчеты на последовательности сеток при h^-0. В табл. 1 приведены результаты численных экспериментов с решением A [i, j j" вектор правой части f [i] = При такой расстановке общее число точек коллокации совпадает с общим числом базисных функций с учетом граничных условий и равно N^ = 2N2 + 5N . На рис. 1 изображена построенная сетка с точками коллокации. Узлы сетки обозначены жирными точками, точки коллокации - крестами. ( (x, y ) = sin (1 - x2 - y2 ) xy, (8) которое удовлетворяет уравнению Пуассона (3) с правой частью f ( x, y ) = 4xy(3 cos(1 - x2 - y2) - ( x2 + y2) sin(l - x2 - y2 y. Значения погрешности в норме L2 Таблица 1 N Nel hmax Sh = u - uh S2h ! Sh 1og2(S2h / Sh) 3 6 33 0,5 4,93 x 10-4 6 21 102 0,2588 2,25 x 10-5 21,9 4,45 12 78 348 0,1305 1,18 x 10-6 19,1 4,25 24 300 1272 0,0654 6,32 x 10-8 18,7 4,22 48 1176 4848 0,0327 3,53 x 10-9 17,9 4,16 Численные эксперименты с другими функциями, удовлетворяющими граничным условиям, свидетельствуют о том, что порядок сходимости приближенного решения к точному при h^-0 здесь не хуже 4. Порядок сходимости а вычисляется методом наимень- " Ml < Ch, " " ших квадратов из u - u l|L2 u\\h4(Q) , где hmax Рис. 1. Согласованная сетка и точки коллокации Построенный метод коллокации аппроксимирует неизвестную функцию u функцией U в пространстве конечномерных функций V. В построенном базисе эрмитовых бикубических функций функция U равна: максимальный линейный шаг по всем ячейкам сетки (табл. 2, рис. 2). Таблица 2 Порядок сходимости для различных функций Функция Порядок сходимости а u1 = sin (1 - x2 - y2 ) xy 4,2779 u2 = (1 - x2 - y2 ) sin ( nx) sin ( ny ) 4,2169 u3 = ((1 - x2 - У2 ) x)) 4,4270 u4 = (1 - x2 - y2 ) sin ( xy ) 4,3803 (1-x2 - y2 ) xy , u5 = e ' -1 4,3953 75 Вестник СибГАУ. 2014. N 3(55) Рис. 2. Распределение ошибки при разбиении на 10 ячеек Результаты численных экспериментов показывают, что данный алгоритм обладает сходимостью повышенного порядка. Согласование узлов ячеек расчетной области с областью определения задачи позволяет увеличить теоретический порядок сходимости метода и уменьшить размерность пространства базисных функций. При этом по сравнению с методами Галеркина и Ритца метод коллокации более прост в реализации, так как нет скалярных произведений, а значит, не нужно интегрировать. Вместе с этим эффективно используются бикубические эрмитовы базисные функции, так как по сравнению с лагранже-выми они показывают больший порядок аппроксимации.

Авторлар туралы

Vitaliy Kireev

Siberian Federal University

Email: kireevvit@gmail.com
postgraduate student, Institute of Mathematics and fundamental informatics

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар