Зависимость свойств регрессионной оценки плотности вероятности от особенностей методики её синтеза

Полный текст

Непараметрические оценки плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена широко используются при синтезе алгоритмов обработки информации и принятии решений в условиях априорной неопределённости [1-11]. Однако их вычислительная эффективность во многом определяется объёмом статистических данных и снижается по мере его увеличения. В данных условиях целесообразно использовать принципы декомпозиции исходных статистических данных по их объёму и технологию параллельных вычислений. С этих позиций предложена и исследована смесь непараметрических оценок плотностей вероят ности для одномерных и многомерных случайных величин [4; 12; 13]. Перспективное направление решения проблем больших выборок связано с декомпозицией исходных статистических данных и последующим анализом вероятностных характеристик получаемых множеств случайных величин [14; 15]. Пусть имеется выборка V = (x', i = 1, n) из n независимых значений одномерной случайной величины x с неизвестной плотностью вероятности p(x). Разобьем область определения p(x) на N непересекающихся * Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки РФ (СибГАУ № Б121/14). 4 Вестник СибГАУ. № 1(53). 2014 интервалов длиной 2р и сформируем множества случайных величин XJ, j = 1, N . В качестве характеристик XJ примем частоту PJ попадания случайной величины x в j-й интервал и его центр zJ. На основе полученной информации определим массив данных V = (zj, PJ /(2Р), j = 1, N), составленный из центров z j введенных интервалов и соответствующих им значений оценок плотности вероятности. Объём N полученных данных V1 может быть значительно меньше объёма n исходной статистической информации V. В качестве приближения по эмпирическим данным VI искомой плотности вероятности p(x) примем статистику [15] p (x) = c 1 ^ PJ Ф j=1 (1) в которой ядерные функции Ф(u) являются положительными, симметричными и нормированными [16]. Коэффициенты размытости c ядерных функций характеризуют область их определения. В работе исследуется зависимость аппроксимаци-онных свойств регрессионной оценки плотности вероятности (1) от известных методов дискретизации области изменения значений случайной величины. Выбор оптимального количества интервалов дискретизации области значений случайной величины. В работе [17] исследованы свойства среднеквадратического отклонения M \(Р (x)- p(x ))2 dx W2 (N ) = (lNu)f) Ip(2)(x)|| 2 N4 (2) N2 \V5 где N = VAI |p(x Я2 (3) которая определяется видом восстанавливаемой плотности вероятности, значением A и объёмом n исходных статистических данных. Полученная закономерность является объективной, так как не зависит от вида ядерных функций оценки плотности вероятности (1). Исследование аппроксимационной регрессионной оценки плотности вероятности. Будем восстанавливать плотность вероятности случайной величины с нормальным законом распределения p (x exp i^r Для выбора количества интервалов дискретизации области изменения значений случайной величины используется выражение (3), а также следующие формулы: - Хайнкольда и Гаеде N = sfn; (4) - Брукса и Каррузера N = 5 lg n ; (5) - Старджесса N = log2 n +1. (6) Синтез непараметрической оценки плотности вероятности (1) осуществлялся на основе ядерных функций В. А. Епанечникова [16] 3 3 u2 V 4л/5 20^ 0 V В данных условиях выражение (2) запишется в виде |u| <л/5, \u\ > л/5 . оценки p (x) (1) от восстанавливаемой плотности вероятности p(x) при больших объёмах исходных статистических данных, где M - знак математического ожидания. При оптимальных значениях коэффициентов размытости получено его асимптотическое выражение 1 ~5( N 2 2sfn (All p(x Ml2) +да +да Ф^ )|| = |Ф2 (u )du , ||p (x )|| =| p2 (x) dx, -да -да о -> l|p(2) (x) = I (p(2) (x))dx; A - длина интервала изменения значений случайной величины. Из условия минимума асимптотического выражения среднеквадратического отклонения p (x) от p(x) получена процедура оптимального выбора количества интервалов дискретизации [17; 18] 15 N4 При увеличении объёма n исходных статистических данных применение исследуемых методов дискретизации интервала изменения значений случайной величины приводит к уменьшению значений W2 (см. рисунок). Наблюдаемое улучшение аппроксима-ционных свойств p (x) объясняется увеличением объёма N массива данных V1 , используемого при построении регрессионной оценки плотности вероятности (см. таблицу). Данный факт согласуется с условиями её асимптотической сходимости [15]. Зависимость количества интервалов N от значений n и используемых формул дискретизации n Формулы дискретизации (3) (4) (5) (6) 50 9 7 8 7 100 13 10 10 8 150 16 12 11 8 200 18 14 12 9 250 21 16 12 9 300 23 17 12 9 5 Математика, механика, информатика Окончание таблицы n Формулы дискретизации (3) (4) (5) (6) 350 24 19 13 9 400 26 20 13 10 450 28 21 13 10 500 29 22 13 10 Применение формулы (3) при выборе количества N интервалов дискретизации является более предпочтительным по сравнению с другими, так как она получена на основе минимизации асимптотического выражения среднеквадратического отклонения (2). Зависимости W2 от объёма n исходных данных при использовании формул (3), (4) являются близкими. Им свойственны сопоставимые значения количества N интервалов дискретизации области изменения случайной величины (см. таблицу). При малых n < 100 количество N интервалов дискретизации, которые определяются формулами (3)-(6), и соответствующие им значения W2 отличаются незначительно. При восстановлении плотности вероятности с нормальным законом распределения целесообразно использовать формулы (3), (4). Менее предпочтительными являются формулы (5), (6). Полученные выводы согласуются с результатами исследований асимптотических свойств регрессионной оценки плотности вероятности. Зависимость среднеквадратического отклонения W2 (N) от объёма n значений случайной величины с нормальным законом распределения: кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют значениям N, вычисленным по формулам (3)-(6)

Об авторах

Дмитрий Владимирович Борисов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: dimbo2007@yandex.ru
студент

Александр Васильевич Лапко

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российская академия наук; Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: lapko@icm.krasn.ru
доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук; профессор кафедры космических средств и технологий, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева.

Василий Александрович Лапко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева; Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

Email: valapko@yandex.ru
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой космических средств и технологий, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева; ведущий научный сотрудник, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

Список литературы

Дополнительные файлы