Моделирование и оптимизация технологических систем с распределенными параметрами

Полный текст

Введение. На нефтеперерабатывающих заводах ведется переработка нефти в бензин, керосин, мазут, смазочные масла, сырье для нефтехимии и т. д. Переработка осуществляется в технологических установках для первичной переработки, каталитического ри-форминга, каталитического крекинга и т. д. Основными аппаратами установок являются трубчатые печи, ректификационные колонны и др. Основу работы этих аппаратов составляют процессы теплообмена, массообмена и гидродинамики взаимодействующих потоков. Анализ процессов и проектирование эффективных режимов рассматриваемых объектов химической технологии с целью создания автоматизированных систем контроля и управления является важнейшей проблемой современного производства. Математические методы и вычислительные средства позволяют осуществить процесс моделирования и оптимизации сложных технологических установок, включающих технологические печи, ректификационные колонны и др. Для описания таких процессов всей установки возможна математическая модель всей цепочки. На рис. 1 приведена принципиальная схема подобной установки. Опыт исследования отдельных аппаратов уже накоплен достаточный, и возможен подход к исследованию установки в целом. В работе исследуемые объекты химической технологии рассматриваются как объекты с распределенными параметрами, для описания которых применяется математический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. Для анализа статических и динамических режимов и решения задач оптимального управления формулируются соответствующие краевые задачи. Ректификационная установка состоит из технологической печи и ректификационных колонн. Трубчатые печи разных конструкций широко распростране ны в нефтегазоперерабатывающей, нефтехимической и других отраслях промышленности, являются составной частью многих установок и применяются в различных технологических процессах (перегонка нефти и мазута, пиролиз, каталитический крекинг, очистка масел и др.). В печи сырье нагревается до требуемой температуры и подается в среднюю часть колонны для разделения смеси на компоненты. Трубчатая печь имеет камеры радиации и конвекции (рис. 1). В камере радиации (топочной камере), где сжигается топливо, размещена радиантная поверхность (экран), поглощающая лучистое тепло в основном за счет радиации. В камере конвекции расположены конвекционные трубы, воспринимающие тепло, главным образом, при соприкосновении дымовых газов с поверхностью нагрева труб конвекции. Уравнения процессов в технологической печи. При исследовании процесса горения капель жидкого топлива в воздухе в основном представляет интерес распределение концентраций компонентов, плотности, температуры сырья, температуры и скорости дымовых газов в печи при статических и динамических режимах работы. Исходя из одномерности движения потока, математическая модель нестационарного горения может быть представлена следующими уравнениями [1]: 1. Уравнение неразрывности dp + d(pu )=0 dt dl ’ (1) где р - массовая плотность смеси, u - скорость движения смеси. Для покомпонентной модели процесса горения уравнение (1) можно записать в виде d(px ) d(pxu )= px dt dl t , (2) 56 Математика, механика, информатика где I - линейный размер; х - концентрация горючего вещества в смеси (0< х <1); т - время сгорания. 2. Уравнение движения в виде ґ du du Л dP ^ p І - + u- 1+- = 0, 1 dt dl ) dl где P - давление. 3. Уравнение сохранения энергии T і dS + dS Л = px njT , + pTn lsT+)=Tq n(Tn)+ +K1 (Tc1 - Tn ) + K1 (tc2 - Tn ), (3) (4) где q - теплота сгорания топлива; ТП - температура дымовых газов; П(ТП) - потери на излучение; T1, т - температура нагреваемого сырья, движущегося в нижнем и верхнем направлении; К1 - коэффициент теплопередачи; S - энтропия, причем S = cv lnP (y = 1 - 1,4). PY 4. Уравнение теплообмена между нагреваемым сырьем, движущимся в низ и верх печи, и дымовыми газами можно записать в следующем виде: dT1 dT„ -- - w dt dt c1 = K- ( - Tc1 )- П(Тп ); dT 2 dt - + wdTc 2 d£ = K- (Tn - Tc2 )- Q(Tn ), (5) (6) К2 - коэффициент теплопередачи; w - скорость течения сырья. Для постановки краевой задачи необходимо задать неизвестные параметры в начальный момент времени и на границе объекта. a б Рис. 1. Схема ректификационной установки: а - технологическая печь; б - ректификационная колонна; 1 - камера радиации (топочная камера); 2 - камера конвекции; 3 - дымовая труба; 4 - конвекционные трубы; 5 - радиантные трубы; 6 - вход сырья; 7 - выход сырья; 8 - дымовые газы 57 Вестник СибГАУ. 2014. № 3(55) Начальные условия: p(f, 0) = p0, x(l, 0) = x0, u(l,0) = u 0 , Tn(1,0) = Tn0,Т1 (£,0) = T^,Tc2 (£,0) = T2. Граничные условия: p(0, t ) = a1, x(0, t ) = a 2, u (0, t ) = a 3, Tn (0, t) = a4, Т1 (L, t) = a5,Tc2 (0, t) = T (0, t) = < (7) (8) где L - длина печи. На базе системы (1)-(8) можно сформулировать и решить задачи оптимального управления с различными управляющими параметрами [2-6]. Расчет динамических режимов трубчатых печей. Рассмотрим следующую тепломассообменную задачу для процессов в трубчатой печи. Для этого приведем систему (1)-(6) к следующему виду: dp dp du - = -u--p-, dt dt dt dx _ dx x dt d£ т, du = du r dTn RTn dp dt d£ d£ p d£ ’ dTn T )T du dTn + -П = (1 - Y )ТП--u-П + dt ' n d£ d£ x n (, TC1,TC2) +-q----- + С t СvP +K1 (Tc1 - Tn ) + K1 (Tc2 - Tn ), (9) dT1 dT1 = w- + K- (Tn - ТС1 )dt d^ -n (Tn), t є [0,T], * є [0,L], dTc2 dTc2 = - w- +k2 (п - тс2 )dt d^ 2 ' П С ' -n (Tn ), t є [0, T], £ є[0Л] где L1 - точка вывода сырья из печи. Таким образом, сформулирована краевая задача (7)-(9). Здесь температура сырья T задается в точке I = L, так как сырье подается сверху в печь, и таким образом мы имеем противоточный технологический процесс. Кривые разгона на выходе печи получены при возмущении на ± 20 % с шагом 5 % на входе печи по температуре сырья и по температуре дымовых газов (рис. 2-5). Кривые переходных процессов для плотности, скорости, температуры потока дымовых газов и температуры сырья используются при решении задач локальной автоматики промышленных установок. Необходимые условия оптимальности в задаче управления объектами с рециркуляцией взаимодействующих потоков. Рассмотрим задачу оптимального управления расходом сырья F в ректификационной колонне. Рис. 2. Кривые разгона по плотности потока в зависимости от температуры потока (от 424 до 636 °С) Рис. 3. Кривые разгона по скорости потока дымовых газов в зависимости от температуры сырья (от 216 до 324 °С) Рис. 4. Кривые разгона по температуре дымовых газов в зависимости от температуры сырья (от 216 до 324 °С) 58 Математика, механика, информатика Щт- - = k (y - y*(x)) + F(')Фі Wxf, д(уУ)-^^l = k (y*(x) - y), 0 < t < T, 0 < £ < L. dt d£ ' ' Краевые условия: при I = 0 d ( H*x) (10) dt = L (0, t)x (0, t) - V (0, t)y (0, t) - Wxk (t), (11) y Z0, t) = a [y* (xk ) - xk (')] + xk ('), при 1 = L d ( H*dxd ) dt ■=Vd (' ) yd (' )- (Ld (' )+D (' )) )d )t ), Vdyd (t) - V (L, t) y (L, t) = Ldxd (t) - L (L, t) x (L, t), (12) yd (' ) = y (4 ' )+Ed [ y* (xd ) - x (L,t )]. Начальные условия: x (£,0) = x0 (I), y (£,0) = y0 (£), 0 < £ < 1 xd (0) = xdo, xk (0) = xko, 0 ^ a, Ed ^ 1 (13) ности в жидкости и паре; х^і - концентрация целевого продукта в дефлегматоре; хk - концентрация целевого продукта в кубе. Возмущающее воздействие по концентрации целевого продукта в сырье F? (рис. 6, а); y* - равновесная концентрация целевого продукта в паровой фазе; D, W - отбор целевого продукта вверху и внизу колонны; Ld - орошение. Величины потоков при этом удовлетворяют условиям W (t ) + D (t ) = F (t ), D (t ) + Ld ( t ) = V (1,t ), W (t) + V (0,t ) = L(0,t ), Vd (t ) = V (1,t ). (14) Рис. 5. Кривые разгона по температуре сырья в зависимости от температуры потока газов (от 424 до 636 °С) Для получения необходимых условий оптимальности (условий стационарности) используются методы классического вариационного исчисления [5-15]. Управления предполагаются кусочно-непрерывными, а соответствующие им решения - непрерывными и кусочно-гладкими. Здесь рассматривается следующая модель процесса [16]: Предполагается, что удерживающие способности Hx, Hy постоянны, V не зависит от I. Анализ условий (14) показывает, что только два из четырех потоков (W, D, L, V) являются независимыми. Выбор тех или иных двух независимых потоков в качестве управлений определяет соответствующие задачи. Эти задачи рассматриваются как задачи оптимального управления в классе кусочно-непрерывных управлений с критерием качества: Т L ? I = JJ(y L t)-e* (4/)) d£dt, (15) 0 0 где Є* - заданное значение концентрации целевого продукта. Потоки L, D фиксированы, а V, Vd, Ld исключаются согласно (14). Управление F выбирается в классе кусочно-непрерывных функций и принимает значение в промежутке F < F( t) < F . 1 mm - 1 W - 1 max* Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений (10)-(12), получаем следующую задачу. Рассматривается процесс ректификации, описываемый уравнениями 1 xt = H. yt = Hy (l+L)( 1 +Ü£x+k (y - y*) + Fxf Фх ]- X, x 'l = Ç«, (D + L)Z)2) + k (y* - y) 7 (16) = z)-) при краевых условиях x't- [)L+F)x-Vy-rnk > Xk, Hxk y=a[y* - xk ]+xk, £= 0 0 <t<T; x'dt ~ \_{D+L)yd -)L+D)xd >Xd, (17) £=L, 0<t<T, xd Здесь величина F(t) - поток сырья в жидкой фазе, подводимый в колонну и являющийся управлением; x (L, t), y (L, t) - концентрации целевого продукта в жидкой и паровой фазах; L(l,t) - поток жидкости, V(l, H) - поток пара; Нх, Hy - удерживающие способ (D+L)Ld - y)- L(d - x) = 0 yd - y - Ed (y* - y) = 0, при начальных условиях (13) и ограничениях на управления (F - Fmm )(Fmx - F)- u2 = 0, (18) где u - вспомогательное управление. 59 Вестник СибГАУ. 2014. N 3(55) Задача состоит в том, чтобы в множестве кусочнонепрерывных функций F, удовлетворяющих условию (18), найти такую, что соответствующее ей решение задачи (16)-(18), (13) дает минимум интегралу (15). Применяя известную процедуру вариационного исчисления, получаем необходимое условие оптимальности: bt - L + L Hx V С. _ k (/ ) П +-П = k Hy при I = 0, 0 < t < T dX k1) _ X k° dt H. 1) L_ (F - D ) + X ^(a -1 - a (y* )), xk X (1)(T )_ 0, X (1(L + F )-Ь (l + L )_ 0. V ( n 'ï _n_ H Hxky - XL2) _ 0; при t = T, 0 < I < L, Ь = 0, n = 0; при I = L, 0 < t < T <_ H^’-LXÏ', X <]>(T )_ 0, dt Hxd V -x(1)+ X(2V+X(3) _ 0, Hxd ґ X (2 )- Ь ^ X d H. L-xd H -L* - X{d}Ed (y*) _ 0, xd V Hy V - Xd3) (1 - Ed )_ 0; при 0 < t < T H _1 - Ь H fd2L dL* (1)Л -x + Ф х xF--Z 1 K3£3F х F dF X' (1) H -(xk - x )+ Y (Fmm + Fmax - 2 F )_ 0 xk yu _ 0, (19) (20) (21) (22) 3) далее полагаем F:”+1) = Fin) - aH; 4) предельные значения F(n+1) при n œ дают оптимальные управления. На рис. 6 приведены результаты расчетов по оптимальному управлению для промышленной колонны К-34 [17-20] установки сернокислотного алкилирова-ния изобутана бутиленами (разделяемая многокомпонентная смесь сведена к бинарной). Основные параметры: D = 27,06 кмоль/ч, W = 76,59 кмоль/ч, Ld = 45,21 кмоль/ч, Hxd = 50 кмоль, Hxk = 30 кмоль. где Ь, П, X(1)d, X(2)d, X(3)d, X(1)k, X(2)k - множители Лагранжа. Алгоритм решения задачи оптимального управления содержит следующие этапы: 1) задается начальное приближение управляющей функции F°(t); 2) решается система уравнений (10)-(13) и (19)-(21); Рис. 6. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре (б) и кубе (в) при управлении потоком сырья (г) Заключение. Приведенная математическая модель процесса горения в технологических печах и процессов разделения в ректификационных колоннах является основной для проектирования оптимальных режимов промышленных установок. Расчет статических и динамических характеристик управляемого процесса позволяет определить основные параметры оптимальных процессов управления. Без знания динамических характеристик невозможно управление технологическими процессами в реальных условиях. Возможность получения параметров нестационарных режимов позволяет в режиме реального времени с высокой степенью эффективности избавиться от а б в г 60 Математика, механика, информатика вредного влияния возмущений. Эффективность данного подхода проиллюстрирована на процессах тепломассообмена в промышленных объектах.

Об авторах

Николай Данилович Демиденко

СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН

Email: klvation@gmail.com
доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник

Людмила Владимировна Кулагина

Сибирский федеральный университет

Email: klvation@gmail.com
кандидат технических наук, доцент

Список литературы

Дополнительные файлы