Законы сохранения уравнений плоской теории упругости

Полный текст

Теория упругости (линейная) - это очень хорошо разработанный раздел механики сплошных сред. Развитые в ней методы позднее использовались при решении уравнений гидродинамики, теории пластичности и других дисциплин. Для уравнений теории упругости известны следующие законы сохранения: закон сохранения энергии, законы сохранения количества движения и момента импульса. В силу линейности уравнений, уравнения теории упругости допускают бесконечное количество законов сохранения. Некоторые из них используются в механике разрушения. Это инвариантные J-интегралы и Г-интегралы. В предлагаемой работе приведена бесконечная серия новых законов сохранения. Авторы надеются, что новые законы сохранения найдут применение при решении краевых задач теории упругости, особенно для тел конечных размеров. Решение таких задач является одной из наиболее актуальных проблем для уравнений теории упругости. Дадим необходимые определения. Пусть Fi (^ У, ^ ^ ux, vx, uy, vy, ... vyy ) = 0 i = 1 2 система двух дифференциальных уравнений второго порядка, x, y - независимые переменные, u, v - искомые функции, индексы внизу означают производные по соответствующим переменным. Определение. Назовем вектор (A, B) сохраняющимся током, а величину Ax + By = 0 законом сохранения, если Ax + By = Л^ + А 2 F2 = 0, (1) где Л i - некоторые дифференциальные операторы, по крайней мере, один из которых является нетривиальным. Более подробно построение законов сохранения описано в [1; 2] и цитируемой там литературе. Известны разные способы построения законов сохранения. Наиболее широко используется метод построения законов сохранения на основе нетеровских симметрий, допускаемых уравнением. Этот способ построения для уравнений пластичности изложен в [3]. В данной работе законы сохранения будут строиться исходя из соотношения (1). Этот способ наиболее прост и, самое главное, он позволяет строить такие законы сохранения, которые можно использовать для решения краевых задач [4]. Рассмотрим двумерные уравнения линейной стационарной теории упругости F1 =(Ь + 2Ц) uxx + (Ь + Ц) vxy + Vuyy = 0 F2 = Wxc + (Ь + V)uxy + (Ь + 2Ц)у = 0 где u, v - компоненты вектора деформации; Ь, ц -постоянные Ламе. Ищем сохраняющийся ток в виде A = а1 (Ь + 2ц ) ux + pVuy + yVvx + 51 (Ь + 2ц) vy, B = а 2ux + P2uy + y2vx + b\, (3) где ai, pi, Y, 5i - некоторые функции от x, y. Коэффициенты Ламе введены в коэффициенты компоненты А для удобства дальнейших выкладок. В силу (1) имеем а' ( Ь + 2ц) uxx + а1 ( Ь + 2ц) ux + PWy* + +px^y + тУ** + tVx + s1 (Ь + 2ц) + +§x (Ь + 2ц) vy + a^uxy + a2yux + P2uyy + +Pyuy + Ay + ryvx + S2vyy + S^vy = <^F\ + y'F2. Из соотношений (4) получаем (4) 80 Вестник СибГАУ. № 1(53). 2014 - (X + ц) а1 + S1 + у2 - 0, - ца1 + в2 - 0, - (X + ц) у1 + S1 + а2 - 0, - (X + ц) у1 + 62 - 0, (X + 2ц) ax + а 2у - 0, px + вУ - 0, ц?х + y2 - 0, sx + s2 - 0. (5) Из (5) следует - -Р: +(X + ц) Y1, P2 - ца' у2 - -Sj + (X + ц) а1, S2 - (X + 2ц) у1. Подставим эти соотношения в последние четыре уравнения (5). Имеем (X + 2ц) aX + (X + ц) Jly - Py - 0, цУг +(X + ц )аУ - sy - 0, (6) (8) ex + ца; - 0, sx +(X + 2ц) Yy - 0. (7) Дифференцируем первое уравнение (6) по x , а второе - по y , с учетом (7) получаем (X + 2ц) ^xx + (X + ц) llxy + ца^ - 0 ЦтXx +(X + ц )а!у +(X + 2ц Wyy - 0. Из (8) следует, что (а1, у1) - произвольное решение системы (2), а (р1, S1) восстанавливаются по формулам (7) и, в свою очередь, тоже являются решением уравнений (2). Последнее нетрудно проверить. Для этого достаточно продифференцировать первое уравнение (7) по x , а второе - по y и воспользоваться соотношениями (6). Известно, что любые решения уравнений (2) можно записать с помощью трех гармонических функций Ф0 Ф1 Ф2. Имеем 1 -ф1 -т~-г ( + уф2+ф0 ), 4 (1 - v) ^ ^ x x) -1-(гФ1 + уФ2 +Ф()) (1 - v)\ y у у УГ (9) у1 -Ф2 - vE где V - коэффициент Пуассона; X - - w (1 + v)(1 - 2v) E - модуль упругости при растяжении и сжатии. Задавая гармонические функции Ф0, Ф1, Ф2 и решая соответствующие уравнения (7), получим явный вид законов сохранения. В частности, если Ф1 - Ф2 - 0 , без труда получаем бесконечную серию законов сохранения: а1 -ФX, Y1 -ФУ, р1 - -цу1, S1 - (X + 2ц) а1, а2 - (X + 2ц) у1, р2 - ца1, у2 - - ца1, S2 - (X + 2ц) у1. В этом случае сохраняющийся ток имеет вид A - (а + 2ц) а1 (ux + Vy ) + цу1 (- ux + Vx ) , В - (а + 2ц) у1 (ux + Vy ) + ца1 (ux - Vx ) . Замечание 1. Аналогичным образом законы сохранения могут быть построены и в трехмерном случае. Замечание 2. Законы сохранения, построенные в работе, могут быть использованы для решения краевых задач, так же как в статьях [3; 4]. Это будет сделано в следующих статьях.

Об авторах

Сергей Иванович Сенашов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: sen@sibsau.ru
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных экономических систем

Елена Владимировна Филюшина

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: filyushina@sibsau.ru
ассистент кафедры информационных экономических систем

Список литературы

Дополнительные файлы