Conservation laws equations plane theory of elasticity
- Authors: Senashov S.I.1, Filyushina E.V.1
-
Affiliations:
- Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev
- Issue: Vol 15, No 1 (2014)
- Pages: 79-81
- Section: Articles
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/504092
- ID: 504092
Cite item
Full Text
Abstract
Today for a full study of differential equations in addition to defining the type of equations and the correct formulation of the boundary conditions, determine the existence and uniqueness of solutions it is necessary to know the symmetry allowed by the system and conservation laws. It turns out that in addition to well-known laws of conservation of the following general methods for constructing equations, there are other conservation laws. These laws can be useful for solving boundary value problems and get different estimates of the solutions. In the paper, we construct new conservation laws for the two-dimensional equations of linear elasticity in the stationary case. Conserved current is linear in the first derivatives of the unknown functions, but does not depend on the unknown functions themselves. Constructed conservation laws can be used for solving boundary value problems of elasticity theory for finite fields.
Full Text
Теория упругости (линейная) - это очень хорошо разработанный раздел механики сплошных сред. Развитые в ней методы позднее использовались при решении уравнений гидродинамики, теории пластичности и других дисциплин. Для уравнений теории упругости известны следующие законы сохранения: закон сохранения энергии, законы сохранения количества движения и момента импульса. В силу линейности уравнений, уравнения теории упругости допускают бесконечное количество законов сохранения. Некоторые из них используются в механике разрушения. Это инвариантные J-интегралы и Г-интегралы. В предлагаемой работе приведена бесконечная серия новых законов сохранения. Авторы надеются, что новые законы сохранения найдут применение при решении краевых задач теории упругости, особенно для тел конечных размеров. Решение таких задач является одной из наиболее актуальных проблем для уравнений теории упругости. Дадим необходимые определения. Пусть Fi (^ У, ^ ^ ux, vx, uy, vy, ... vyy ) = 0 i = 1 2 система двух дифференциальных уравнений второго порядка, x, y - независимые переменные, u, v - искомые функции, индексы внизу означают производные по соответствующим переменным. Определение. Назовем вектор (A, B) сохраняющимся током, а величину Ax + By = 0 законом сохранения, если Ax + By = Л^ + А 2 F2 = 0, (1) где Л i - некоторые дифференциальные операторы, по крайней мере, один из которых является нетривиальным. Более подробно построение законов сохранения описано в [1; 2] и цитируемой там литературе. Известны разные способы построения законов сохранения. Наиболее широко используется метод построения законов сохранения на основе нетеровских симметрий, допускаемых уравнением. Этот способ построения для уравнений пластичности изложен в [3]. В данной работе законы сохранения будут строиться исходя из соотношения (1). Этот способ наиболее прост и, самое главное, он позволяет строить такие законы сохранения, которые можно использовать для решения краевых задач [4]. Рассмотрим двумерные уравнения линейной стационарной теории упругости F1 =(Ь + 2Ц) uxx + (Ь + Ц) vxy + Vuyy = 0 F2 = Wxc + (Ь + V)uxy + (Ь + 2Ц)у = 0 где u, v - компоненты вектора деформации; Ь, ц -постоянные Ламе. Ищем сохраняющийся ток в виде A = а1 (Ь + 2ц ) ux + pVuy + yVvx + 51 (Ь + 2ц) vy, B = а 2ux + P2uy + y2vx + b\, (3) где ai, pi, Y, 5i - некоторые функции от x, y. Коэффициенты Ламе введены в коэффициенты компоненты А для удобства дальнейших выкладок. В силу (1) имеем а' ( Ь + 2ц) uxx + а1 ( Ь + 2ц) ux + PWy* + +px^y + тУ** + tVx + s1 (Ь + 2ц) + +§x (Ь + 2ц) vy + a^uxy + a2yux + P2uyy + +Pyuy + Ay + ryvx + S2vyy + S^vy = <^F\ + y'F2. Из соотношений (4) получаем (4) 80 Вестник СибГАУ. № 1(53). 2014 - (X + ц) а1 + S1 + у2 - 0, - ца1 + в2 - 0, - (X + ц) у1 + S1 + а2 - 0, - (X + ц) у1 + 62 - 0, (X + 2ц) ax + а 2у - 0, px + вУ - 0, ц?х + y2 - 0, sx + s2 - 0. (5) Из (5) следует - -Р: +(X + ц) Y1, P2 - ца' у2 - -Sj + (X + ц) а1, S2 - (X + 2ц) у1. Подставим эти соотношения в последние четыре уравнения (5). Имеем (X + 2ц) aX + (X + ц) Jly - Py - 0, цУг +(X + ц )аУ - sy - 0, (6) (8) ex + ца; - 0, sx +(X + 2ц) Yy - 0. (7) Дифференцируем первое уравнение (6) по x , а второе - по y , с учетом (7) получаем (X + 2ц) ^xx + (X + ц) llxy + ца^ - 0 ЦтXx +(X + ц )а!у +(X + 2ц Wyy - 0. Из (8) следует, что (а1, у1) - произвольное решение системы (2), а (р1, S1) восстанавливаются по формулам (7) и, в свою очередь, тоже являются решением уравнений (2). Последнее нетрудно проверить. Для этого достаточно продифференцировать первое уравнение (7) по x , а второе - по y и воспользоваться соотношениями (6). Известно, что любые решения уравнений (2) можно записать с помощью трех гармонических функций Ф0 Ф1 Ф2. Имеем 1 -ф1 -т~-г ( + уф2+ф0 ), 4 (1 - v) ^ ^ x x) -1-(гФ1 + уФ2 +Ф()) (1 - v)\ y у у УГ (9) у1 -Ф2 - vE где V - коэффициент Пуассона; X - - w (1 + v)(1 - 2v) E - модуль упругости при растяжении и сжатии. Задавая гармонические функции Ф0, Ф1, Ф2 и решая соответствующие уравнения (7), получим явный вид законов сохранения. В частности, если Ф1 - Ф2 - 0 , без труда получаем бесконечную серию законов сохранения: а1 -ФX, Y1 -ФУ, р1 - -цу1, S1 - (X + 2ц) а1, а2 - (X + 2ц) у1, р2 - ца1, у2 - - ца1, S2 - (X + 2ц) у1. В этом случае сохраняющийся ток имеет вид A - (а + 2ц) а1 (ux + Vy ) + цу1 (- ux + Vx ) , В - (а + 2ц) у1 (ux + Vy ) + ца1 (ux - Vx ) . Замечание 1. Аналогичным образом законы сохранения могут быть построены и в трехмерном случае. Замечание 2. Законы сохранения, построенные в работе, могут быть использованы для решения краевых задач, так же как в статьях [3; 4]. Это будет сделано в следующих статьях.×
About the authors
Sergey Ivanovich Senashov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev
Email: sen@sibsau.ru
Doctor of Phisical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Information economic systems
Elena Vladimirovna Filyushina
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev
Email: filyushina@sibsau.ru
assistant of the Department of Information economic systems
References
- Предельное состояние деформированных тел и горных пород / Д. Д. Ивлев [и др.]. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2008. 831 с.
- Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 137 с.
- Сенашов С. И., Яхно А. Н. Законы сохранения уравнений пластичности среды Мизеса // Вестник ЧГПУ. 2013. № 2 (16). C. 107-115.
- Сенашов С. И., Черепанова О. И., Кондрин А. В. Об упругопластическом кручении стержня // Вестник СибГАУ. 2013. 3(49). C. 100-103.
Supplementary files
![](/img/style/loading.gif)