ОБ интегральном представлении типа меллина-барнса решения системы полиномиальных уравнений специального вида
- Авторы: Зыкова Т.В.1
-
Учреждения:
- Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий
- Выпуск: Том 16, № 2 (2015)
- Страницы: 310-316
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/504687
- ID: 504687
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. Данные интегралы применяются к вычислению групп монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики. Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения алгебраических уравнений, эта задача была рассмотрена ранее. Интегральные преобразования Меллина для решения общей полиномиальной системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ, в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Для системы полиномиальных уравнений специального вида доказана теорема, в которой получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы с указанием множества сходимости. Доказательство состоит из двух частей. В первой части обосновывается представление функции вектор-решения интегралом типа Меллина-Барнса. Во второй части доказательства исследовано множество сходимости полученного интеграла, а именно, граничные точки области сходимости. Доказано, что ни одна граничная точка не будет принадлежать области сходимости, интеграл, представляющий решение полиномиальной системы специального вида, сходится в секториальной области.
Полный текст
Введение. Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее Х. Меллин развил их теорию [1], а Е. Бaрнс разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами [2]. Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано Х. Меллином в работе 1921 года [3], где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было предъявлено И. А. Антиповой [4]. Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар [5], Л. Слейтер [6], Г. Бейтмен и А. Эрдейи [7]. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны Х. Меллином, Р. Бушманом и Х. Сриваставой [8], О. Н. Ждановым и А. К. Цихом [9]. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон [10]. Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения алгебраических уравнений, эта задача рассмотрена в работах [11; 12]. Интегральные преобразования Меллина для решения общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ [13; 14], в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). В данной работе исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение полиномиальной системы уравнений специального вида. Преобразование Меллина мономиальной функции решения общей полиномиальной системы. Рассмотрим приведенную систему n полиномиальных уравнений: (1) с неизвестными и переменными коэффициентами где - фиксированные конечные подмножества; Обозначим через дизъюнктное объединение множеств и пусть - число коэффициентов в системе (1). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство в котором координаты точек индексируются элементами В работе [15] для мономиальной функции (2) составленной из координат решения системы уравнений (1), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом (3) где Множество сходимости интеграла, представляющего функцию вектор-решения полиномиальной системы уравнений специального вида. Рассмотрим приведенную систему двух полиномиальных уравнений вида (4) с двумя переменными коэффициентами Обозначим через определитель матрицы и предположим, что Введем векторы ортогональные вектор-строкам матрицы Теорема. Мономиальная функция составленная из координат решения системы (4), представляется следующим интегралом Меллина-Барнса: (5) где полином а вектор выбирается из открытого множества (6) Множество сходимости интеграла (5) в переменных определяется неравенствами (7) Доказательство. Идея доказательства представления мономиальной функции интегралом (5) в секториальной области, определяемой неравенствами (7), заимствована в работе [4], поэтому первая часть доказательства излагается кратко. 1. Для простоты положим Начнем с описания секториальной области голоморфности функции (8) где зависимость определена заменой переменных (линеаризацией) в системе [15], причем ветви радикалов выбраны условием их положительности при Рассмотрим функцию Она голоморфна (как многозначная функция) вне прямой где Более того, функция голоморфна (и однозначна) в секториальной области над выпуклым множеством где Следовательно, функция (8) голоморфна и однозначна в секториальной области над множеством Заметим, что якобиан линеаризации (в случае ) обращается в нуль на множестве (см. [15]). Оно при такой замене переходит в множество ветвления алгебраической функции т. е. дискриминантное множество системы уравнений (4). Полином переменных определяющий нулевое множество якобиана , имеет положительные коэффициенты у всех мономов, поэтому существует выпуклое множество такое, что в секториальной области над каждой точкой расположен ортант свободный от точек . Функции допускают выделение ветвей (со значением 1 при ) в секториальной области Следовательно, таким же свойством обладает отображение и функция (8). Кроме того, функция голоморфно продолжается в область - образ секториальной области при отображении Область есть секториальная область над внутренностью выпуклого многоугольника следующего вида Итак, поскольку якобиан не обращается в нуль в отображает на локально биголоморфно. Тем самым для функция будучи представленной как является голоморфной. В силу односвязности она голоморфна, следовательно, голоморфна функция Для доказательства представления мономиальной функции интегралом (8) нам необходимо констатировать еще одно ее важное свойство: на множестве она удовлетворяет условию для всех , где - открытое множество (6) при Таким образом, применяя формулу обращения для многомерного преобразования Меллина (см. [4]), получаем представление функции в виде интеграла Меллина-Барнса вида (5) в секториальной области 2. Исследуем интеграл (5) на сходимость в граничных точках области Идея доказательства подробно изложена в работе [12]. Можно оценить модуль подынтегральной функции в (5) при выражением вида (9) где а показатели степеней определяются следующими формулами: j = 1, 2. Из вида выражения (9) следует, что сходимость интеграла (5) контролирует показатель экспоненты (10) степенной множитель (11) а также функция отличная от константы в случае интеграла, представляющего решение системы уравнений. Если при фиксированном показатель экспоненты (10), зависящий от , есть величина отрицательная, то экспоненциальный множитель (9) убывает и степенной множитель (11), и функция не могут нарушить сходимость интеграла. Эта ситуация будет иметь место при Напротив, неограниченное возрастание показателя экспоненты (10) для какого-либо направления говорит о том, что для выбранного интеграл будет расходиться, так как степенной множитель (11) и функция не смогут «погасить» рост экспоненциального множителя. Пусть Если матрица составленная из показателей системы (4), не содержит нулевых элементов, то Р представляет собой восьмиугольник на рис. 1. Вершины восьмиугольника Р имеют координаты стороны будем обозначать Множество точек относительной внутренности стороны будем обозначать Он может вырождаться в шестиугольник, если один из показателей или равен нулю. Если то система (4) распадается на два уравнения, и эту ситуацию мы не рассматриваем. Проведем доказательство для случая, когда Р - восьмиугольник. В других случаях оно будет аналогичным. Рис. 1. Восьмиугольник Р Рис. 2. Множество Как отмечалось ранее, поведение подынтегральной функции в (5) во многом зависит от размерности множества направлений , на которых показатель экспоненты в оценке (9) обращается в нуль при фиксированном . Объединение таких множеств по всем обозначим . Это множество состоит из одномерных конусов j = 1, 2 и двумерных конусов Для случая, когда Р - восьмиугольник, множество изображено на рис. 2. Если то показатель экспоненты (10) обращается в нуль для всех (и только для них). Для стороны (K1K6) соответствующим множеством зануления будет одномерный конус Для наклонных сторон (K3K7), показатель экспоненты (10) обращается в нуль в одномерных конусах и соответственно. Если (вершина K1), показатель экспоненты (10) обращается в нуль для всех Для вершин K3, K7, K5 такими конусами будут двумерные конусы соответственно. Для остальных сторон и вершин восьмиугольника картина будет симметричной (см. рис. 1, 2). Требует детального исследования поведение интеграла (5) в окрестностях направлений на которых (10) обращается в нуль. Рассмотрим сторону восьмиугольника P. Для других сторон рассуждения будут аналогичны. Зафиксируем точку Конус является гранью двумерного конуса Показатель экспоненты (10) для направлений из конуса примет вид причем для С учетом оценки (9) исследование интеграла (5), при фиксированном сводится к исследованию сходимости следующего интеграла: (12) Справедлива следующая лемма. Лемма. Интеграл (12) расходится. Доказательство леммы. В интеграле (12) сделаем замену переменных: (13) якобиан которой равен ненулевой константе. В резуль-тате такой замены интеграл (12) примет вид (14) где Представим интеграл (14) в виде повторного: (15) где (16) Исследуем сходимость интеграла (16). Степень подынтегральной функции по переменной в (16) равна (17) Здесь выражение в скобках больше нуля в силу условий (6). Степенной множитель дает существенный вклад (слагаемое, равное 2) в сумму (17), так как при условии Из неравенств (17) следует, что интеграл (16) расходится. Как следствие, расходится и интеграл (15). Лемма доказана. Исследуем вершины восьмиугольника Р. Точке K1 соответствуют в множестве два одномерных конусах и Поэтому, чтобы констатировать расходимость интеграла (5) в точке K1, необходимо и достаточно исследовать эту точку в составе сторон и Аналогичным свойством обладает симметричная точка K2. Прообразы вершин восьмиугольника P также не входят в множество сходимости интеграла (5). Действительно, в этих точках зануление показателя экспоненты (10) происходит по всем направлениям принадлежащим двумерным конусам, которые были перечислены выше. Поэтому задача сводится к исследованию сходимости двойных интегралов от степенных функций по этим конусам. Эти интегралы расходятся, так как степенной множитель (11) и функция имеют суммарную степень по переменным равную -1. Итак, мы можем сделать вывод: множество сходимости интеграла (5) есть секториальная область , основание которой определяется неравенствами (7). Таким образом, теорема доказана. Заключение. В данной работе получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.×
Об авторах
Т. В. Зыкова
Сибирский федеральный университет, Институт космических и информационных технологий
Email: zykovatv@mail.ru
Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26
Список литературы
- Mellin H. R. Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen // Acta Soc. Sci. Fennica. 1896. Vol. 21, No. 1. P. 1-115.
- Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series // Proc. London Math. Soc. 1907. Vol. 5, No. 2. P. 59-116.
- Mellin H. R. Résolution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma // C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921. Vol. 172. P. 658-661.
- Antipova I. A. Inversion of many-dimensional Mellin transforms and solutions of algebraic equations // Sb. Math. 2007. Vol. 198, No. 4. P. 447-463.
- Dixon A. L., Ferrar W. L. A class of discontinuous integrals // The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936. Vol. 7. P. 81-96.
- Slater L. J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press, 1966. 143 р.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М. : Наука, 1973. 294 c.
- Buschman R., Srivastava H. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986. Vol. 17, No. 5. P. 605-609.
- Zhdanov O. N., Tsikh A. K. Studying the multiple Mellin-Barnes integrals by means of multidimensional residues // Sib. Math. J. 1998. Vol. 39, No. 2. P. 245-260.
- Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions // Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Sweden : Stockholm University, 2009.
- Антипова И. А., Зыкова Т. В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения // Журн. СФУ. Сер. «Матем. и физ.». 2010. Т. 3, № 4. С. 475-486.
- Зыкова Т. В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости // Вестник КемГУ. 2011. Т. 47, № 3/1. С. 199-202.
- Антипова И. А. О мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия «Физ.-мат. науки». 2005. № 1. C. 106-111.
- Степаненко В. А. О решении системы n алгебраических уравнений от n неизвестных с помощью гипергеометрических функций // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия «Физ.-мат. науки». 2003. № 2. C. 35-48.
- Antipova I. A., Zykova T. V. Mellin transform for monomial functions of the solution to the general polynomial system // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2013. Vol. 6, No. 2. P. 150-156.
- Mellin H. R. Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen. Acta Soc. Sci. Fennica. 1896, Vol. 21, No. 1, P. 1-115.
- Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series. Proc. London Math. Soc. 1907, Vol. 5, No. 2, P. 59-116.
- Mellin H. R. Résolution de l’équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma. C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921, Vol. 172, P. 658-661.
- Antipova I. A. Inversion of many-dimensional Mellin transforms and solutions of algebraic equations. Sb. Math. 2007, Vol. 198, No. 4, P. 447-463.
- Dixon A. L., Ferrar W. L. A class of discontinuous integrals. The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936, Vol. 7, P. 81-96.
- Slater L. J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. 1966, 143 p.
- Beytmen G., Erdeyi A. Vyshii transtsendentnye funktsii [The highest transcendental functions]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 294 p.
- Buschman R., Srivastava H. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions. Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986, Vol. 17, No. 5, P. 605-609.
- Zhdanov O. N., Tsikh A. K. Studying the multiple Mellin-Barnes integrals by means of multidimensional residues. Sib. Math. J. 1998, Vol. 39, No. 2, P. 245-260.
- Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions. Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Stockholm University. Sweden. 2009.
- Antipova I. A., Zykova T. V. [On the Set of Convergence for Mellin-Barnes Integral Representing Solutions to the Tetranomial Algebraic Equation]. Zhurnal Sibirskogo Federalnogo universiteta. Seriya matematika & fizika. 2010, Vol. 3, No. 4, P. 475-486 (In Russ.).
- Zykova T. V. [About convergence of Mellin-Barnes integral on border of his area of convergence]. Vestnik KemGU. 2011, Vol. 47, No. 3/1, P. 199-202 (In Russ.).
- Antipova I. A. [About monomial function solution vector of the general system of the algebraic equations]. Vestnik Krasnoyarskogo gosuniversiteta. Seriya fiz.-mat. nauki. 2005, No. 1, P. 106-111 (In Russ.).
- Stepanenko V. A. [About the solution of system of the algebraic equations from unknown by means of hyper geometrical functions]. Vestnik Krasnoyarskogo gosuniversiteta. Seriya fiz.-mat. nauki. 2003, No. 2, P. 35-48 (In Russ.).
- Antipova I. A., Zykova T. V. Mellin transform for monomial functions of the solution to the general polynomial system. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2013, Vol. 6, No. 2, P. 150-156.