ABOUT INTEGRATED REPRESENTATION LIKE MELLINA-BARNSA OF THE SOLUTION OF SYSTEM OF THE POLYNOMIAL EQUATIONS OF THE SPECIAL KIND

Full Text

Введение. Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее Х. Меллин развил их теорию [1], а Е. Бaрнс разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами [2]. Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано Х. Меллином в работе 1921 года [3], где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было предъявлено И. А. Антиповой [4]. Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар [5], Л. Слейтер [6], Г. Бейтмен и А. Эрдейи [7]. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны Х. Меллином, Р. Бушманом и Х. Сриваставой [8], О. Н. Ждановым и А. К. Цихом [9]. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон [10]. Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения алгебраических уравнений, эта задача рассмотрена в работах [11; 12]. Интегральные преобразования Меллина для решения общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ [13; 14], в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). В данной работе исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение полиномиальной системы уравнений специального вида. Преобразование Меллина мономиальной функции решения общей полиномиальной системы. Рассмотрим приведенную систему n полиномиальных уравнений: (1) с неизвестными и переменными коэффициентами где - фиксированные конечные подмножества; Обозначим через дизъюнктное объединение множеств и пусть - число коэффициентов в системе (1). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство в котором координаты точек индексируются элементами В работе [15] для мономиальной функции (2) составленной из координат решения системы уравнений (1), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом (3) где Множество сходимости интеграла, представляющего функцию вектор-решения полиномиальной системы уравнений специального вида. Рассмотрим приведенную систему двух полиномиальных уравнений вида (4) с двумя переменными коэффициентами Обозначим через определитель матрицы и предположим, что Введем векторы ортогональные вектор-строкам матрицы Теорема. Мономиальная функция составленная из координат решения системы (4), представляется следующим интегралом Меллина-Барнса: (5) где полином а вектор выбирается из открытого множества (6) Множество сходимости интеграла (5) в переменных определяется неравенствами (7) Доказательство. Идея доказательства представления мономиальной функции интегралом (5) в секториальной области, определяемой неравенствами (7), заимствована в работе [4], поэтому первая часть доказательства излагается кратко. 1. Для простоты положим Начнем с описания секториальной области голоморфности функции (8) где зависимость определена заменой переменных (линеаризацией) в системе [15], причем ветви радикалов выбраны условием их положительности при Рассмотрим функцию Она голоморфна (как многозначная функция) вне прямой где Более того, функция голоморфна (и однозначна) в секториальной области над выпуклым множеством где Следовательно, функция (8) голоморфна и однозначна в секториальной области над множеством Заметим, что якобиан линеаризации (в случае ) обращается в нуль на множестве (см. [15]). Оно при такой замене переходит в множество ветвления алгебраической функции т. е. дискриминантное множество системы уравнений (4). Полином переменных определяющий нулевое множество якобиана , имеет положительные коэффициенты у всех мономов, поэтому существует выпуклое множество такое, что в секториальной области над каждой точкой расположен ортант свободный от точек . Функции допускают выделение ветвей (со значением 1 при ) в секториальной области Следовательно, таким же свойством обладает отображение и функция (8). Кроме того, функция голоморфно продолжается в область - образ секториальной области при отображении Область есть секториальная область над внутренностью выпуклого многоугольника следующего вида Итак, поскольку якобиан не обращается в нуль в отображает на локально биголоморфно. Тем самым для функция будучи представленной как является голоморфной. В силу односвязности она голоморфна, следовательно, голоморфна функция Для доказательства представления мономиальной функции интегралом (8) нам необходимо констатировать еще одно ее важное свойство: на множестве она удовлетворяет условию для всех , где - открытое множество (6) при Таким образом, применяя формулу обращения для многомерного преобразования Меллина (см. [4]), получаем представление функции в виде интеграла Меллина-Барнса вида (5) в секториальной области 2. Исследуем интеграл (5) на сходимость в граничных точках области Идея доказательства подробно изложена в работе [12]. Можно оценить модуль подынтегральной функции в (5) при выражением вида (9) где а показатели степеней определяются следующими формулами: j = 1, 2. Из вида выражения (9) следует, что сходимость интеграла (5) контролирует показатель экспоненты (10) степенной множитель (11) а также функция отличная от константы в случае интеграла, представляющего решение системы уравнений. Если при фиксированном показатель экспоненты (10), зависящий от , есть величина отрицательная, то экспоненциальный множитель (9) убывает и степенной множитель (11), и функция не могут нарушить сходимость интеграла. Эта ситуация будет иметь место при Напротив, неограниченное возрастание показателя экспоненты (10) для какого-либо направления говорит о том, что для выбранного интеграл будет расходиться, так как степенной множитель (11) и функция не смогут «погасить» рост экспоненциального множителя. Пусть Если матрица составленная из показателей системы (4), не содержит нулевых элементов, то Р представляет собой восьмиугольник на рис. 1. Вершины восьмиугольника Р имеют координаты стороны будем обозначать Множество точек относительной внутренности стороны будем обозначать Он может вырождаться в шестиугольник, если один из показателей или равен нулю. Если то система (4) распадается на два уравнения, и эту ситуацию мы не рассматриваем. Проведем доказательство для случая, когда Р - восьмиугольник. В других случаях оно будет аналогичным. Рис. 1. Восьмиугольник Р Рис. 2. Множество Как отмечалось ранее, поведение подынтегральной функции в (5) во многом зависит от размерности множества направлений , на которых показатель экспоненты в оценке (9) обращается в нуль при фиксированном . Объединение таких множеств по всем обозначим . Это множество состоит из одномерных конусов j = 1, 2 и двумерных конусов Для случая, когда Р - восьмиугольник, множество изображено на рис. 2. Если то показатель экспоненты (10) обращается в нуль для всех (и только для них). Для стороны (K1K6) соответствующим множеством зануления будет одномерный конус Для наклонных сторон (K3K7), показатель экспоненты (10) обращается в нуль в одномерных конусах и соответственно. Если (вершина K1), показатель экспоненты (10) обращается в нуль для всех Для вершин K3, K7, K5 такими конусами будут двумерные конусы соответственно. Для остальных сторон и вершин восьмиугольника картина будет симметричной (см. рис. 1, 2). Требует детального исследования поведение интеграла (5) в окрестностях направлений на которых (10) обращается в нуль. Рассмотрим сторону восьмиугольника P. Для других сторон рассуждения будут аналогичны. Зафиксируем точку Конус является гранью двумерного конуса Показатель экспоненты (10) для направлений из конуса примет вид причем для С учетом оценки (9) исследование интеграла (5), при фиксированном сводится к исследованию сходимости следующего интеграла: (12) Справедлива следующая лемма. Лемма. Интеграл (12) расходится. Доказательство леммы. В интеграле (12) сделаем замену переменных: (13) якобиан которой равен ненулевой константе. В резуль-тате такой замены интеграл (12) примет вид (14) где Представим интеграл (14) в виде повторного: (15) где (16) Исследуем сходимость интеграла (16). Степень подынтегральной функции по переменной в (16) равна (17) Здесь выражение в скобках больше нуля в силу условий (6). Степенной множитель дает существенный вклад (слагаемое, равное 2) в сумму (17), так как при условии Из неравенств (17) следует, что интеграл (16) расходится. Как следствие, расходится и интеграл (15). Лемма доказана. Исследуем вершины восьмиугольника Р. Точке K1 соответствуют в множестве два одномерных конусах и Поэтому, чтобы констатировать расходимость интеграла (5) в точке K1, необходимо и достаточно исследовать эту точку в составе сторон и Аналогичным свойством обладает симметричная точка K2. Прообразы вершин восьмиугольника P также не входят в множество сходимости интеграла (5). Действительно, в этих точках зануление показателя экспоненты (10) происходит по всем направлениям принадлежащим двумерным конусам, которые были перечислены выше. Поэтому задача сводится к исследованию сходимости двойных интегралов от степенных функций по этим конусам. Эти интегралы расходятся, так как степенной множитель (11) и функция имеют суммарную степень по переменным равную -1. Итак, мы можем сделать вывод: множество сходимости интеграла (5) есть секториальная область , основание которой определяется неравенствами (7). Таким образом, теорема доказана. Заключение. В данной работе получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.

About the authors

T. V. Zykova

Siberian Federal University, Institute of space and informatics technologies

Email: zykovatv@mail.ru
26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation

References

Supplementary files